湖北省武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁試卷第=page11頁，共=sectionpages44頁武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．直線的傾斜角（

）A． B． C． D．2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．在長方體中，設(shè)為棱的中點(diǎn)，則向量可用向量表示為（

）A． B．C． D．4．若直線和直線平行，則的值為（

）A． B． C．或 D．5．設(shè)圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．若直線與曲線有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，分別為圓與圓上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．2 D．1二、多選題9．已知直線，則（

）A．傾斜角為 B．恒過點(diǎn)C．直線的方向向量為 D．在x軸上的截距為210．已知方程表示的曲線為，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)或時，曲線是雙曲線B．當(dāng)時，曲線是橢圓C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則11．過點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（

）A．B．四邊形的外接圓方程為C．直線方程為D．三角形的面積為12．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點(diǎn)，與半橢圓交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．線段長度的取值范圍是C．的面積存在最大值D．的周長存在最大值三、填空題13．已知，，則向量與的夾角為.14．雙曲線的漸近線方程為.15．若直線與圓分別交于M、N兩點(diǎn).則弦MN長的最小值為.16．已知雙曲線方程為，，兩焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過與雙曲線交于兩點(diǎn)，其中且，則此雙曲線離心率為.四、問答題17．的三個頂點(diǎn)分別是，，.(1)求邊的垂直平分線所在直線方程；(2)求內(nèi)邊上中線方程.18．已知圓心為，且經(jīng)過點(diǎn)的圓.(1)求此圓C的方程；(2)直線與圓相交于、兩點(diǎn).若為等邊三角形，求直線的方程.19．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且.(1)求線段的長度；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為16.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.21．如圖，直三棱柱，.(1)證明：；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，，求二面角的余弦值.22．已知橢圓的離心率為，為其左焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試求面積的最大值以及此時直線的方程.答案第=page1010頁，共=sectionpages1111頁答案第=page1111頁，共=sectionpages1111頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意求出直線的斜率，進(jìn)而可求解傾斜角.【詳解】由題，將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得，所以直線的斜率，因?yàn)?，所以，故選:C.2．B【分析】根據(jù)題意，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓，則，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選:B.3．D【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示，故選:D.4．A【分析】由題知兩直線平行，直接列出()即可求得【詳解】直線和直線平行，可得，得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了已知兩直線平行求參的問題，注意要排除兩直線重合的情況，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】先根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷出兩圓的位置關(guān)系，從而得解．【詳解】由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線．故選：B．6．C【分析】聯(lián)立方程，等價轉(zhuǎn)化為二次方程的根，列得不等式組，可得答案.【詳解】將代入，可得，由題意，等價于存在兩個大于等于零小于等于1且不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得，故選：C.7．A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【詳解】由題意，，，即，，整理可得，，則，解得.故選：A.8．C【分析】分別求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，所以，當(dāng)共線時，取得最小值，故的最小值為.故選：C.9．BC【分析】根據(jù)直線的方程求出斜率得傾斜角判斷A，點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可判斷B，根據(jù)直線斜率判斷C，求出直線在軸上截距判斷D.【詳解】由可得，即直線斜率，所以傾斜角為，故A錯誤；點(diǎn)代入直線方程，成立，故B正確；因?yàn)橹本€斜率，而與原點(diǎn)連線斜率也是，與直線平行，所以是直線的一個方向向量，故C正確；令，可得，即在x軸上的截距為，故D錯誤.故選：BC10．AD【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依次構(gòu)造不等式求得每種曲線對應(yīng)的的范圍即可.【詳解】對于A，若曲線為雙曲線，則，解得：或，A正確；對于B，若曲線為橢圓，則，解得：或，B錯誤；對于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：，C錯誤；對于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：，D正確.故選：AD.11．BCD【分析】求出，由勾股定理求解，即可判斷選項(xiàng)；利用為所求圓的直徑，求出圓心和半徑，即可判斷選項(xiàng)；利用，求出直線的斜率，即可判斷選項(xiàng)；求出直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求解，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于，由題意可得：，由勾股定理可得，，故選項(xiàng)錯誤；對于，由題意知，，則為所求圓的直徑，所以線段的中點(diǎn)為，半徑為，則所求圓的方程為，化為一般方程為，故選項(xiàng)正確；對于，由題意，其中一個切點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨設(shè)為點(diǎn)，則，又，所以，所以直線的方程為，故選項(xiàng)正確；對于，因?yàn)?，且直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，故的面積為，所以的面積為，故選項(xiàng)正確，故選：.12．ABC【分析】求得半圓的方程和半橢圓的方程判斷AB選項(xiàng)，分別求得直線與半圓和半橢圓的交點(diǎn)，利用面積公式判斷選項(xiàng)C，由的周長為求解判斷.【詳解】解：由題意得半圓的方程為，設(shè)半橢圓的方程為，又，則，則半橢圓的方程為，則橢圓的離心率，故正確；直線與半圓交于點(diǎn)，與半橢圓交于點(diǎn)，則線段長度的取值范圍是；不妨設(shè)，則由，可得；由，可得；則，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故C正確；的周長為，則在上單調(diào)遞減，則的周長不存在最大值.故D錯誤故選：ABC13．/【分析】運(yùn)用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：14．【分析】根據(jù)雙曲線方程得到焦點(diǎn)在軸，，，即可得到漸近線方程.【詳解】雙曲線，焦點(diǎn)在軸，，，漸近線方程為.故答案為：15．4【分析】分析直線過定點(diǎn)，再由勾股定理即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑為3，直線，即，直線過定點(diǎn)P，又因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)圓心到直線MN距離最大時，弦長MN最小，此時，此時，故答案為：4.16．/【分析】連接，設(shè)利用雙曲線的定義得到利用直角和直角構(gòu)造的關(guān)系，即可求出答案【詳解】連接，設(shè)則，由雙曲線的定義可得在直角中，，即，化簡可得，在直角中，，即，將代入上式可得整理可得，所以，故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）先得到線段的中點(diǎn)，再利用垂直平分線得到，接著用點(diǎn)斜式即可求解；（2）利用截距式即可得到中線的方程，注意加上對應(yīng)范圍【詳解】（1）由，可得線段的中點(diǎn)為，，因?yàn)槭沁叺拇怪逼椒志€，所以，則所在直線方程：即（2）由（1）可得線段的中點(diǎn)為，故邊上中線方程為即，所以內(nèi)邊上中線方程：18．(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閳A心為，所以圓的方程設(shè)為，該圓過，所以有，所以圓C的方程為；（2）由（1）可知該圓的半徑為因?yàn)闉榈冗吶切?，且邊長為，所以該等邊三角形的高為，所以圓心到直線的距離為，即，所以直線的方程為或19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，即可得到，從而得到結(jié)果；（2）由（1）中的結(jié)論，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、，、、，則，，∵，則，解得，故；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，直線與平面所成角正弦值為.20．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形周長公式，結(jié)合焦距的定義進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)的焦距為，，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，而橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為16.所以，所以，所以，所以的方程為；（2）設(shè)，，代入橢圓方程得兩式相減可得，即.由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，得，，則的斜率，所以的方程為，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用點(diǎn)差法是解題的關(guān)鍵.21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與證明平面.（2）以為原點(diǎn)，分別為非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)是，用空間向量法解決.【詳解】（1）直三棱柱，平面，并且平面，又，且，平面平面，又平面，.（2），，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以的中點(diǎn)，則，，，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，則，因所求角為鈍角，所以二面角的余弦值為.22．(1)；(2)最大值為，此時