分析力學之虛功原理

第十三講虛功原理本講導讀約束的概念自由度和廣義坐標實功,虛功和虛功(虛位移)原理拉格朗日乘子與約束力一、為什么要學習分析力學?

前面是按“牛頓方式”研究力學問題,它著重分析力、動量、速度、加速度、角動量、力矩等矢量,稱作“矢量力學”.它運用牛頓運動定律處理力學問題,稱作“牛頓力學”.

實際力學系統(tǒng)往往存在限制(約束),而約束力又取決于運動情況,它們作為未知量出現(xiàn)于運動方程中,牛頓方式對于受約束的力學系統(tǒng)并不方便.

建立了運動方程,并不意味大功告成.因為還沒有一般方法求得運動微分方程的解.如何尋找方程的積分以及利用這些積分,如何定性研究解的結構和定量地進行計算,這些都是力學中極為重要的課題.牛頓方式在這些問題上會遇到困難．研究光、電磁場、微觀粒子等物理現(xiàn)象時,整個牛頓力學的基本觀念都受到了挑戰(zhàn).在人們不得不承認新的物理事實——相對論效應,波粒二象性等之后,就需要在古典力學理論中尋找這樣一種理論,它能較順利地超越古典概念的束縛,自然地跳向非古典力學——相對論力學、量子力學等．分析力學

analytical

mechanics

一般力學的一個分支。以廣義坐標為描述質點系的變量，以虛位移原理和達朗貝爾原理為基礎，運用數(shù)學分析方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學問題。

1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力學》為這門學科奠定了基礎。1834年和1843年W.R.哈密頓建立了哈密頓原理和正則方程，把分析力學推進一步。1894年H.R.赫茲提出將約束和系統(tǒng)分成完整的和非完整的兩大類，從此開始非完整系統(tǒng)分析力學的研究。分析力學的基本內(nèi)容是闡述力學的普遍原理，由這些原理出發(fā)導出質點系的基本運動微分方程，并研究這些方程本身以及它們的積分方法。近20年來，又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點來研究分析力學的原理和方法。分析力學是經(jīng)典物理學的基礎之一，也是整個力學的基礎之一。它廣泛用于結構分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體系統(tǒng)和機器人動力學以及各種工程技術領域，也可推廣應用于連續(xù)介質力學和相對論力學。分析力學的發(fā)源

1788年拉格朗日出版的《分析力學》是世界上最早的一本分析力學的著作。分析力學是建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎上。兩者結合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統(tǒng)的動力方程。1760～1761年，拉格朗日用這兩個原理和理想約束結合，得到了動力學的普遍方程，幾乎所有的分析力學的動力學方程都是從這個方程直接或間接導出的。

1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標和廣義動量聯(lián)合表示的動力學方程，稱為正則方程。漢密爾頓體系在多維空間中，可用代表一個系統(tǒng)的點的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學問題。

從1861年有人導出球在水平面上作無滑動的滾動方程開始，到1899年阿佩爾在《理性力學》中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論。

20世紀分析力學對非線性、不定常、變質量等力學系統(tǒng)作了進一步研究，對于運動的穩(wěn)定性問題作了廣泛的研究。分析力學的主要內(nèi)容

：導出各種力學系統(tǒng)的動力方程，如完整系統(tǒng)的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統(tǒng)的阿佩爾方程等；探求力學的普適原理，如漢密爾頓原理、最小作用量原理等；探討力學系統(tǒng)的特性；研究求解運動微分方程的方法，例如，研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點的軌跡，以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。

分析力學解題法和牛頓力學的經(jīng)典解題法不同，牛頓法把物體系拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然后列出運動方程。

分析力學中也可用變分原理(如漢密爾頓原理)導出運動微分方程。它的優(yōu)點是可以推廣到新領域(如電動力學)和應用變分學中的近似法來解題。從20世紀60年代開始，為了設計復雜的航天器和機器人的需要，發(fā)展多剛體系統(tǒng)，并且跳出了使用動力學函數(shù)求導的傳統(tǒng)方法來建立動力學方程，所建立的方程能方便地應用電子計算機進行計算。

在量子力學未建立以前，物理學家曾用分析力學研究微觀現(xiàn)象的力學問題。從1923年起，量子力學開始建立并逐步完善，才在微觀現(xiàn)象的研究領域中取代了分析力學。但是，掌握分析力學的一些基本知識有助于學好量子力學。例如用分析力學知識求出漢密爾頓函數(shù)，再化成漢密爾頓算符，又自漢密爾頓-雅可比方程化成波動力學的基本方程——薛定諤方程等。

愛因斯坦提出相對論時，也曾把分析力學的一些方法應用于研究速度接近光速的相對論力學。

分析力學是數(shù)學、力學研究者為克服上述困難所取得的成果的一部分,在一定程度上解決了上述問題(并末全部解決,有關的研究現(xiàn)在還在繼續(xù)).它給出了力學系統(tǒng)在完全一般性的廣義坐標下具有不變形式的動力學方程組，并突出了能量函數(shù)的意義.

分析力學概括了比牛頓力學廣泛得多的系統(tǒng),分析力學的數(shù)學形式有著極好的性質,它不僅提供了解決天體力學及一系列動力學問題的較佳途徑,同時給量子力學的發(fā)展提供了啟示,最適于成為引向現(xiàn)代物理的跳板.其最小作用量原理提供了建立相對論力學和量子力學最簡練而富有概括性的出發(fā)點.

直到最近,分析力學在非線性非完整系統(tǒng)中的研究,非保守系統(tǒng)中奇異吸引子的發(fā)現(xiàn)以及有關“渾沌”現(xiàn)象的研究等等,正在豐富分析力學的內(nèi)容,且大大開闊它的應用范圍.二、約束的概念

機械運動是物體空間位置隨著時間的推移而變動,對機械運動所加的強制性的限制條件叫作約束.

一個質點可用矢徑r或三個坐標表示,n個質點組成的系統(tǒng),則由n個矢徑或3n個坐標描述,它們確定每一時刻各質點的位置以及質點組的形狀——確定系統(tǒng)的位形.

約束條件對運動的限制由一些力來體現(xiàn),這些力一般不是給定的,而是與運動狀況有關的未知力.因此,對于動力學問題,約束也應作為一個基本因素加以考慮.位形不能決定系統(tǒng)的“力學狀態(tài)”,僅由某時刻的位形不能預言在下一個時刻系統(tǒng)的位形.對于n個質點的系統(tǒng)，還需知道n個速度矢量才能確定系統(tǒng)的狀態(tài)．

給定了某一時刻的坐標和速度,由動力學方程原則上單值地確定該時刻的加速度,因而能夠唯一地確定下一個時刻(或前一個時刻)的坐標和速度,以此類推,當知道某一時刻的狀態(tài),就知道了系統(tǒng)在任一時刻的狀態(tài)．

幾乎所有的力學系統(tǒng)都存在著約束。例如,剛體內(nèi)任意兩質點間距離不變,兩個剛體用鉸鏈連接,輪子無滑動地滾動,兩個質點用不可伸長的繩連接等等.對狀態(tài)的限制也就是對力學系統(tǒng)內(nèi)各質點的位置和速度加以限制,其數(shù)學表示式是

——約束方程,坐標和速度必需滿足的條件稱為約束條件.某些約束僅對力學系統(tǒng)的幾何位置加以限制,而對各質點的速度沒有限制,這種約束稱為幾何約束,其數(shù)學表示式是例如，剛體內(nèi)任意兩點間的距離保持不變就是一種幾何約束.

對于涉及力學系統(tǒng)運動情況的約束,即對速度也有限制的,則稱為運動約束,其中顯含速度.例如半徑為R的圓柱在地面上沿著直線作無滑動地滾動.這意味著著地點的速度為零.運動約束亦稱為微分約束或速度約束．幾何約束的約束方程雖然不顯含速度項,但實際上它在對位置限制的同時也對系統(tǒng)的速度給予了限制,事實上,由式(5.1)對時間求全導數(shù),得

有些運動約束又可以通過積分成為幾何約束，例如圓柱無滑動地滾動的約束方程很容易積分為化成幾何約束的約束方程.可積分的運動約束與幾何約束在物理實質上沒有區(qū)別,合稱為完整約束.不可積的運動約束,即不能化為幾何約束的運動約束,它們在物理實質上不同于幾何約束,稱為非完整約束.

幾何約束和運動約束的分類是按數(shù)學表達形式來分類,完整約束和非完整約束的分類是按物理實質來分類.對非完整約束舉例

具有尖銳邊緣的薄圓盤在粗糙面上無滑動地滾動,則圓盤的著地點的速度為零.薄圓盤的盤面是可以轉動的,但如盤面始終保持豎直,著地點的速度為零,可表為把上式投影到x軸和y軸上,得式中x0和y0是盤心的坐標.這兩個微分關系是不能積分的.因為當薄圓盤沿著長度各不相同的不同閉合曲線循行一周回到原處時，盤心坐標(x0，y0)和角

都可以回復到原來的值，但

卻未必也恰好回復原值.這就是說，在x0,y0,

和

之間并不存在一種確定不變的關系.這種運動約束是不可能積分的.再考慮一個冰面上滑行的冰刀的簡化模型.假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個質點,并設兩質點質量相等,桿長為l,當冰刀在冰面上運動時,質心(桿的中點)的速度只能沿桿的方向.選兩質點在冰面上的坐標為(x1,y1)和(x2,y2)，則約束條件為前一個約束條件反映桿長不變,是幾何約束,即完整約束.后一個約束條件反映質心速度沿桿的方向,是運動約束;由于它是不可積的,即不能化為幾何約束,因而是非完整約束.后一個約束也可表為這意味著它是對無限小變化的限制.

約束還分為穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束.穩(wěn)定約束不直接依賴于時間,其數(shù)學表達式不顯含時間;不穩(wěn)定約束則明顯依賴于時間,其數(shù)學表達式顯含時間.此外，約束還可分為單側約束(可解約束)和雙側約束(不可解).單側約束只在某一側限制系統(tǒng)的運動,至于向另一側的運動則是完全自由的.例如單擺的不可伸長的懸繩限制擺球不得向繩伸長的方向運動，但向繩縮短的方向運動卻是自由的.單側約束的數(shù)學表示式是不等式,一般可寫為稱為約束不等式.單側約束是有可能解除的.約束是否解除或者何時解除,需要從運動方程解出約束力,再從約束力的指向是否正確來判斷.雙側約束限制著不論哪一側的運動,其數(shù)學表示式是(5.1)或(5.2)所示的約束方程.三、約束力

根據(jù)牛頓定律,一切影響質點機械運動的因素都歸結為力.因此約束作用也可以歸結為力.約束力的大小隨力學系統(tǒng)違背約束的趨勢的不同而自動調節(jié),使約束條件總是得以滿足.因此出現(xiàn)在運動方程中的約束力不可能預先給定,它只能從運動方程并結合約束方程解出來.

一般將作用于第i個質點的約束力記作Ri,而把作用于同一質點的其余的力稱為主動力，記作Fi.有的資料把約束力稱為約束反力，因為這種力是體現(xiàn)約束條件的實體跟違背約束趨勢對抗的反作用力.阻礙物體運動的周圍物體——約束約束與約束反力的概念

約束對物體的作用力稱為約束反力簡稱反力約束反力的方向總是與約束所能阻止物體的運動方向相反幾類平面約束繩索、鏈條、皮帶1、柔性體約束繩索的約束反力沿繩索中心線，離開物體，為拉力。2、光滑面約束光滑接觸的約束反力通過接觸點，沿接觸面在該點的公法線方向，為壓力。3、圓柱鉸鏈約束上擺銷釘下擺固定鉸支座受力分析固定鉸支座的約束反力通過銷釘中心，在垂直銷釘軸線的平面內(nèi)，方向不定。銷釘中間鉸滾動鉸支座上擺銷釘?shù)装鍧L輪滾動鉸支座的約束反力通過銷釘中心，垂直于支承面，指向物體。簡化表示：約束力表示：4、連桿支座

連桿支座的約束力沿連桿中心線，指向不定。二力構件：受兩力作用平衡的構件連桿5、固定端約束煙筒，電線桿，懸臂粱，機床的卡盤固定端約束的約束反力作用在固定端的一個力，和一個力偶，力的方向不定活動鉸支座固定鉸支座物體的受力分析確定構件受幾個力，每個力的作用位置和力的作用方向，這種分析過程稱為物體的受力分析。主動力：已知的力被動力：約束反力取分離體-----將所要研究的物體從周圍的物體中分離出來，單獨畫出它的簡圖。畫受力圖-----將施力物體對研究對象的作用力全部畫出來。受力分析的步驟：例.畫各構件的受力圖二力構件畫受力圖必須注意以下幾點：1.明確研究對象2.正確確定研究對象受力數(shù)目3.正確畫出約束反力4.注意物體間相互作用力的方向無論是靜力學問題還是動力學問題，在求解時，都需首先分析物體的受力情況。故而，物體的受力分析是力學的基礎，也是力學的重點。四、自由度和廣義坐標n個質點系統(tǒng)由n個位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個直角坐標，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果該系統(tǒng)存在m個完整約束那么，在N個坐標之中，有m個坐標可以從方程組(5.4)

“解出”,即有m個坐標可用其余N-m個坐標表出，因此只剩下s=N-m個獨立坐標.

系統(tǒng)的獨立坐標的個數(shù)s叫作

系統(tǒng)在有限運動中的自由度——單值地確定一個系統(tǒng)的位形所必需的獨立量的數(shù)目.每一個完整約束方程使力學系統(tǒng)減少一個獨立坐標,也就是說,使有限運動的自由度降低一.

獨立坐標并不一定在原來的N個坐標中挑選,完全可以自由地選定.這一組獨立參數(shù)叫作力學系統(tǒng)的廣義坐標.

既然廣義坐標描寫的力學系統(tǒng)的幾何形象一定滿足系統(tǒng)的完整約束條件,在引用廣義坐標之后,就不必再把完整約束方程另外提出來.

一般來說,

廣義坐標不再三個一組地組成矢量,

其量綱也不一定是長度量綱.例如被約束在球面上的質點可用經(jīng)度和緯度這兩個角度作為廣義坐標.凡可以確定力學系統(tǒng)幾何形象的任何物理量,都可造作廣義坐標.

廣義坐標表征系統(tǒng)的位形，其隨時間的變化率稱為廣義速度.顯然,廣義速度的量綱也不一定是速度量綱.對于只有完整約束的力學系統(tǒng)來說不僅s個廣義坐標全是獨立的,而且s個廣義速度也全是獨立的.系統(tǒng)的運動可表達為廣義坐標q1,q2,…,qs隨時間的變化,即有

如果力學系統(tǒng)除了m個完整約束外，還存在k個非完整約束,則這時并不能解出k個坐標.所以非完整約束不能減少獨立坐標的個數(shù),

但非完整約束卻會減少獨立速度分量的個數(shù).這意味著減少獨立的坐標無限小變化的個數(shù).我們稱獨立速度分量的個數(shù)為力學系統(tǒng)在無限小運動中的自由度.不論是完整約束還是非完整約束,都能使力學系統(tǒng)得無限小運動中的自由度降低一.

總之,n個質點的力學系統(tǒng),若存在著m個完整約束和k個非完整約束,那么,質點的直角坐標數(shù)N＝3n,廣義坐標個數(shù)等于N-m,運動自由度等于N-m-k.對于只存在完整約束的系統(tǒng)(k＝0),廣義坐標的個數(shù)就是運動自由度.如果存在非完整約束(k>0),廣義坐標的個數(shù)大于運動自由度.運用廣義坐標后,不再需要考慮完整約束,但非完整約束仍需考慮,并應將它用相應的廣義速度表示.五、虛功原理1實位移和虛位移質點由于運動實際發(fā)生的位移,叫做實位移.用dr表示.想象的質點在約束許可情況下發(fā)生的位移,叫做虛位移.用

r表示.虛位移只決定于質點在此時的位置和加在它上面的約束,而不是由于時間變化所引起的.

虛位移和實位移的區(qū)別是實位移要滿足運動方程,而虛位移只需要滿足約束.在穩(wěn)定約束下,實位移是無限多虛位移中的一個.而在不穩(wěn)定約束時,可能二者不一致.設有n個質點的系統(tǒng),存在m個完整約束,其約束方程設是滿足約束條件的虛位移,則對

ri

作多元函數(shù)的泰勒展開(t被“凍結”),略去二次以上的項,滿足上式的一組

ri就是虛位移.

而真實位移dri是一個在時間dt間隔中完成的位移,

為使其滿足約束條件,必須于是得是約束對真實位移的限制條件,即時間不被“凍結”的可能位移應滿足的條件.如約束是穩(wěn)定的,

虛實位移相同.虛位移與實位移比較表

虛位移實位移共同點為約束所允許為約束所允許不同點1）與主動力、作用時間、初始條件無關；

2）是可能位移，可有多個或無窮多個；

3）無限微量。與左邊三個因素有關唯一的，方向確定有限量表示方法用變分符號表示。如

等用微分符號表示。如

等相互關系在定常約束情況下，實位移是虛位移中的一個。虛位移的計算虛位移的計算主要指求質點系中各質點的虛位移之間的關系。有幾何法和解析法兩種。幾何法——直接利用約束條件求各點虛位移之間關系的一種方法。約束條件是指幾何關系、運動關系。解析法——用坐標變分的方法來求各點虛位移之間關系的一種方法。2虛功作用在質點上的力在任意虛位移

r中所作得功,叫做虛功.

如果作用在一個力學系統(tǒng)上所有作用反力在任意虛位移中所作得虛功之和為零,即那么系統(tǒng)受到得約束叫做理想約束.一切光滑接觸以及剛體等都是理想約束.例1:質點沿固定的光滑曲面運動,約束方程為質點的虛位移應滿足即虛位移垂直于曲面的法向(

).由于約束面是光滑的,約束力沿曲面的法向,即因此虛功為例2:質點沿運動的光滑曲面運動,約束方程為質點的虛位移應滿足即虛位移仍垂直于曲面的法向.而約束力沿曲面的法向,所以虛功也仍為零.注意,這里約束力所作的真實的功并不為零,因為真實位移dr滿足它并不垂直于曲面的法向.