2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題13 統(tǒng)計(jì)概率專題（數(shù)學(xué)文化）含解析

2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題13統(tǒng)計(jì)概率專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2021春·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）洛書古稱龜書，傳說有神魚出于洛水，其甲殼上有此圖案，由表示1-9的圈點(diǎn)組成，數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)，即九宮圖，如圖，在5個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)，則3個(gè)數(shù)的和為15的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·全國(guó)·高三興國(guó)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）我國(guó)古代學(xué)者余道安在他著的《海潮圖序》一書中說：“潮之漲落，海非增減，蓋月之所臨，則之往從之”．哲學(xué)家王充在《論衡》中寫道：“濤之起也，隨月盛衰．”指出了潮汐跟月亮有關(guān)系．到了17世紀(jì)80年代，英國(guó)科學(xué)家牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律之后，提出了潮汐是由于月亮和太陽(yáng)對(duì)海水的吸引力引起的假設(shè)，科學(xué)地解釋了產(chǎn)生潮汐的原因．船只在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下圖是某港口某天記錄的時(shí)刻（x軸）與水深（y軸）關(guān)系的散點(diǎn)圖，若某貨船需要的安全水深為5米，則下列說法正確的是（

）A．該船在凌晨3點(diǎn)零6分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，9點(diǎn)18分返回海洋或15點(diǎn)30分駛?cè)牒降溃拷a頭，21點(diǎn)42分返回海洋B．該船這一天能進(jìn)入航道，靠近碼頭的時(shí)間可以是0時(shí)到凌晨6點(diǎn)12分或12時(shí)24分到18點(diǎn)36分C．海水漲落潮周期是12小時(shí)D．該船最多在碼頭停留時(shí)間不能超過6小時(shí)3．（2022·江西贛州·高三校考階段練習(xí)）2022年是香港回歸祖國(guó)25周年，香港是一座高度繁榮的國(guó)際大都市，有著東方之珠的美譽(yù)，同時(shí)香港的區(qū)徽也帶上了香港特有的浪漫.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動(dòng)態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國(guó)，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國(guó)不可分離的一部分，并將在祖國(guó)懷抱中興旺發(fā)達(dá).花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國(guó)，采用紅、白不同顏色，象征“一國(guó)兩制”.其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊101中學(xué)?？计谀└怕收撈鹪从?6-17世紀(jì)對(duì)賭博問題的研究，概率的要義在17世紀(jì)中葉由法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論才明確．當(dāng)時(shí)有個(gè)叫梅羅騎士因賭注分配的問題寫信求教于帕斯卡．背景：“甲乙兩人賭注共有144收金，賭局分為五局三勝制，誰(shuí)先贏得3局，即可獲得全部賭注，現(xiàn)已知在甲獲得2局勝乙獲得1局勝利時(shí)，因某種原因賭局被中止了，給甲乙倆人怎樣分配賭注才合理"，已知甲乙每局獲勝的概率均為0.5，且每局輸贏相互獨(dú)立．你認(rèn)為乙應(yīng)該獲得多少妝金才合理（

）A．24 B．36 C．48 D．725．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近似．假設(shè)每個(gè)大腸桿菌基因組含有10000個(gè)核苷酸對(duì)，采用紫外線照射大腸桿菌時(shí)，每個(gè)核苷酸對(duì)產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個(gè)嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．6．（2022春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，激發(fā)青少年學(xué)生的愛國(guó)、愛黨熱情，引導(dǎo)青少年學(xué)生深入地了解黨的光輝歷史，加強(qiáng)愛國(guó)主義教育，甲、乙兩所學(xué)校均計(jì)劃于2021年7月組織師生參加“觀看一部紅色電影”活動(dòng)．據(jù)了解，《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》等多部電影將陸續(xù)上映．甲、乙兩校分別從這4部電影中任選一部電影觀看，則甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是（

）A． B． C． D．7．（2022春·河南·高二統(tǒng)考期末）“霍姆斯馬車?yán)碚摗笔侵父鞣N資源都得到最合理配置和使用的一種理論．一個(gè)富有效率的團(tuán)隊(duì)不需要每一個(gè)人都是最有能力的，而在于每個(gè)人的能力都能得到最合理的使用和發(fā)揮．某科研團(tuán)隊(duì)共有名研究人員，編號(hào)分別為，要均分成甲、乙兩個(gè)科研小組，其中號(hào)研究員組合在一起，號(hào)研究員組合在一起，其余研究員隨意搭配就能達(dá)到最佳效果，那么達(dá)到最佳效果的不同的分組方式共有（

）．A．種 B．種 C．種 D．種8．（2022春·江西宜春·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)史上記載了眾多科學(xué)家根據(jù)生活中的一些數(shù)學(xué)問題制作了許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，如研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的“高爾頓釘板”模型.某游樂場(chǎng)根據(jù)“高爾頓釘板”模型，仿作了一款如圖的游戲機(jī)，玩家投入一枚游戲幣后，機(jī)器從上方隨機(jī)放下一顆半徑適當(dāng)?shù)男∏?，假設(shè)小球從最上層3個(gè)縫隙落下的概率都相等，小球第一次與第2層的一障礙物隨機(jī)（圖中圓點(diǎn)）碰撞且碰撞下落過程中等可能地從左邊或右邊繼續(xù)下落，于是又碰到下一層的一障礙物，如此繼續(xù)下去，最后落入編號(hào)①，②，…，⑧的槽內(nèi).設(shè)小球落入編號(hào)②的槽內(nèi)概率為，落入編號(hào)⑥的槽內(nèi)概率為，則（

）A． B． C． D．，大小關(guān)系不定9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820-1910）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)扇形圓心角都是相等的，半徑長(zhǎng)短表示數(shù)量大?。硻C(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國(guó)知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加B．2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍D．2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增10．（2021秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）算盤是我國(guó)古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個(gè)位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠、十位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個(gè)位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的四位數(shù)含2個(gè)數(shù)字5”，則（

）A． B． C． D．11．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng)．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（

）A．條 B．條 C．條 D．條12．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二?？茧A段練習(xí)）據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0），則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為（

）A． B． C． D．13．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑學(xué)教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具，與華容道?獨(dú)立鉆石棋一起被國(guó)外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個(gè)，恰好抽到中心方塊的概率為（

）A． B． C． D．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個(gè) B．720個(gè) C．810個(gè) D．891個(gè)15．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為（

）A． B． C． D．16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）花窗是一種在窗洞中用鏤空?qǐng)D案進(jìn)行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國(guó)古代建筑中常見的美化形式，既具備實(shí)用功能，又帶有裝飾效果．如圖所示是一個(gè)花窗圖案，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的三等分點(diǎn)；點(diǎn)P，M，N，O分別為EF，F(xiàn)G，GH，HE上的三等分點(diǎn)；同樣，點(diǎn)Q，R，S，T分別為PM，MN，NO，OP上的三等分點(diǎn)．若在大正方形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）端午節(jié)，又稱端陽(yáng)節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日．扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國(guó)自古傳承，至今不輟．在一個(gè)袋中裝有大小一樣的個(gè)豆沙粽，個(gè)咸肉粽，現(xiàn)從中任取個(gè)粽子，設(shè)取出的個(gè)粽子中咸肉粽的個(gè)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（

）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測(cè)量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大19．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市第十七中學(xué)校考階段練習(xí)）為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識(shí)別方法中存在的問題，科學(xué)家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)．規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的個(gè)點(diǎn)的深度的均值為，標(biāo)準(zhǔn)偏差為，深度的點(diǎn)視為孤立點(diǎn)．則根據(jù)下表中某區(qū)域內(nèi)8個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）15.115.215.315.415.515.415.413.415.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218A． B． C．不是孤立點(diǎn) D．是孤立點(diǎn)20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，若，則（

）A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是B．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為C．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是D．，其中為虛數(shù)單位21．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為．若，，則的值可以是（

）A． B． C． D．22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國(guó)古代諸侯的等級(jí)自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個(gè)等級(jí)，現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級(jí)別每高一級(jí)就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（

）A．為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是B．為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是C．為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1D．為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是23．（2022秋·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》給出了著名的楊輝三角，在楊輝三角（左圖）中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，第n行所有數(shù)之和為；右圖是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的模型高爾頓板，在一塊木板上釘著若干排相互平行且相互錯(cuò)開的圓柱形釘子，釘子之間留有空隙作為通道，讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的入口落下，小球在下落的過程中與釘子碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉到下方的某一球槽內(nèi)，如圖，小球從高爾頓板第1行的第一個(gè)縫隙落下的概率是，第二個(gè)縫隙落下的概率是；從第2行第一個(gè)縫隙落下的概率是，第二個(gè)縫腺落下的概率是，第三個(gè)縫隙落下的概率是，小球從第n行第m個(gè)縫隙落下的概率可以由楊輝三角快速算出，那么小球從第6行某個(gè)縫隙落下的概率可能為（

）A． B． C． D．三、填空題24．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）中國(guó)的“五岳”是指在中國(guó)境內(nèi)的五座名山：東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，坐落于東、西、南、北、中五個(gè)方位．在甲決定從嵩山、泰山、華山、廬山、黃山這5座名山中，選擇2座名山在2022年國(guó)慶期間前去旅游，則甲至少選中一座屬于“五岳”的名山的概率為______（用數(shù)字作答）．25．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為______石．（精確到整數(shù)）26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個(gè)陰爻，則該重卦可以有___________種.(用數(shù)字作答)27．（2021秋·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）在信息論中，設(shè)某隨機(jī)事件發(fā)生的概率為，稱為該隨機(jī)事件的自信息．若隨機(jī)拋一枚均勻的硬幣1次，則“正面朝上”這一事件的自信息為__________．28．（2022·高二單元測(cè)試）公元前世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道五種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．后來(lái)，柏拉圖學(xué)派的泰阿泰德（Theaetetus）證明出正多面體總共只有上述五種．如圖就是五種正多面體的圖形．現(xiàn)有張分別畫有上述五種多面體的不同卡片（除畫有的圖形不同外沒有差別），若從這張不同的卡片中任取張，則沒有取到畫有“正四面體”卡片的概率為____________．29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y＝3sinx的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為________．30．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書主要記述了積算（即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計(jì)數(shù)種計(jì)算器械的使用方法，某研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊五人.該小組搜集兩儀、三才、五行、八卦、九宮種計(jì)算器械的資料.每人搜集一種，每種資料都要有人搜集，其中甲乙不搜集兩儀，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宮，則不同的分配方案的種數(shù)____.(用數(shù)字填寫答案）31．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）明朝著名易學(xué)家來(lái)知德創(chuàng)立了以太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象.他認(rèn)為“萬(wàn)古之人事，一年之氣象也，春作夏長(zhǎng)秋收冬藏，一年不過如此”.下圖是來(lái)氏太極圖，其大圓半徑為6，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為2，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在空白區(qū)域的概率為__________.32．（2021春·江蘇·高二專題練習(xí)）早在宋代，我國(guó)著名學(xué)者沈括編著的《夢(mèng)溪筆談》中，就有對(duì)排列組合問題的研究：在一個(gè)的棋盤中，布局4顆相同的棋子，且每一行只有1顆棋子，則不同的棋局總數(shù)為______．33．（2021春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習(xí)）圣宋元寶，是中國(guó)古代錢幣之一，宋徽宗趙估建中靖國(guó)元年（公元101年）始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號(hào)命名的非年號(hào)錢，種類主要有小平和折二兩種．小明同學(xué)珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機(jī)抽取2枚贈(zèng)好友，則贈(zèng)送的兩枚為不同種類的概率為_________．34．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）嫦娥五號(hào)的成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)航天史上的五個(gè)“首次”，某中學(xué)為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報(bào)名的30位同學(xué)編號(hào)為01，02，…，30，利用下面的隨機(jī)數(shù)表來(lái)決定他們的出場(chǎng)順序，選取方法是：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，重復(fù)的跳過.則選出來(lái)的第2個(gè)個(gè)體的編號(hào)為______.45

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8135．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役二百五十人，則北鄉(xiāng)遣___________人.36．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）考古發(fā)現(xiàn)，在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857，因?yàn)椋?，……所以這組數(shù)字又叫走馬燈數(shù)．該組數(shù)字還有如下規(guī)律：，，……若從這個(gè)數(shù)字中任意取出個(gè)數(shù)字構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)，則的結(jié)果恰好是剩下3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)的概率為______．37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三分損益法是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義，三分損一是指將原有長(zhǎng)度作3等分而減去其1份，即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度；而三分益一則是指將原有長(zhǎng)度作3等分而增添其1份，即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度，兩種方法可以交替運(yùn)用?連續(xù)運(yùn)用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設(shè)能發(fā)出第一個(gè)基準(zhǔn)音的樂器的長(zhǎng)度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長(zhǎng)度為128的概率為___________.38．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國(guó)，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個(gè)等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場(chǎng)比賽會(huì)派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應(yīng)的策略，則其獲勝的概率最大為_________.39．（2022春·河南駐馬店·高二新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家波利亞說：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來(lái)，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理．由等式利用算兩次原理可得____．40．（2022春·云南昭通·高二校聯(lián)考期末）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩度克·牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國(guó)至遲在11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則.在的二項(xiàng)式展開式中，的系數(shù)為______.四、解答題41．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）飛天夢(mèng)永不失重，科學(xué)夢(mèng)張力無(wú)限．“天宮課堂”是我國(guó)推出的全球首個(gè)太空科普教育活動(dòng)，2022年3月23日15時(shí)40分，“天宮課堂”第二課如約而至，航天員王亞平在翟志剛、葉光富的協(xié)助下，成功演示了太空“冰雪”、液橋演示、水油分離、太空拋物等實(shí)驗(yàn)，激發(fā)了青少年學(xué)生追夢(mèng)航天的飛天夢(mèng)、科學(xué)夢(mèng)．受“天宮課堂”啟發(fā)，某學(xué)生分別在實(shí)驗(yàn)室的正常環(huán)境、失重環(huán)境下進(jìn)行某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，其中正常環(huán)境下試驗(yàn)100次，成功40次；失重環(huán)境下試驗(yàn)10次，失敗3次．(1)用頻率估計(jì)概率，求該同學(xué)在失重環(huán)境下實(shí)驗(yàn)成功的概率；(2)請(qǐng)根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)成敗與選擇的實(shí)驗(yàn)環(huán)境有關(guān)．成功次數(shù)失敗次數(shù)合計(jì)正常環(huán)境失重環(huán)境合計(jì)附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82842．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）籃球誕生美國(guó)馬薩諸塞州的春田學(xué)院．1891年，春田學(xué)院的體育教師加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（JamesNaismith）為了對(duì)付冬季寒冷的氣溫，讓學(xué)生們能夠在室內(nèi)有限的空間里繼續(xù)進(jìn)行有趣的傳球訓(xùn)練．現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué)在某次傳球的訓(xùn)練中，球從甲開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲手里的概率為pn，第n次傳球之前球在乙手里的概率為qn，顯然p1=1，q1=0．(1)求p3＋2q3的值；(2)比較p8，q8的大?。畬ｎ}13統(tǒng)計(jì)概率專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2021春·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）洛書古稱龜書，傳說有神魚出于洛水，其甲殼上有此圖案，由表示1-9的圈點(diǎn)組成，數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)，即九宮圖，如圖，在5個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)，則3個(gè)數(shù)的和為15的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到5個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)所有基本事件的個(gè)數(shù)，然后得到所求事件包含基本事件個(gè)數(shù)，最后根據(jù)古典概型概念計(jì)算即可.【詳解】5個(gè)陽(yáng)數(shù)為1，3，5，7，9，從5個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，所有基本事件有：，，，，，，，，，，共10個(gè)，事件“3個(gè)數(shù)的和為15”所包含的基本事件有，，共2個(gè)，因此，所求概率故選：A2．（2022秋·全國(guó)·高三興國(guó)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）我國(guó)古代學(xué)者余道安在他著的《海潮圖序》一書中說：“潮之漲落，海非增減，蓋月之所臨，則之往從之”．哲學(xué)家王充在《論衡》中寫道：“濤之起也，隨月盛衰．”指出了潮汐跟月亮有關(guān)系．到了17世紀(jì)80年代，英國(guó)科學(xué)家牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律之后，提出了潮汐是由于月亮和太陽(yáng)對(duì)海水的吸引力引起的假設(shè)，科學(xué)地解釋了產(chǎn)生潮汐的原因．船只在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下圖是某港口某天記錄的時(shí)刻（x軸）與水深（y軸）關(guān)系的散點(diǎn)圖，若某貨船需要的安全水深為5米，則下列說法正確的是（

）A．該船在凌晨3點(diǎn)零6分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，9點(diǎn)18分返回海洋或15點(diǎn)30分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，21點(diǎn)42分返回海洋B．該船這一天能進(jìn)入航道，靠近碼頭的時(shí)間可以是0時(shí)到凌晨6點(diǎn)12分或12時(shí)24分到18點(diǎn)36分C．海水漲落潮周期是12小時(shí)D．該船最多在碼頭停留時(shí)間不能超過6小時(shí)【答案】B【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖分析各時(shí)刻水深判斷各選項(xiàng)．【詳解】由圖可知一天內(nèi)在凌晨到6點(diǎn)12分水深超過5米，在12點(diǎn)24分到18點(diǎn)36分水深超過5米，故A錯(cuò)誤，B正確；漲落潮周期為12.4小時(shí)即12小時(shí)24分鐘，故C錯(cuò)誤；海水水深保持在5米以上的時(shí)間為小時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：B．3．（2022·江西贛州·高三?？茧A段練習(xí)）2022年是香港回歸祖國(guó)25周年，香港是一座高度繁榮的國(guó)際大都市，有著東方之珠的美譽(yù)，同時(shí)香港的區(qū)徽也帶上了香港特有的浪漫.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動(dòng)態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國(guó)，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國(guó)不可分離的一部分，并將在祖國(guó)懷抱中興旺發(fā)達(dá).花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國(guó)，采用紅、白不同顏色，象征“一國(guó)兩制”.其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何概型面積比公式計(jì)算.【詳解】設(shè)區(qū)徽直徑為，則紫荊花外輔助圓直徑為，所以區(qū)徽的面積為，紫荊花外輔助圓的面積為，根據(jù)幾何概型的公式得該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為.故選：C4．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊101中學(xué)?？计谀└怕收撈鹪从?6-17世紀(jì)對(duì)賭博問題的研究，概率的要義在17世紀(jì)中葉由法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論才明確．當(dāng)時(shí)有個(gè)叫梅羅騎士因賭注分配的問題寫信求教于帕斯卡．背景：“甲乙兩人賭注共有144收金，賭局分為五局三勝制，誰(shuí)先贏得3局，即可獲得全部賭注，現(xiàn)已知在甲獲得2局勝乙獲得1局勝利時(shí)，因某種原因賭局被中止了，給甲乙倆人怎樣分配賭注才合理"，已知甲乙每局獲勝的概率均為0.5，且每局輸贏相互獨(dú)立．你認(rèn)為乙應(yīng)該獲得多少妝金才合理（

）A．24 B．36 C．48 D．72【答案】B【分析】根據(jù)題意計(jì)算出乙勝出的概率，從而可求出乙應(yīng)該獲得的妝金.【詳解】因?yàn)榧撰@得2局勝乙獲得1局勝利，所以根據(jù)題意可知乙第四五局均勝，乙才能勝出，因?yàn)榧滓颐烤肢@勝的概率均為0.5，所以乙勝出的概率為，所以乙應(yīng)該獲得的妝金為，故選：B5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近似．假設(shè)每個(gè)大腸桿菌基因組含有10000個(gè)核苷酸對(duì)，采用紫外線照射大腸桿菌時(shí)，每個(gè)核苷酸對(duì)產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個(gè)嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題意，，此時(shí)Poisson分布滿足二項(xiàng)分布的近似條件，再計(jì)算二項(xiàng)分布的均值為Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用對(duì)立事件的概率和為1計(jì)算即可【詳解】由題，，，此時(shí)Poisson分布滿足二項(xiàng)分布的近似的條件，此時(shí)，故不致死的概率為，故致死的概率為故選：A6．（2022春·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，激發(fā)青少年學(xué)生的愛國(guó)、愛黨熱情，引導(dǎo)青少年學(xué)生深入地了解黨的光輝歷史，加強(qiáng)愛國(guó)主義教育，甲、乙兩所學(xué)校均計(jì)劃于2021年7月組織師生參加“觀看一部紅色電影”活動(dòng)．據(jù)了解，《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》等多部電影將陸續(xù)上映．甲、乙兩校分別從這4部電影中任選一部電影觀看，則甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型概率公式即得.【詳解】分別用1，2，3，4表示《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》，由題可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16種，其中甲、乙兩校選擇不同電影有：，，，，，，，，，，，，共有12種，所以甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是.故選：D．7．（2022春·河南·高二統(tǒng)考期末）“霍姆斯馬車?yán)碚摗笔侵父鞣N資源都得到最合理配置和使用的一種理論．一個(gè)富有效率的團(tuán)隊(duì)不需要每一個(gè)人都是最有能力的，而在于每個(gè)人的能力都能得到最合理的使用和發(fā)揮．某科研團(tuán)隊(duì)共有名研究人員，編號(hào)分別為，要均分成甲、乙兩個(gè)科研小組，其中號(hào)研究員組合在一起，號(hào)研究員組合在一起，其余研究員隨意搭配就能達(dá)到最佳效果，那么達(dá)到最佳效果的不同的分組方式共有（

）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】將所有分組方式分成號(hào)研究員在同一組和號(hào)研究員在一組，號(hào)研究院在另一組兩種情況，由分類加法計(jì)數(shù)原理可加和得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)號(hào)研究員在同一組時(shí)，有種情況；當(dāng)號(hào)研究員在一組，號(hào)研究院在另一組時(shí)，有種情況；綜上所述：不同的分組方式共有種.故選：C.8．（2022春·江西宜春·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)史上記載了眾多科學(xué)家根據(jù)生活中的一些數(shù)學(xué)問題制作了許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，如研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的“高爾頓釘板”模型.某游樂場(chǎng)根據(jù)“高爾頓釘板”模型，仿作了一款如圖的游戲機(jī)，玩家投入一枚游戲幣后，機(jī)器從上方隨機(jī)放下一顆半徑適當(dāng)?shù)男∏?，假設(shè)小球從最上層3個(gè)縫隙落下的概率都相等，小球第一次與第2層的一障礙物隨機(jī)（圖中圓點(diǎn)）碰撞且碰撞下落過程中等可能地從左邊或右邊繼續(xù)下落，于是又碰到下一層的一障礙物，如此繼續(xù)下去，最后落入編號(hào)①，②，…，⑧的槽內(nèi).設(shè)小球落入編號(hào)②的槽內(nèi)概率為，落入編號(hào)⑥的槽內(nèi)概率為，則（

）A． B． C． D．，大小關(guān)系不定【答案】B【分析】結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出，由此得出正確答案.【詳解】依題意：小球從最上層3個(gè)縫隙落下的概率都相等，，，所以.故選：B9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820-1910）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)扇形圓心角都是相等的，半徑長(zhǎng)短表示數(shù)量大?。硻C(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國(guó)知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加B．2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍D．2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增【答案】D【分析】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項(xiàng)，即可得解.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；對(duì)于BD，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，，可知知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，即2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍，故C正確；故選：D10．（2021秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）算盤是我國(guó)古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個(gè)位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠、十位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個(gè)位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的四位數(shù)含2個(gè)數(shù)字5”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知基本事件總數(shù)為，然后列舉出四位數(shù)含2個(gè)數(shù)字5的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】現(xiàn)將算盤的個(gè)位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，每個(gè)珠子有兩種情況：1和5，所以共有種情況，其中四位數(shù)含2個(gè)數(shù)字5的有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6種，所以，故選：C11．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng)．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【分析】將路線分為兩步，首先確定從“兵”到“炮”的最短路線走法；再確定從“炮”到“馬”的最短路線走法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知：“兵”吃掉“馬”的最短路線，需橫走三步，豎走兩步；其中能順帶吃掉“炮”的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有種走法．能順帶吃掉“炮”的可能路線共有（條）．故選：C.12．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二?？茧A段練習(xí)）據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0），則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)5根算籌，分為四類情況：,逐一分類求解滿足要求的兩位數(shù)，即可求解概率.【詳解】根據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個(gè)位上可用的算籌可以分為一共四類情況；第一類：，即十位用4根算籌，個(gè)位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個(gè)位為1，則兩位數(shù)為41或者81；第二類：，即十位用3根算籌，個(gè)位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個(gè)位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能32，36，72，76；第三類：，即十位用2根算籌，個(gè)位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個(gè)位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是23，27，63，67；第四類：，即十位用1根算籌，個(gè)位用4根算籌，那么十位為1，個(gè)位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為14或者18，綜上可知：所有的兩位數(shù)有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計(jì)12個(gè)，則大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共計(jì)8個(gè)，故概率為，故選:C13．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑學(xué)教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具，與華容道?獨(dú)立鉆石棋一起被國(guó)外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個(gè)，恰好抽到中心方塊的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】沿等分線把正方體切開，共有27個(gè)同樣大小的小正方體，然后數(shù)出1面有色、2面有色和3面有色的小正方體的個(gè)數(shù)，可通過古典概型運(yùn)算公式求得答案.【詳解】沿等分線把正方體切開，得到27個(gè)同樣大小的小正方體，1面有色的小正方體有6個(gè)，2面有色的小正方體有12個(gè)，3面有色的小正方體有8個(gè)，所以恰好抽到的是中心方塊的概率是．故選：A.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個(gè) B．720個(gè) C．810個(gè) D．891個(gè)【答案】D【分析】5位“回文數(shù)”的萬(wàn)位與個(gè)位相同，千位與十位相同，所以只需確定前3位即可.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的特點(diǎn)，只需確定前3位即可，最高位即萬(wàn)位有9種排法，千位和百位各有10種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法，其中各位數(shù)字相同的共有9種，則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有種.故選：D.15．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為個(gè)的事件為，事件的概率為，從乙中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，事件的概率為，再分別分析三種情況求解即可【詳解】設(shè)從甲中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為個(gè)的事件為，事件的概率為，從乙中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為故選：C16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）花窗是一種在窗洞中用鏤空?qǐng)D案進(jìn)行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國(guó)古代建筑中常見的美化形式，既具備實(shí)用功能，又帶有裝飾效果．如圖所示是一個(gè)花窗圖案，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的三等分點(diǎn)；點(diǎn)P，M，N，O分別為EF，F(xiàn)G，GH，HE上的三等分點(diǎn)；同樣，點(diǎn)Q，R，S，T分別為PM，MN，NO，OP上的三等分點(diǎn)．若在大正方形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可以得到圖形里面由多對(duì)相似三角形，可得到，利用邊長(zhǎng)的比例可以得到面積的比例為，繼而得到和與的關(guān)系，通過面積比即可得到答案【詳解】解：由題意，根據(jù)三角形相似可知．則．故即，即故．故選：C．二、多選題17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）端午節(jié)，又稱端陽(yáng)節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日．扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國(guó)自古傳承，至今不輟．在一個(gè)袋中裝有大小一樣的個(gè)豆沙粽，個(gè)咸肉粽，現(xiàn)從中任取個(gè)粽子，設(shè)取出的個(gè)粽子中咸肉粽的個(gè)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)服從超幾何分布可判斷BC選項(xiàng)的正誤，利用超幾何分布的概率公式可判斷AD選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意知，隨機(jī)變量服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；，，所以，故AD正確．故選：ACD．18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（

）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測(cè)量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大【答案】AC【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)可知，，則可判斷出AB選項(xiàng)，再由正態(tài)曲線的特征即可判斷出CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)檎龖B(tài)分布密度函數(shù)為，所以，，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多，故C正確，隨機(jī)測(cè)量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大.故D錯(cuò)誤．故選：AC.19．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識(shí)別方法中存在的問題，科學(xué)家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)．規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的個(gè)點(diǎn)的深度的均值為，標(biāo)準(zhǔn)偏差為，深度的點(diǎn)視為孤立點(diǎn)．則根據(jù)下表中某區(qū)域內(nèi)8個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）15.115.215.315.415.515.415.413.415.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218A． B． C．不是孤立點(diǎn) D．是孤立點(diǎn)【答案】BC【分析】根據(jù)題目所給公式和表中數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由表可知，A錯(cuò)誤；，B正確；所以，因?yàn)椋?，則，，所以、不是孤立點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，若，則（

）A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是B．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為C．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是D．，其中為虛數(shù)單位【答案】BC【分析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由圓柱和球的體積和表面積公式可求得，進(jìn)而得到；對(duì)于A，利用二項(xiàng)式定理得到展開式通項(xiàng)，令可求得，代入得到常數(shù)項(xiàng)，知A錯(cuò)誤；對(duì)于B，采用賦值法，令可得各項(xiàng)系數(shù)和，知B正確；對(duì)于C，由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知最大值為，知C正確；對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則圓柱的高為，，，則，；對(duì)于A，展開式通項(xiàng)公式為：，令，解得：，展開式的常數(shù)項(xiàng)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，B正確；對(duì)于C，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以立體幾何的知識(shí)為載體，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式定理的知識(shí)，解題關(guān)鍵是能夠利用球和圓柱的表面積及體積公式確定二項(xiàng)展開式的表達(dá)式.21．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為．若，，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)已知中和對(duì)模同余的定義，結(jié)合二項(xiàng)式定理，可以求出除以5余1，結(jié)合，比照四個(gè)答案中的數(shù)字，結(jié)合得到答案．【詳解】若，由二項(xiàng)式定理可得，則，因?yàn)槟鼙?整除，所以除以5余1，又因，選項(xiàng)中和除以5余1故選：BD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用二項(xiàng)式定理求同余的問題，需要根據(jù)題中的信息，將表示成含5的展開式，進(jìn)而分析余數(shù)即可，屬于中檔題22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國(guó)古代諸侯的等級(jí)自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個(gè)等級(jí)，現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級(jí)別每高一級(jí)就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（

）A．為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是B．為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是C．為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1D．為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是【答案】ACD【分析】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得到的首項(xiàng)和公差，再分類討論分別求出每種情況中男、子、伯、侯、公五個(gè)等級(jí)分到的領(lǐng)地?cái)?shù)，再利用概率對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，即可得正確選項(xiàng).【詳解】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，則，得．因?yàn)?，均為正整?shù)，所以有如下幾種情況：，，，共4種情況，每種情況各位諸侯分到領(lǐng)地的處數(shù)如下表所列：男子伯侯公，89101112，68101214，47101316，26101418由表中數(shù)據(jù)可知：為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是；故選項(xiàng)A正確；為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是；故選項(xiàng)B不正確；為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是；故選項(xiàng)C正確；為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD．23．（2022秋·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》給出了著名的楊輝三角，在楊輝三角（左圖）中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，第n行所有數(shù)之和為；右圖是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的模型高爾頓板，在一塊木板上釘著若干排相互平行且相互錯(cuò)開的圓柱形釘子，釘子之間留有空隙作為通道，讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的入口落下，小球在下落的過程中與釘子碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉到下方的某一球槽內(nèi)，如圖，小球從高爾頓板第1行的第一個(gè)縫隙落下的概率是，第二個(gè)縫隙落下的概率是；從第2行第一個(gè)縫隙落下的概率是，第二個(gè)縫腺落下的概率是，第三個(gè)縫隙落下的概率是，小球從第n行第m個(gè)縫隙落下的概率可以由楊輝三角快速算出，那么小球從第6行某個(gè)縫隙落下的概率可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式，計(jì)算m取各個(gè)值的概率即可判斷作答.【詳解】小球落下要經(jīng)過6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為，小球從第6行第m個(gè)縫隙落下，則6次碰撞有次向右，其概率為，，于是得，，，，所以選項(xiàng)A，D不可能，選項(xiàng)B，C可能.故選：BC三、填空題24．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）中國(guó)的“五岳”是指在中國(guó)境內(nèi)的五座名山：東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，坐落于東、西、南、北、中五個(gè)方位．在甲決定從嵩山、泰山、華山、廬山、黃山這5座名山中，選擇2座名山在2022年國(guó)慶期間前去旅游，則甲至少選中一座屬于“五岳”的名山的概率為______（用數(shù)字作答）．【答案】##【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從5座名山中選2座名山的不同結(jié)果有：（嵩山，泰山），（嵩山，華山）（嵩山，廬山），（嵩山，黃山），（泰山，華山），（泰山，廬山），（泰山，黃山），（華山，廬山），（華山，黃山），（廬山，黃山），共10種，其中至少選中一座屬于“五岳”的名山的不同結(jié)果有：（嵩山，泰山），（嵩山，華山），（嵩山，廬山），（嵩山，黃山），（泰山，華山），（泰山，廬山）（泰山，黃山），（華山，廬山），（華山，黃山），共9種，故所求的概率為．故答案為：25．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為______石．（精確到整數(shù)）【答案】169【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的意義列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為x石，依題意，，解得，所以這批米內(nèi)夾谷約為169石.故答案為：16926．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個(gè)陰爻，則該重卦可以有___________種.(用數(shù)字作答)【答案】20【分析】3個(gè)陰爻放到6個(gè)爻中，共有種.【詳解】根據(jù)題意，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，假設(shè)有6個(gè)位置，在其中任選3個(gè)，安排3個(gè)“陰爻”，有種情況，即該重卦可以有20種情況，故答案為：20.27．（2021秋·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）在信息論中，設(shè)某隨機(jī)事件發(fā)生的概率為，稱為該隨機(jī)事件的自信息．若隨機(jī)拋一枚均勻的硬幣1次，則“正面朝上”這一事件的自信息為__________．【答案】1【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：隨機(jī)拋一枚均勻的硬幣1次，則“正面朝上”的概率，，即“正面朝上”這一事件的自信息為1，故答案為：1.28．（2022·高二單元測(cè)試）公元前世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道五種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．后來(lái)，柏拉圖學(xué)派的泰阿泰德（Theaetetus）證明出正多面體總共只有上述五種．如圖就是五種正多面體的圖形．現(xiàn)有張分別畫有上述五種多面體的不同卡片（除畫有的圖形不同外沒有差別），若從這張不同的卡片中任取張，則沒有取到畫有“正四面體”卡片的概率為____________．【答案】【解析】記“正四面體”卡片為，“正六面體”、“正八面體”、“正十二面體”、“正二十面體”卡片分別記為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“沒有取到畫有“正四面體”卡片”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記“正四面體”卡片為，“正六面體”、“正八面體”、“正十二面體”、“正二十面體”卡片分別記為、、、，從張不同的卡片中任取張，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個(gè)，其中，事件“沒有取到畫有“正四面體”卡片”所包含的基本事件有：、、、、、，共個(gè)，因此，所求事件的概率為.故答案為：.29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y＝3sinx的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為________．【答案】【解析】利用函數(shù)的最小正周期求出大圓的直徑，再根據(jù)幾何概型的概率公式，利用面積比可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，大圓的直徑為函數(shù)的最小正周期T，又T＝，所以大圓的面積，一個(gè)小圓的面積S′＝π·12＝π，故在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自陰影部分的概率為P＝.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用面積比求解是解題關(guān)鍵.30．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書主要記述了積算（即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計(jì)數(shù)種計(jì)算器械的使用方法，某研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊五人.該小組搜集兩儀、三才、五行、八卦、九宮種計(jì)算器械的資料.每人搜集一種，每種資料都要有人搜集，其中甲乙不搜集兩儀，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宮，則不同的分配方案的種數(shù)____.(用數(shù)字填寫答案）【答案】32【分析】根據(jù)題意，戊不搜集八卦和九宮，則戊可能收集兩儀、三才、五行，則分3種情況討論：①戊收集五行；②戊收集三才；③戊收集兩儀；【詳解】根據(jù)題意，戊不搜集八卦和九宮，則戊可能收集兩儀、三才、五行，則分3種情況討論：①戊收集五行，在甲乙中選出1人收集三才，丙丁中選出1人收集兩儀，剩下2人收集其他2種，則有種分配方案；②戊收集三才，在丙丁中選出1人收集兩儀，剩下3人收集其他3種，則有種分配方案；③戊收集兩儀，在甲乙中選出1人收集三才，剩下3人收集其他3種，則有種分配方案；綜上，種分配方案故答案為：3231．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）明朝著名易學(xué)家來(lái)知德創(chuàng)立了以太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象.他認(rèn)為“萬(wàn)古之人事，一年之氣象也，春作夏長(zhǎng)秋收冬藏，一年不過如此”.下圖是來(lái)氏太極圖，其大圓半徑為6，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為2，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在空白區(qū)域的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)大圓面積為，小圓面積為，并求出、，進(jìn)而求得白色區(qū)域的面積，結(jié)合面積比即可求解.【詳解】設(shè)大圓面積為，小圓面積，則，，可得白色區(qū)域的面積為，所以落在白色區(qū)域的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．32．（2021春·江蘇·高二專題練習(xí)）早在宋代，我國(guó)著名學(xué)者沈括編著的《夢(mèng)溪筆談》中，就有對(duì)排列組合問題的研究：在一個(gè)的棋盤中，布局4顆相同的棋子，且每一行只有1顆棋子，則不同的棋局總數(shù)為______．【答案】81【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算結(jié)果.【詳解】如圖所示，下圖是一個(gè)4行3列的棋盤，若每行只有一個(gè)棋子，每顆棋子放在一行，都有3種方法，則共有種方法.故答案為：33．（2021春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習(xí)）圣宋元寶，是中國(guó)古代錢幣之一，宋徽宗趙估建中靖國(guó)元年（公元101年）始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號(hào)命名的非年號(hào)錢，種類主要有小平和折二兩種．小明同學(xué)珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機(jī)抽取2枚贈(zèng)好友，則贈(zèng)送的兩枚為不同種類的概率為_________．【答案】【分析】把銅錢編號(hào)，用列舉法寫出任取2枚的所有事件，計(jì)數(shù)，同時(shí)得出兩枚為不同種類的基本事件及數(shù)量，由概率公式計(jì)算概率．【詳解】小平錢2枚編號(hào)為，折二錢3枚編號(hào)為，則任取2枚的所有基本事件為：共10種，其中兩枚不同類的有共6種，所求概率為．故答案為：．34．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）嫦娥五號(hào)的成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)航天史上的五個(gè)“首次”，某中學(xué)為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報(bào)名的30位同學(xué)編號(hào)為01，02，…，30，利用下面的隨機(jī)數(shù)表來(lái)決定他們的出場(chǎng)順序，選取方法是：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，重復(fù)的跳過.則選出來(lái)的第2個(gè)個(gè)體的編號(hào)為______.45

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81【答案】02【分析】利用隨機(jī)數(shù)表隨機(jī)數(shù)的選取方法選取即可.【詳解】從題中隨機(jī)數(shù)表可知，隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字為，從這里開始，依次選取兩個(gè)數(shù)字，其中不在編號(hào)內(nèi)，舍去，有重復(fù)，舍掉一個(gè)，從而得到的編號(hào)為，所以選出來(lái)的第2個(gè)個(gè)體的編號(hào)為.故答案為：.35．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役二百五十人，則北鄉(xiāng)遣___________人.【答案】90【分析】根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算抽樣比例，從而求出北鄉(xiāng)應(yīng)遣人數(shù)．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理，抽樣比例為，北鄉(xiāng)應(yīng)遣（人．故答案為：．36．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）考古發(fā)現(xiàn)，在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857，因?yàn)?，，……所以這組數(shù)字又叫走馬燈數(shù)．該組數(shù)字還有如下規(guī)律：，，……若從這個(gè)數(shù)字中任意取出個(gè)數(shù)字構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)，則的結(jié)果恰好是剩下3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)的概率為______．【答案】【分析】先求出個(gè)數(shù)字中任意取出個(gè)數(shù)字構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)共種，再求出相加等于的數(shù)字有組，可得的結(jié)果恰好是剩下3個(gè)數(shù)字的種數(shù)為，再根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】從這個(gè)數(shù)字中任意取出個(gè)數(shù)字構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)，基本事件的總數(shù)為，因?yàn)閺倪@個(gè)數(shù)字中：，，共三組，所以的結(jié)果恰好是剩下個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)的基本事件的個(gè)數(shù)為，所以的結(jié)果恰好是剩下3個(gè)數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)三位數(shù)的概率.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)和為的數(shù)字的組合規(guī)律，準(zhǔn)確的計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù)和使得所求事件發(fā)生的基本事件的個(gè)數(shù).37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三分損益法是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義，三分損一是指將原有長(zhǎng)度作3等分而減去其1份，即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度；而三分益一則是指將原有長(zhǎng)度作3等分而增添其1份，即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度，兩種方法可以交替運(yùn)用?連續(xù)運(yùn)用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設(shè)能發(fā)出第一個(gè)基準(zhǔn)音的樂器的長(zhǎng)度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長(zhǎng)度為128的概率為___________.【答案】【分析】設(shè)5次三分損益中有次三分損一，解方程得的值，即得解.【詳解】設(shè)5次三分損益中有次三分損一，所以，解得故所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求概率常用的方法有：先定性（古典概型的概率、幾何概型的概率、獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、條件概率），后定量.38．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國(guó)，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個(gè)等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場(chǎng)比賽會(huì)派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應(yīng)的策略，則其獲勝的概率最大為_________.【答案】##【分析】設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，列舉出所有比賽的情況，以及齊王第一場(chǎng)比賽會(huì)派出上等馬的比賽情況和田忌使自己獲勝時(shí)比賽的情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，所有比賽的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共種.若齊王第一場(chǎng)比賽派上等馬，則第一場(chǎng)比賽田忌必輸，此時(shí)他應(yīng)先派下等馬參加.就會(huì)出現(xiàn)兩種比賽方式：、、和、、，其中田忌能獲勝的為、、，故此時(shí)田忌獲勝的概率最大為.故答案為：.39．（2022春·河南駐馬店·高二新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家波利亞說：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來(lái)，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理．由等式利用算兩次原理可得____．【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合所求式子的意義求解作答.【詳解】因，因此是展開式中項(xiàng)的系數(shù)，而展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，所以.故答案為：40．（2022春·云南昭通·高二校聯(lián)考期末）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩度克·牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國(guó)至遲在11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則.在的二項(xiàng)式展開式中，的系數(shù)為______.【答案】【分析】先求得的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，從而可求得答案.【詳解】在的二項(xiàng)式展開式中，通項(xiàng)公式為，令，解得，所以的系數(shù)為，故答案為：.四、解答題41．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）飛天夢(mèng)永不失重，科學(xué)夢(mèng)張力無(wú)限．“天宮課堂”是我國(guó)推出的全球首個(gè)太空科普教育活動(dòng)，2022年3月23日15時(shí)40分，“天宮課堂”第二課如約而至，航天員王亞平在翟志剛、葉光富的協(xié)助下，成功演示了太空“冰雪”、液橋演示、水油分離、太空拋物等實(shí)驗(yàn)，激發(fā)了青少年學(xué)生追夢(mèng)航天的飛天夢(mèng)、科學(xué)夢(mèng)．受“天宮課堂”啟發(fā)，某學(xué)生分別在實(shí)驗(yàn)室的正常環(huán)境、失重環(huán)境下進(jìn)行某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，其中正常環(huán)境下試驗(yàn)100次，成功40次；失重環(huán)境下試驗(yàn)10次，失敗3次．(1)用頻率估計(jì)概率，求該同學(xué)在失重環(huán)境下實(shí)驗(yàn)成功的概率；(2)請(qǐng)根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)成敗與選擇的實(shí)驗(yàn)環(huán)境有關(guān)．成功次數(shù)失敗次數(shù)合計(jì)正常環(huán)境失重環(huán)境合計(jì)附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)成敗與選擇的實(shí)驗(yàn)環(huán)境有關(guān)【分析】（1）失重環(huán)境下試驗(yàn)10次，成功7次，失敗3次，故由頻率估計(jì)概率，該同學(xué)在失重環(huán)境下成功的概率為；（2）補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算的值，比較與3.841的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題可知，失重環(huán)境下試驗(yàn)10次，成功7次，失敗3次，故由頻率估計(jì)概率，該同學(xué)在失重環(huán)境下成功的概率為.（2）由題可知：正常環(huán)境下試驗(yàn)100次，成功40次，失敗60次；失重環(huán)境下試驗(yàn)10次，成功7次，失敗3次，故列聯(lián)表如下：成功次數(shù)失敗次數(shù)合計(jì)正常環(huán)境4060100失重環(huán)境7310合計(jì)4763110故，故沒有95%的把握認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)成敗與選擇的實(shí)驗(yàn)環(huán)境有關(guān)．42．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）籃球誕生美國(guó)馬薩諸塞州的春田學(xué)院．1891年，春田學(xué)院的體育教師加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（JamesNaismith）為了對(duì)付冬季寒冷的氣溫，讓學(xué)生們能夠在室內(nèi)有限的空間里繼續(xù)進(jìn)行有趣的傳球訓(xùn)練．現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué)在某次傳球的訓(xùn)練中，球從甲開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲手里的概率為pn，第n次傳球之前球在乙手里的概率為qn，顯然p1=1，q1=0．(1)求p3＋2q3的值；(2)比較p8，q8的大小．【答案】(1)1(2)【分析】（1）分析傳球的過程，求出和，即可求出；（2）由題意知，即可得到，判斷出成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求出，同理求出，可以比較出．(1)第3次傳球之前，球在甲手中的情形何分為：甲→乙→甲或甲→丙→甲所以，第3次傳球之前，球在乙手里的情形僅有：甲→丙→乙所以，所以.(2)（2）由題意知，整理得：所以，，所以成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又同理成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以因?yàn)?，，，，所以．專題14集合，復(fù)數(shù)，邏輯語(yǔ)言專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)系的擴(kuò)張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker，1823﹣1891)說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江溫州·高一樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┠硣?guó)近日開展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測(cè)，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）A．無(wú)癥狀感染者 B．發(fā)病者 C．未感染者 D．輕癥感染者3．（2021秋·湖北十堰·高一校聯(lián)考期中）必修一課本有一段話：當(dāng)命題“若，則”為真命題，則“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分條件.也可以這樣說，若不成立，那么一定不成立，對(duì)成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉贈(zèng)韋左丞丈二十二韻》中有詩(shī)句：“讀書破萬(wàn)卷，下筆如有神.”對(duì)此詩(shī)句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實(shí)到筆下，運(yùn)用起來(lái)才有可能得心應(yīng)手，如有神助一般，由此可得，“讀書破萬(wàn)卷”是“下筆如有神”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．（2020·陜西榆林·統(tǒng)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對(duì)應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（

）A． B．4 C． D．166．（2021春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）那么在復(fù)平面內(nèi)使除了1和這兩個(gè)根外，還有一個(gè)復(fù)數(shù)根為（

）A． B． C． D．7．（2021春·安徽宣城·高一校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了公式（為虛數(shù)單位），它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，直到19世紀(jì)虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實(shí)數(shù)一樣比較大小.已知復(fù)數(shù)，且(其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年1月，中科大潘建偉團(tuán)隊(duì)和南科大范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)立通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說明了虛數(shù)i的重要性．對(duì)于方程，它的兩個(gè)虛數(shù)根分別為（

）A． B．C． D．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了，17世紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”．若復(fù)數(shù)z滿足方程，則（

）A． B． C． D．11．（2022·高一單元測(cè)試）中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)下卷有題：今有物，不知其數(shù)三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為A． B． C． D．12．（2022秋·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)黑洞：無(wú)論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的