二次函數(shù)的應(yīng)用一(最值問題)

華師大版九年級(jí)上冊(cè)偃師市伊洛中學(xué)26.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（第6課時(shí)）明確目標(biāo)1．會(huì)通過配方法或公式法求出二次函數(shù)

的最大值或最小值；2．在實(shí)際應(yīng)用中體會(huì)二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題中的最大值或最小值．設(shè)疑導(dǎo)學(xué)1：回顧二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性極值向上向下在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減小。在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大。在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大。在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小。x=-b2ax=-b2ay最小值=4ac-b24ax=-b2a(-,)b2a4ac-b24a(-,)b2a4ac-b24ay最大值=4ac-b24ax=-b2a．

合作探究，展示交流問題1、根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容，思考如何求二次函數(shù)最大值或最小值？你現(xiàn)在有幾種方法？

問題2、求下列函數(shù)的最大值或最小值．

(1)y＝6x2＋12x；（2）y=1-2x-x2

問題3：用6m長(zhǎng)的鋁合金型材料做一個(gè)形狀如圖所示的矩形窗框。窗框的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，它的透光面積最大？最大透光面積是多少？思考解決以下問題：(1)若設(shè)做成的窗框的寬為xm，則長(zhǎng)表示

m。(2)根據(jù)實(shí)際情況，x有沒有限制?若有限制，請(qǐng)指出它的取值范圍，并說明理由。(3)你能說出面積y與x的函數(shù)關(guān)系式嗎?（4）大膽試一試！解決實(shí)際問題！問題3：用6m長(zhǎng)的鋁合金型材料做一個(gè)形狀如圖所示的矩形窗框。窗框的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，它的透光面積最大？最大透光面積是多少？思考解決以下問題：(1)若設(shè)做成的窗框的寬為xm，則長(zhǎng)表示

m。(2)根據(jù)實(shí)際情況，x有沒有限制?若有限制，請(qǐng)指出它的取值范圍，并說明理由。(3)你能說出面積y與x的函數(shù)關(guān)系式嗎?（4）大膽試一試！解決實(shí)際問題！練習(xí)1、如圖，一邊靠學(xué)校院墻，其他三邊用12m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，設(shè)矩形ABCD的邊AB=xm，面積為S㎡。（1）寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，面積S最大，最大值是多少？ADCB(1)S=x(12-2x)即S=-2x2+12x(2)S=-2x2+12x=-2(x-3)2+18如圖，在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)若墻的最大可用長(zhǎng)度為8米，則求圍成花圃的最大面積。ABCD解：(1)∵AB為x米、籬笆長(zhǎng)為24米∴花圃寬為（24－4x）米

(3)∵墻的可用長(zhǎng)度為8米

(2)當(dāng)x＝時(shí)，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）∴0<24－4x≤84≤x<6∴當(dāng)x＝4m時(shí)，S最大值＝32平方米例2：某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)40元一個(gè)的某種商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)一元，銷量減少10個(gè)，為賺得最大利潤，售價(jià)定為多少？最大利潤是多少？分析：利潤=（每件商品所獲利潤）×

（銷售件數(shù)）

設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，那么（3）銷售量可以表示為（1）銷售價(jià)可以表示為（50+x）元（x≥0，且為整數(shù)）(500-10x)

個(gè)（2）一個(gè)商品所獲利潤可以表示為（50+x-40）元（4）共獲利潤可以表示為(50+x-40)(500-10x)元答：定價(jià)為70元/個(gè)，利潤最高為9000元.

解：設(shè)每個(gè)商品漲價(jià)x元，那么y=(50+x-40)(500-10x)

=-10x2+400x+5000

=-10[（x-20）2-900](0≤x≤50,且為整數(shù))

=-10（x-20）2+90001、如圖，在△ABC中∠B=90o，AB=12cm，BC=24cm，動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿AB邊以2cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B開始沿BC邊以4cm/s的速度向C運(yùn)動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)。（1）寫出△PBQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積S最大，最大值是多少？QPCBA反饋檢測(cè)BP=12-2t，BQ=4t△PBQ的面積:S=1/2(12-2t)?4t即S=-4t2+24t=-4(t-3)2+36練習(xí)1、已知：用長(zhǎng)為12cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，一邊長(zhǎng)為xcm.,面積為ycm2,問何時(shí)矩形的面積最大？解：∵周長(zhǎng)為12cm,一邊長(zhǎng)為xcm,∴另一邊為（6－x）cm

∴y＝x（6－x）＝－x2＋6x（0<x<6）＝－(x－3)2＋9

∵a＝－1<0,∴y有最大值當(dāng)x＝3cm時(shí)，y最大值＝9cm2，此時(shí)矩形的另一邊也為3cm答：矩形的兩邊都是3cm，即為正方形時(shí)，矩形的面積最大。next2、如圖，在Rt△ABC中，P在斜邊上移動(dòng)，PM⊥BC，PN⊥AC，M、N是垂足，已知AC=3，AB=5，求：BP多少時(shí)矩形的面積最大？并求出最大面積。PNMCBA

如圖，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2厘米／秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以1厘米／秒的速度移動(dòng)，如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā)，幾秒后ΔPBQ的面積最大？最大面積是多少？ABCPQ解：根據(jù)題意，設(shè)經(jīng)過x秒后ΔPBQ的面積y最大AP=2xcmPB=（8-2x

）cm

QB=xcm則y=1/2x（8-2x）=-x2+4x=-（x2-4x+4

-4）=-（x-2）2

+4所以，當(dāng)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2秒后ΔPBQ的面積y最大最大面積是4cm2（0<x<4）ABCPQ（1）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。解這類題目的一般步驟在實(shí)際問題中,自變量往往是有一定取值范圍的.因此,在根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),求出當(dāng)自變量取某個(gè)值時(shí),二次函數(shù)取最大值(或最小值),還要根據(jù)實(shí)際問題檢驗(yàn)自變量的這一取值是否在取值范圍內(nèi),才能得到最后的結(jié)論.注意

（1）y=x2-3x+41.求下列函數(shù)的最大值或最小值：（3）y=100-5x2（2）y=7x2-x+32反饋檢測(cè)（4）y=x2-4x+7（1）要搭建一個(gè)矩形的自行車棚，一邊靠墻，另外三邊圍欄材料總長(zhǎng)60m,怎樣圍才能使車棚的面積最大？（2）在（1）中，如果可利用的墻壁長(zhǎng)為25m，怎樣圍才能使車棚的面積最大？題（1）和題（2）的解答完全相同嗎？試比較并作出正確的解答，和同學(xué)交流。拓展延伸在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四邊上分別選取E、F、G、H四點(diǎn)，且AE=AH=CF=CG=x，建一個(gè)花園，如何設(shè)計(jì)，可使花園面積最大？DCABGHFE106再顯身手解：設(shè)花園的面積為y則y=60-x2-（10-x）（6-x）=-2x2+16x（0<x<6）=-2（x-4）2+32所以當(dāng)x=4時(shí)花園的最大面積為32

例

心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的注意力初步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的