八上數(shù)學(xué)培優(yōu)專(zhuān)題四

閩侯縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)第二課堂綜合實(shí)踐活動(dòng)備課組八上數(shù)學(xué)培優(yōu)專(zhuān)題四路徑最短問(wèn)題如圖點(diǎn)E為等邊△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，P為AD上的動(dòng)點(diǎn)，（1）在圖1中求作一點(diǎn)P,使得PE+PC的值最小，并求當(dāng)AB=10，△ABC面積為25時(shí)，PE+PC的最小值=

；（2）如圖2，以CP為邊作等邊三角形PCQ,求DQ的最小值；（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)M在AC上，以3m/s的速度由A向C移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在CD上，以2m/s的速度由C向D移動(dòng),若AD=10cm①當(dāng)t為何值時(shí)，△MCN為等邊三角形？②當(dāng)t為何值時(shí)，△MCN為直角三角形？范例分析：如圖點(diǎn)E為等邊△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，P為AD上的動(dòng)點(diǎn)，（1）在圖1中求作一點(diǎn)P,使得PE+PC的值最小，并求當(dāng)AB=10，△ABC面積為25時(shí)，PE+PC的最小值=

；范例分析：PE+PC最小值=BE=5PE+PC最小值=BE=5如圖點(diǎn)E為等邊△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，P為AD上的動(dòng)點(diǎn)，（2）如圖2，以CP為邊作等邊三角形PCQ,求DQ的最小值；范例分析：先證：△EPC≌△DQC當(dāng)EP⊥AD時(shí)，DQ最小=EP=2.5如圖點(diǎn)E為等邊△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，P為AD上的動(dòng)點(diǎn)，（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)M在AC上，以3m/s的速度由A向C移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在CD上，以2m/s的速度由C向D移動(dòng),若AB=10cm①當(dāng)t為何值時(shí)，△MCN為等邊三角形？范例分析：∵∠C=600，∴當(dāng)CM=CN時(shí)，△MCN為等邊三角形即：10-3t=2t，解得：t=210-3t2t如圖點(diǎn)E為等邊△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，P為AD上的動(dòng)點(diǎn)，（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)M在AC上，以3m/s的速度由A向C移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在CD上，以2m/s的速度由C向D移動(dòng),若AD=10cm②當(dāng)t為何值時(shí)，△MCN為直角三角形？范例分析：當(dāng)∠MNC=900時(shí)，∠CMN=300∴CM=2CN,即：10-3t=2×2t當(dāng)∠NMC=900時(shí)，∠CNM=300∴CN=2CM,即：2t=2×(10-3t)某課題組在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為

；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值；拓展延伸：某課題組在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為

；拓展延伸：PB+PE最小值=B’E=某課題組在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小．解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值；拓展延伸：