專題11 二次函數(shù)與四邊形（解析版）

九年級數(shù)學(xué)下冊解法技巧思維培優(yōu)專題11二次函數(shù)與四邊形【典例1】（2019?浙江模擬）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M（1，0），直線y＝x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．（1）求m的值及這個二次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上找一點Q，使△QAB的周長最小，并求出此時Q點坐標；（3）若P（a，0）是x軸上的一個動點，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數(shù)的圖象交于D、E兩點．①設(shè)線段DE的長為h，當0＜a＜3時，求h與a之間的函數(shù)關(guān)系式；②若直線AB與拋物線的對稱軸交點為N，問是否存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．【點撥】（1）將A點坐標分別代入拋物線的直線，便可求出拋物線的解析式和m的值；（2）使△QAB的周長最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B點關(guān)于x軸的對稱點B′，當A、Q、B′三點在一條直線上時，△QAB的周長最??；（3）①根據(jù)P點坐標分別求出DE兩點坐標，便可求出h與a之間的函數(shù)關(guān)系式；②存在，P點坐標為（3+172，0），（3-17【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2，∵點A（3，4）在拋物線上，則4＝a（3﹣1）2，解得a＝1，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2∵點A（3，4）也在直線y＝x+m，即4＝3+m，解得m＝1；（2）直線y＝x+1與y軸的交點B的坐標為B（0，1），B點關(guān)于x軸的對稱點B′點的坐標為B′（0，﹣1），設(shè)直線AB′的解析式為y＝kx+b，將A、B′兩點坐標代入y＝kx+b，解得k=53，b＝﹣∴設(shè)直線AB的解析式為y=53x﹣當A、Q、B′三點在一條直線上時，AQ+BQ的值最小，即△QAB的周長最小，Q點即為直線AB′與x軸的交點．Q點坐標為Q(（3）①已知P點坐標為P（a，0），則E點坐標為E（a，a2﹣2a+1），D點坐標為D（a，a+1），h＝DE＝y(tǒng)D﹣yE＝a+1﹣（a2﹣2a+1）＝﹣a2+3a，∴h與a之間的函數(shù)關(guān)系式為h＝﹣a2+3a（0＜a＜3）（3分）②存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形理由是∵M（1，0），∴把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，即N（1，2），∴MN＝2，要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE＝MN＝2，由①知DE＝|﹣a2+3a|，∴2＝|﹣a2+3a|，解得：a1＝2，a2＝1，a3=3+172，a∴（2，0），（1，0）（因為和M重合，舍去）（3+172，0），（3-17∴P的坐標是（2，0），（3+172，0），（3-17【典例2】（2019?海州區(qū)二模）如圖，一次函數(shù)y＝x+3與坐標軸交于A、C兩點，過A、C兩點的拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于另一點B拋物線頂點為E，連接AE．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式及頂點E坐標；（2）點P是線段AE上的一動點，過點P作PF平行于y軸交AC于點F，連接EF，求△PEF面積的最大值及此時點P的坐標；（3）若點M為坐標軸上一點，點N為平面內(nèi)任意一點，是否存在這樣的點，使A、E、M、N為頂點的四邊形是以AE為對角線的矩形？如果存在，請直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．【點撥】（1）一次函數(shù)y＝x+3與坐標軸交于A、C兩點，則點A、C的坐標為（﹣3，0）、（0，3），將點A、C的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；（2）S△PEF=12PF×（xE﹣x）=12×（2x+6﹣x﹣3）（﹣1﹣x）=-12（3）分點M（m，0）在x軸上、點M在y軸上兩種情況分別求解．【解析】解：（1）一次函數(shù)y＝x+3與坐標軸交于A、C兩點，則點A、C的坐標為（﹣3，0）、（0，3），將點A、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：0=9a+6+cc=3，解得：a=-1故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3，頂點E（﹣1，4）；（2）將點A、E的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線AE的表達式為：y＝2x+6，設(shè)點P（x，2x+6），則點F（x，x+3），S△PEF=12PF×（xE﹣x）=12×（2x+6﹣x﹣3）（﹣1﹣x）=-12當x＝﹣2時，S△PEF有最大值為12此時點P（﹣2，2）；（3）點A、E的坐標分別為（﹣3，0）、（﹣1，4），AE2＝20，①當點M（m，0）在x軸上時，設(shè)點N（s，t），則AE＝MN，且AE中點坐標為MN中點坐標，即：m+s=-4t=4(m-s)故點N（﹣3，4）；②當點M在y軸上時，同理可得：點N（﹣4，3）或（﹣4，1）；綜上，點N坐標為：N（﹣3，4）或（﹣4，3）或（﹣4，1）．【典例3】（2020?潁州區(qū)一模）如圖，拋物線y=-14x2+3112x﹣1與y軸交于點A，點B是拋物線上的一點，過點B作BC⊥x軸于點C（1）求直線AB的表達式；（2）若直線MN∥y軸，分別與拋物線，直線AB，x軸交于點M、N、Q，且點Q位于線段OC之間，求線段MN長度的最大值；（3）在（2）的條件下，當四邊形MNCB是平行四邊形時，求點Q的坐標．【點撥】（1）B為拋物線上的一點，BC⊥x軸，C（9，0），B點的橫坐標為9，縱坐標為y=-14×92+31（2）設(shè)線段MN的長為L，由拋物線和直線AB的解析式，得：L=(-1（3）若四邊形MNCB是平行四邊形，則需要MN＝BC，由點B、C的坐標可知BC＝2，即-1【解析】解：（1）令x＝0，則y＝﹣1，即A（0，﹣1）．∵B為拋物線上的一點，BC⊥x軸，C（9，0），∴B點的橫坐標為9，縱坐標為y=-14×92+31設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx+b，將A（0，﹣1），B（9，2）代入上式并解得：直線AB的函數(shù)解析式為y=1（2）設(shè)線段MN的長為L，由拋物線和直線AB的解析式，得：L=(-1故線段MN長度的最大值為8116（3）若四邊形MNCB是平行四邊形，則需要MN＝BC，由點B、C的坐標可知BC＝2，∴-14x2+94x=2，解得：故當點Q的坐標為（1，0）或（8，0）時，四邊形MNCB是平行四邊形．【典例4】（2019?渝中區(qū)校級一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-12x2-72x﹣3交x軸于A，B兩點（點A在點B（1）求直線AC的解析式；（2）點P是直線AC上方拋物線上的一動點（不與點A，點C重合），過點P作PD⊥x軸交AC于點D，求PD的最大值；（3）將△BOC沿直線BC平移，點B平移后的對應(yīng)點為點B′，點O平移后的對應(yīng)點為點O′，點C平移后的對應(yīng)點為點C′，點S是坐標平面內(nèi)一點，若以A，C，O′，S為頂點的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點S的坐標．【點撥】（1）y=-12x2-72x﹣3，令y＝0，則x＝﹣1或﹣6，故點A、B、C的坐標分別為：（﹣6，0）、（﹣1，0）、（（2）設(shè)點P（x，-12x2-72x﹣3），則點D（x，-12x+3），則PD＝（-12x2-72x﹣3）﹣（-（3）分AC是菱形的邊、AC是對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】解：（1）y=-12x2-72x﹣3，令y＝0，則x＝﹣故點A、B、C的坐標分別為：（﹣6，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3），將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線AC的表達式為：y=-12x﹣（2）設(shè)點P（x，-12x2-72x﹣3），則點D（x，-則PD＝（-12x2-72x﹣3）﹣（-12x+3）=-∵-12＜0，故PD（3）點O平移后的對應(yīng)點為點O′，平移直線的k為-1則設(shè)點O向左平移m個單位，則向上平移3m個單位，則點O′（﹣m，3m），設(shè)點S（a，b），①當AC是菱形的邊時，點C向左平移6個單位向上平移3個單位得到A，同樣，點O′（S）向左平移6個單位向上平移3個單位得到S（O′），故﹣m±6＝a，3m±3＝b，且AO′＝AC，即（﹣6+m）2+（3m）2＝36+9，解得：m=6±31010，故a=-66±31010或故點S的坐標為：（-66-31010，48+91010）或（-66+31010，48-91010）或（②當AC是對角線時，由中點公式得：﹣6＝a﹣m，﹣3＝b+3m且AO′＝CO′，即（m﹣6）2+9m2＝m2+（3m+3）2，解得：m=910，a=-5110，b=-5710，故點綜上，點S的坐標為：（-66-31010，48+91010）或（-66+31010，48-91010）或（54-31010，【典例5】（2019?振興區(qū)校級二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，交y軸正半軸于C點，D為拋物線的頂點，A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求出二次函數(shù)的表達式．（2）點P在x軸上，且∠PCB＝∠CBD，求點P的坐標．（3）在x軸上方拋物線上是否存在一點Q，使得以Q，C，B，O為頂點的四邊形被對角線分成面積相等的兩部分？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．【點撥】（1）將點A、B坐標代入解析式求出b、c的值即可得；（2）∠PCB＝∠CBD有兩種情況，①P在B的左側(cè)時，此時PC∥BD，根據(jù)一次函數(shù)解析式即可求出P；②P在B的左側(cè)時，由∠OCB＝∠OBC＝45°，可證明∠OPC＝∠OHB，從而△OPC≌△OHB，由直線BD即可求得：OH＝OP＝6，從而得到P點坐標；（3）分點Q在y軸右側(cè)、點Q在y軸左側(cè)兩種情況分別求解．【解析】解：（1）函數(shù)的表達式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3…①；（2）①當點P在點B右側(cè)時，點D（1，4），延長BD交y軸于點H，則點H（0，6），∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠HCB＝∠CBP＝135°，∠PCB＝∠CBD，BC＝BC，∴△PCB≌△HCB，∴CH＝PB，OH＝OP＝6，故點P（6，0）；②當點P（P′）在點B左側(cè)時，直線BD的表達式為：y＝﹣2x+6，∵∠PCB＝∠CBD，則P′C∥BD，則直線P′C的表達式為：y＝﹣2x+3，當y＝0，x=32，故點P′（32（3）①當點Q在y軸右側(cè)時，以Q，C，B，O為頂點的四邊形被對角線分成面積相等的兩部分，這條對角線只能是OQ，而OB＝OC，故OQ是∠BOC的平分線，即：OQ的函數(shù)表達式為：y＝x…②，聯(lián)立①②并解得：x=1±故點Q（1+132，②當點Q在y軸左側(cè)時，同理可得：點Q（-12，故點Q（1+132，1+132）或（鞏固練習(xí)1．（2019?費縣一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點A（0，6），與x軸交于點B（6，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；（2）當點P從A點出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點B移動時，點P到直線AB的距離為d，求d最大時點P的坐標；（3）點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【點撥】（1）拋物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點A（0，6），則c＝6，將點B的坐標代入函數(shù)表達式即可求解；（2）d＝PH＝PGsin45°=22（-12x2+2x+6+x﹣6）=22（（3）分AB是平行四邊形的一條邊、AB是平行四邊形的對角線兩種情況分別求解即可．【解析】解：（1）物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點A（0，6），則c＝6，將點B的坐標代入函數(shù)表達式并解得：a=-1故拋物線的表達式為：y=-12x2+2x函數(shù)的對稱軸為：x＝2，頂點坐標為（2，8）；（2）如下圖，過點P作PG∥y軸交AB于點G，作PH⊥AB交于點H，∵OA＝OB＝6，則∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PG∥y軸，則∠PGH＝∠OAB＝45°，直線AB的表達式為：y＝﹣x+6，設(shè)點P（x，-12x2+2x+6），則G（x，﹣xd＝PH＝PGsin45°=22（-12x2+2x+6+x﹣6）=22（當x＝3時，d取得最大值，此時點P（3，152（3）設(shè)點P（m，n），n=-12m2+2m+6，點N（s，①當AB是平行四邊形的一條邊時，點A向右、向下均平移6個單位得到B，同理點N右、向下均平移6個單位得到M，故：s+6＝m，0﹣6＝n，解得：m＝2±27，故點M的坐標為（2﹣27，﹣6）或（2+27，﹣6②當AB是平行四邊形的對角線時，則AB的中點即為MN的中點，則s+m＝6，n+0＝6，解得：m＝4，故點P的坐標為（4，6），綜上，點P的坐標為（2﹣27，﹣6）或（2+27，﹣6）或（4，62．（2019?邯鄲三模）如圖（1），在平面直角坐標系xOy中，直線y＝2x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，拋物線C1：y=-14x2+bx+c過A，B兩點，與x軸的另一交點為點（1）求拋物線C1的解析式及點C的坐標；（2）如圖（2），作拋物線C2，使得拋物線C2與C1恰好關(guān)于原點對稱，C2與C1在第一象限內(nèi)交于點D，連接AD，CD，①請直接寫出拋物線C2的解析式和點D的坐標②求四邊形AOCD的面積；（3）已知拋物線C2的頂點為M，設(shè)P為拋物線C1對稱軸上一點，Q為直線y＝2x+4上一點，是否存在以點M，Q，P，B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【點撥】（1）先求出直線y＝2x+4與x軸、y軸交點坐標，待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）①根據(jù)兩拋物線關(guān)于原點對稱，將拋物線C1的解析式中的x和y分別換成﹣x和﹣y，整理后即為拋物線C2的解析式；再通過解方程組求點D的坐標；②求四邊形AOCD的面積，過點D作DE⊥x軸于E，將四邊形AOCD分割成一個梯形和一個直角三角形即可求得；（3）過B作BN∥y軸，過M作MN∥x軸與BN交于點N，分兩種情形分別求點P的坐標：①BM為平行四邊形的邊，②BM為平行四邊形的對角線．【解析】解：（1）∵直線y＝2x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，∴A（0，4），B（﹣2，0），∵拋物線C1：y=-14x2+bx+c過A，∴c＝4，0=-14×（﹣2）2﹣2b+4∴拋物線C1的解析式為：y=-14x2+令y＝0，得-14x2+32x+4＝0，解得x1＝﹣2，∴C（8，0）；（2）①∵拋物線C2與C1恰好關(guān)于原點對稱，∴拋物線C2的解析式為y=14x2解方程組y=-14x2+∵點D在第一象限內(nèi)，∴D（4，6）；②如圖2，過D作DE⊥x軸于E，則OE＝4，CE＝OC﹣OE＝8﹣4＝4，DE＝6，S四邊形AOCD＝S梯形AOED+S△CDE=12（OA+DE）×OE+1=12（4+6）×4＝32；（3）存在．過B作BN∥y軸，過M作MN∥x軸與BN交于點N，∵拋物線C2的解析式為y=14x2+∴頂點M（﹣3，-25∴BN=254，MN＝拋物線C1的對稱軸為：直線x＝3，設(shè)P（3，m）①以點M，Q，P，B為頂點的四邊形為平行四邊形，若MQ為對角線，則BM∥PQ，BM＝PQ∴Q（4，m+25又∵Q為直線y＝2x+4上一點，∴m+254=2×4+4∴P（3，234②若BM為對角線，設(shè)P（3，m），Q（n，2n+4），∵BM中點坐標為（-52，∴n+3=-5m+2n+4=-254∴P（3，234③若BQ為對角線，∵BM∥PQ，BM＝PQ，∴Q（2，8），設(shè)P（3，m），則m-254=8+0，解得：∴P（3，574綜上所述，存在以點M，Q，P，B為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為P（3，234）或P（3，573．（2019?成都模擬）如圖，拋物線y=12x2+bx+c與軸交于點A和點B，與y軸交于點C，作直線BC，點B的坐標為（6，0），點C的坐標為（0，﹣（1）求拋物線的解析式并寫出其對稱軸；（2）D為拋物線對稱軸上一點，當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求D點坐標；（3）若E為y軸上且位于點C下方的一點，P為直線BC上的一點，在第四象限的拋物線上是否存在一點Q．使以C，E，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出Q點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【點撥】（1）將點B、C的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；（2）分∠BCD＝90°、∠DBC＝90°兩種情況，分別求解即可；（3）分CE為菱形的一條邊、CE為菱形的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】解：（1）將點B、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：12×36+6b+c=0c=-6故拋物線的表達式為：y=12x2﹣2x﹣令y＝0，則x＝﹣2或6，則點A（﹣2，0），則函數(shù)的對稱性x＝2；（2）①當∠BCD＝90°時，將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式得：直線BC的表達式為：y＝x﹣6，則直線CD的表達式為：y＝﹣x﹣6，當x＝2時，y＝﹣8，故點D（2，﹣8）；②當∠DBC＝90°時，同理可得點D（2，4），故點D（2，﹣8）或（2，4）；（3）①當CE為菱形的一條邊時，則PQ∥CE，設(shè)點P（m，m﹣6），則點Q（m，n），則n=12m2﹣2m﹣6…由題意得：CP＝PQ，即2m＝m﹣6﹣n…②，聯(lián)立①②并解得：m＝6﹣22，n＝4﹣82，則點Q（6﹣22，4﹣82）；②當CE為菱形的對角線時，則PQ⊥CE，即PQ∥x軸，設(shè)點P（m，m﹣6），則點Q（s，m﹣6），其中m﹣6=12s2﹣2s﹣6…則PC=-2mCQ2＝s2+m2，由題意得：CQ＝CP，即：（-2m）2＝s2+m2…④聯(lián)立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），故點（2，﹣8）；綜上，點Q（6﹣22，4﹣82）或（2，﹣8）．4．（2020?新?lián)釁^(qū)二模）如圖，對稱軸為x＝1的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的動點，連接PO交直線AB于點Q，當Q是OP中點時，求點P的坐標；（3）C在直線AB上，D在拋物線上，E在坐標平面內(nèi)，以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形，直接寫出點E的坐標．【點撥】（1）對稱軸為x＝1的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），則拋物線與x軸的另外一個交點坐標為：（3，0），則拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），即可求解；（2）設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），當Q是OP中點時，則點Q（12m，m（3）分當BC為正方形的對角線、BC是正方形的一條邊兩種情況，分別求解即可．【解析】解：（1）對稱軸為x＝1的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），則拋物線與x軸的另外一個交點坐標為：（3，0），則拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點B的坐標代入上式并解得：a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），將點A、B的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線AB的表達式為：y＝﹣x﹣1，當Q是OP中點時，則點Q（12m，m將點Q的坐標代入直線AB的表達式并解得：m=1±故點P（1+54，-3-54）或（（3）①當BC為正方形的對角線時，如圖1所示，直線AB的表達式為：y＝﹣x﹣1，則點C（0，﹣1），點D（0，﹣3），BD＝CD＝2，故點E1（2，﹣1）；②當BC是正方形的一條邊時，（Ⅰ）當點D在BC下方時，如圖2所示，拋物線頂點P的坐標為：（1，﹣4），點B（2，﹣3），故PD⊥BC，有圖示兩種情況，左圖，點C、E的橫坐標相同，在函數(shù)對稱軸