2022年人教版新九年級暑期數(shù)學(xué)培優(yōu)-第十一講 二次函數(shù)（教師版）

第十一講二次函數(shù)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解掌握二次函數(shù)的概念和一般形式.

2.會利用二次函數(shù)的概念解決問題.

3.會列二次函數(shù)表達式解決實際問題.

【新課講解】

知識點1：二次函數(shù)的定義

1.定義：形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù),aW0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a,b,c分別是二次

項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

2.一般形式:y=ax2+bx+c（aWO,a,b,c是常數(shù)）

說明：

（1）等號左邊是變量y,右邊是關(guān)于自變量x的整式；

（2）a,b,c為常數(shù)，且ar0;

（3）等式的右邊最高次數(shù)為2,可以沒有一次項和常數(shù)項，但不能沒有二次項.

3.方法技巧：判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，先看原函數(shù)和整理化簡后的形式再作判斷.除此之外，二次函

數(shù)除有一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c（aW0）外，還有其特殊形式如y=ax；y=ax°+bx,y=ax%c等.

知識點2：二次函數(shù)定義的應(yīng)用

【例題11函數(shù)

y=（〃7+3）/-7.

（l）m取什么值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)？

（2）m取什么值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？

【答案】見解析。

【解析】（1）由題可知

Jni2-7=1,

解得m=±2g

[+3關(guān)0,

(2)由題可知

-7=2,

解得m=3.

m+30,

【例題2】某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每

件利潤6元.每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.

(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元(其中x為正整數(shù)，且1WxW10),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.

【答案】見解析。

【解析】(1)???第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤加2元，

但一天產(chǎn)量減少5件，

...第x檔次，提高了(x—l)檔，利潤增加了2(x-l)元.

?,.y=[6+2(x-l)][95-5(x-l)](

即y=-10x2+180x+400(其中x是正整數(shù)，且IWxWlO)：

(2)由題意可得-10X2+180X+400=U20,

整理得X2-18X+72=0,

解得xi=6,X2=12(舍去).

所以，該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔.

知識點3：二次函數(shù)的值

此類型題考查二次函數(shù)的概念，要抓住二次項系數(shù)不為0及自變量指數(shù)為2這兩個關(guān)鍵條件，求出字

母參數(shù)的值，得到函數(shù)解析式，再用代入法將x的值代入其中，求出y的值.

【例題3】若函數(shù)

y=(a_4)x"-3a-2+0是二次函數(shù)，求：

(1)求a的值.

(2)求函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)x=-2時，y的值是多少？

【答案】見解析。

【解析】(1)由題意，得

<a-3a-2=2,

a—4H0,

解得a=-l

(2)當(dāng)a=T時，函數(shù)關(guān)系式為

y二(-1-4)F-1=-5/-1.

(3)將x=-2代入函數(shù)關(guān)系式中，有

J；=-5X(-2)2-1=-21.|

二次函數(shù)過關(guān)檢測

注意：滿分100分，答題時間60分鐘

一、單選題(每個小題4分，共32分)

1.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是()

A.y=x-3B.y=x2-(x+1)2C.y=%(x-l)-lD.y=\

x-

【答案】C

【解析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義條件：

二次函數(shù)丁=改2+法+。的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，a#),自變量最高次數(shù)為2.

根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義判斷各選項即可得出答案.

A.y=x-3是一次函數(shù)，故本題選項錯誤；

B.y=x2-(x+1)2=-2x-1,是一次函數(shù)，故本題選項錯誤；

C.y=x(x-l)-\=x2-x-l,是二次函數(shù)，故本題選項正確；

D.y=-V是反比例函數(shù)，故本題選項錯誤.

x

2.若函數(shù)y=(a2+a)/*+2尤+加是關(guān)于x二次函數(shù)，則a的值為()

A.±1B.1C.-1D.1或0

【答案】B

【解析】判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化

簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件.

???函數(shù)y=(，+°廿+】+2x+m是關(guān)于X二次函數(shù)，

?**ci~+tzT5011.1^|+1=2,

解得：a=\,

3.如果函數(shù)y=(m—2)JT「2+2X—7是二次函數(shù)，則加的取值范圍是()

A.機=±2B.m=2C.in=-2D.m為全體實數(shù)

【答案】C

【解析】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，aWO）的函數(shù)，叫

做二次函數(shù).

根據(jù)二次函數(shù)定義可得m-2W0,m2一2=2,再解即可.

由題意得：m-2￥0,加2一2=2，

解得：m=-2

4.已知函數(shù)：（1）y—2x-1；@y--Zr2-1；③y=3『-2A2；（4）y=2x1-x-1；?y—a^+bx+c,其中二次

函數(shù)的個數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)定義：一般地，形如.丫=蘇+隊+。（a、b、C?是常數(shù)，4#0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)

進行分析即可.②④是二次函數(shù)，共2個，

5.下列各式中，一定是二次函數(shù)的有（）

（T）y2=2x2-4x+3；②y=4-3x+7）；③尸去―3x+5；④y=⑵-3）（3x-2）；（5）y=ax2'+bx+c；?y=

（n2+1）J?-2x-3；（7）y=m2x^+4x-3.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】①y2=2?-4x+3,不符合二次函數(shù)的定義，不是二次函數(shù)；

②y=4-3x+7），是二次函數(shù)；

@y=-3.X+5,分母中含有自變量，不是二次函數(shù)；

④丫二（2r-3）（3x-2）=6,-13x+6,是二次函數(shù)；

（S）y=ax2-+bx+c,含有四個自變量，不是二次函數(shù)；

⑥產(chǎn)（/+］）/-2”3,含有兩個自變量，不是二次函數(shù)；

⑦y=〃?2，+4x-3,含有兩個自變量，不一定是二次函數(shù).

只有②④一定是二次函數(shù).

6.二次函數(shù)y=2x2-6x-9的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）

A.6,2,9B.2,-6,9C.2,6,9D.2,-6,-9

【答案】D

【解析】本題考查了二次函數(shù)的一般形式，屬于基礎(chǔ)題，熟知二次函數(shù)的一般形式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式即可得到答案.

二次函數(shù)y=2x2-6x-9的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為2,-6,9

7.當(dāng)x=l或-3時，代數(shù)式與加v+〃的值相等，則函數(shù)(b-x+c-"與x軸的交點

為()

A.(1,0)和(-3,0)B.(-1,0)

C.(3,0)D.(-1,0)和(3,0)

【答案】A

【解析】代數(shù)式一+歷什。與“！%+"的值相等，即/+歷^^^加什"，則ad+(b-m)x+c-n=0,

則y=a/+(/>-/?)x+c-”與x軸的交點為(1,0)和(-3,0)。

8.如圖是王阿姨晚飯后步行的路程s(單位：加)與時間r(單位：min)的函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以

B.線段。的函數(shù)解析式為s=32r+400(25WW50)

C.5min^-20min,王阿姨步行速度由慢到快

D.曲線段A8的函數(shù)解析式為s=-3(r-20)2+1200(5WfW20)

【答案】C

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象中的信息，利用數(shù)形結(jié)合及求相關(guān)線段的解析式解答即可.

A.25min?50/n/n,王阿姨步行的路程為2000-1200=800”故A沒錯；

B.設(shè)線段CD的函數(shù)解析式為s=kt+b,

把(25,1200),(50,2000)代入得，藍(lán)

12000=50k

解得：[ft：loo'

...線段CO的函數(shù)解析式為s=32f+400(25WfW50),故8沒錯；

5251200-525675

C.在4點的速度為=]05m/min,在B點的速度為---------==45m/min,故C錯誤；

520-515

D.當(dāng)f=20時,由圖象可得s=1200m,將f=20代入s=-3(f-20)2+1200(50W20)得s=1200.

二、填空題(每空4分，共24分)

9.二次函數(shù)？=初此『-2有最低點，則m=

【答案】2

【解析】根據(jù)函數(shù)為二次函數(shù)求出例再根據(jù)函數(shù)有最低點，確定加取值范圍，進而求出加即可.

???函數(shù)y=是二次函數(shù)，

二機2—2=2，m—+2,>

?.,二次函數(shù)有最低點，..."AO,m=2.

10.若y=(機2+機)，"2-2,"-1_x+3是關(guān)于X的二次函數(shù)，則m=.

【答案】3

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可.

由題意，得

nr-2m-1=2,且m2+m^0,

解得，"=3

11.若函數(shù)y=(機-2)"訓(xùn)+1(陽是常數(shù))是二次函數(shù)，則加的值是.

【答案】-2

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義解答.

由題意知，777-2^0n.|wj=2,

解得：m=~2

12.若y=伏+1)/*—2是關(guān)于x的二次函數(shù)，則人的值為.

【答案】2

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義解答.

>=(4+1)/2-<:一2是關(guān)于大的二次函數(shù),

女+lwO

a-k=2'

解得：k=2

13.已知長方形的周長為16cm,其中一邊長為xcm,面積為ycm2，則這個長方形的面積y與x之間的

關(guān)系可表示為

【答案】y=—/+8x

【解析】：矩形周長為16cm

兩鄰邊之和為

；.若?邊長為XC7J1,則另一邊長為（8-x）an；面積為yc-

,y=x（8-x）即y=-x2+8x.

14.某種商品每件進價為20元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)，若以每件x元（20WxW40,且x為整數(shù)）出售,

可賣出（40-%）件，若要使利潤最大，則每件商品的售價應(yīng)為元.

【答案】30

【解析】設(shè)商品所獲利潤為w元，由題意得：

w=（x-20）（40-x）

=-7+60x-800

=-<X-30）2+100,

?.?二次項系數(shù)-IVO,20WxW40,且x為整數(shù)，

...當(dāng)x=30時，w?取得最大值，最大值為100元.

.??每件商品的售價應(yīng)為3。元.

三、解答題（共44分）

15.（6分）當(dāng)m為何值時，函數(shù)丁=（加+1）》",-2，"7+8%—1是二次函數(shù).

【答案】m=3

【解析】?.?函數(shù)y=（m+l）x'"J2m-i+8x—1是二次函數(shù)

/%+1w0

irr-2m-1=2

解得:m=3

即當(dāng)m=3時，函數(shù)y=（加+1）--24+8》_1是二次函數(shù).

16.（8分）已知函數(shù)y=（加2一〃?）%2+（相一］）》+根+1.

（1）當(dāng)機為何值時，這個函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)；

（2）當(dāng)“為何值時，這個函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù).

【答案】（1）加=0；（2）加。1且m/0.

【解析】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義，掌握一次函數(shù)的一次項系數(shù)不能為0成為解題的關(guān)鍵.

（1）;?函數(shù)y=（〃/+（加一l）x+〃z+l是一次函數(shù)，

-2

m一〃2二0

???〈，解得：m=0.

m-1^0

即當(dāng)根=0時，這個函數(shù)是關(guān)于1的一次函數(shù).

（2）函數(shù)y=（〃，-mjx2+（加-l）x+/n+l是二次函數(shù)，

m2-m0>解得：〃2。1且/德。0.

即當(dāng)機。1且加時，這個函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù).

17.（8分）一個二次函數(shù)y=（k-1）X*2-3?+4+2X-1.

（1）求k值.

（2）求當(dāng)x=0.5時y的值？

【答案】（Dk=2；（2）y=-

4

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a#0）的函數(shù)，叫做二次

函數(shù)可得k?-3k+4=2,且k-l#）,再解即可;

（2）根據(jù)（1）中k的值，可得函數(shù)解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值.

解：（1）由題意得：k2-3k+4=2,且k-1#）,

解得:k=2；

kl3k+42

（2）把k=2代入y=（k-1）x~+2x-1得:y=x+2x-1,

當(dāng)x=0.5時，y=—.

4

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)以及求函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，要抓住二次項系

數(shù)不為0和自變量指數(shù)為2這個關(guān)鍵條件.

18.（10分）廣場上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上的水珠高度>（米）關(guān)

3

于水珠與噴頭的水平距離X(米)的函數(shù)解析式是：y=-/x2+6x(0WxW4),請求出當(dāng)水珠的高度達到

最大時，水珠與噴頭的水平距離是多少？最大高度是多少？

【答案】2米：6米.

【解析】根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，用配方法求出當(dāng)x等于何值時函數(shù)有最大值以及最大值是多少.

由題意得，y=_：*2+6彳=一1(%2-4xj=--1(x-2)"+6,

又因為0WxW4,所以當(dāng)x=2時，ymax=6,

答：當(dāng)水珠的高度達到最大時，水珠與噴頭的水平距離是2米，最大高度是6米.

19.(12分)有一塊矩形地塊ABC。，AB=20米，BC=30米.為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，

將矩形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均