電子電路正弦曲線向量

電路與模擬電子技術(shù)

原理第五章正弦穩(wěn)態(tài)分析07:32:431第5章正弦穩(wěn)態(tài)分析5.1正弦交流電5.2相量5.3相量分析5.4阻抗與導(dǎo)納5.5諧振5.6相量分析法5.7交流電路的功率5.8三相電路07:32:4325.1正弦交流電交流電的電壓和電流的大小和方向隨著時間按正弦規(guī)律變化。07:32:433幅值、周期、頻率、角頻率振幅：Im是正弦波的幅值或者說是最大值周期：每隔T時間正弦波的變化循環(huán)一次頻率：單位時間變化多少次角頻率：單位時間變化多少角ω＝2πf

＝2π/T07:32:434相位、初相相位：正弦波在t時刻的幅角初相：正弦波在t＝0s時的相位，用θ來表示，通常規(guī)定|θ|≤π。07:32:4355.1.1正弦信號的三要素振幅角頻率振幅、角頻率和初相稱為正弦量的的三要素。相位初相波形07:32:436正弦信號的三要素（續(xù)）【例5-1】計(jì)算我國工頻電源的周期和角頻率?！窘狻课覈ゎl電源的頻率為50Hz，所以ω＝2πf＝2×3.14×50＝314（rad/s）

07:32:4375.1.2正弦信號的相位差兩個同頻率的正弦電流和電壓信號i(t)＝Imsin(ωt＋θi)

u(t)＝Umsin(ωt＋θu)

它們的相位差等于初相之差Φiu＝θi－θu

如果θi－θu＝0，則稱電流和電壓同相；如果θi－θu＝π，則稱電流和電壓反相；如果θi－θu＝π/2，則稱電流和電壓正交。07:32:4385.1.3正弦信號的參考方向根據(jù)電子運(yùn)動的瞬間相位差來定義同頻率正弦信號的方向。規(guī)定某個正弦量的初相為零，并稱之為參考正弦量。其余正弦量可以參照它來計(jì)算出各自的初相，從而確定每個正弦量的表達(dá)式。參考正弦量的作用是確定電路中每個正弦量的初相。07:32:4395.1.4正弦信號的有效值有效值是一個直流量，這個直流量在電阻上所產(chǎn)生的功率與一個周期為T的信號在該電阻上所產(chǎn)生的平均功率相等。有效值也稱方均根值電流有效值電壓有效值07:32:43105.1.5正弦信號的運(yùn)算根據(jù)基爾霍夫定律，將得到線性微分方程組，這很難求解。必須另辟蹊徑，尋找更加簡單的解決辦法。但是，根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知在同頻率的正弦信號激勵下，必然存在一組相同頻率的正弦穩(wěn)態(tài)電壓或電流解，能夠滿足這一個微分方程組?；蛘哒f：在相同頻率的正弦激勵下，完全由線性元件組成的動態(tài)電路中將產(chǎn)生同頻率的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。07:32:4311第5章正弦穩(wěn)態(tài)分析5.1正弦交流電5.2相量5.3相量分析5.4阻抗與導(dǎo)納5.5諧振5.6相量分析法5.7交流電路的功率5.8三相電路07:32:43125.2相量正弦函數(shù)的運(yùn)算十分煩瑣，求解微分方程也不容易。利用向量法則可以把正弦時間函數(shù)映射到復(fù)數(shù)空間中的復(fù)數(shù)，用復(fù)平面上的向量來代表正弦時間函數(shù)，而微分方程則轉(zhuǎn)化成了簡單的代數(shù)方程，從而簡化了正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和求解。07:32:43135.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1．虛數(shù)方程x2＋9＝0的解

x1,2＝±j3

其中j稱為虛數(shù)的單位在數(shù)學(xué)中一般用i表示復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，在電路理論中，為了避免與電流符號混淆而改用j表示。07:32:43142．復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A＝a＋jb可用復(fù)平面上的有向線段來表示。有向線段的長度|A|稱為復(fù)數(shù)A的模，?？偸侨≌怠Ｓ邢蚓€段與實(shí)軸正方向的夾角

稱為復(fù)數(shù)A的輻角。07:32:4315復(fù)數(shù)的代數(shù)形式（1）代數(shù)形式（直角坐標(biāo)形式）A＝a＋jb

兩個實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)（用A*表示）A*＝a-jb

07:32:4316復(fù)數(shù)的指數(shù)形式（2）指數(shù)形式根據(jù)a=|A|cos

b=|A|sin

得到A＝|A|(cos＋jsin)

依據(jù)歐拉公式，ej

＝cos

＋jsin

得到A＝|A|ej

其中07:32:4317復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式（3）極坐標(biāo)形式只要知道了模|A|和幅角φ就可以寫出一個復(fù)數(shù)，所以得到了如下的極坐標(biāo)形式簡化記法A＝|A|∠

斯坦因梅茨（CharlesProteusSteinmetz，1865～1923）形式07:32:43183．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）加減法：使用代數(shù)形式A1±A2＝(a1±a2)＋j(b1±b2)

（2）乘除法：使用指數(shù)或極坐標(biāo)形式A1·A2＝|A1|·|A2|ej(

1+

2)＝|A1|·|A2|∠(

1+

2)

07:32:43195.2.2將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程通過把正弦時間函數(shù)映射到復(fù)數(shù)空間，難以求解的微分方程轉(zhuǎn)化成了關(guān)于復(fù)數(shù)的代數(shù)方程，利用代數(shù)方程求出復(fù)數(shù)空間的解，再把復(fù)數(shù)解映射回時間域內(nèi)的正弦時間函數(shù)。（閱讀教材）07:32:43205.2.3正弦信號的相量表示旋轉(zhuǎn)向量與正弦函數(shù)的對應(yīng)07:32:4321正弦信號的相量表示（續(xù)）正弦量相量07:32:43225.2.4正弦量的微分、積分的相量表示07:32:43235.2.5總結(jié)：從時域表示到頻域表示代數(shù)型三角函數(shù)型指數(shù)型極坐標(biāo)型復(fù)數(shù)表示形式的轉(zhuǎn)化07:32:432407:32:4325相量變換例5-2【例5-2】已知i1＝40sin(ωt＋50?)，i2＝20sin(ωt－30?)，用相量法計(jì)算這兩個正弦電流疊加的結(jié)果i＝i1＋i2，寫出它的幅值相量和有效值相量。

【解】首先寫出兩個正弦量的相量形式＝40∠

50?＝40(cos50?＋jsin50?)

＝25.71＋j30.64

07:32:4326相量變換例5-2（續(xù)）相量相加得i的幅值相量i＝47.72sin(ωt＋25.63?)電流有效值相量＝20∠

－30?＝20[cos(－30?)＋jsin(－30?)]＝17.32－j10

＝43.03+j20.64=47.72∠

25.63?

07:32:4327第5章正弦穩(wěn)態(tài)分析5.1正弦交流電5.2相量5.3相量分析5.4阻抗與導(dǎo)納5.5諧振5.6相量分析法5.7交流電路的功率5.8三相電路07:32:43285.3相量分析用相量法求解正弦激勵下的動態(tài)電路，可以將微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程。電路分析的基礎(chǔ)是電路元件的伏安特性和基爾霍夫定律，為此必須解決如下問題電路元件的伏安特性的相量形式基爾霍夫定律的相量形式07:32:43295.3.1電路元件伏安特性的相量形式在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻電壓與電阻電流同相

07:32:4330電阻伏安特性的相量形式電阻伏安特性的相量形式07:32:43312．電感在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感電壓的幅值等于電感電流的ωL倍，電感電壓的相位超前于電感電流π/2（90?）07:32:4332電感伏安特性的相量形式電感伏安特性的相量形式07:32:43333．電容在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容電流的幅值等于電容電壓的ωC倍，電容電流在相位上比電容電壓超前π/2（90?）07:32:4334電容伏安特性的相量形式電容伏安特性的相量形式07:32:43355.3.2基爾霍夫定律的相量形式KCLKVL07:32:43365.4阻抗與導(dǎo)納交流電路中，電阻、電容、電感伏安特性的相量表達(dá)式在形式上一致07:32:43375.4.1歐姆定律的相量形式用統(tǒng)一形式表達(dá)個元件伏安特性Z為阻抗，顯然

ZR＝R ZL＝j(luò)ωL07:32:4338歐姆定律的相量形式（續(xù)）阻抗的倒數(shù)稱為導(dǎo)納歐姆定律的相量形式也可以寫成07:32:43395.4.2阻抗的串并聯(lián)阻抗的串聯(lián)Z＝Z1＋Z2

阻抗的并聯(lián)07:32:43405.4.3阻抗的意義Z＝R＋jX

阻抗的實(shí)部R仍稱為電阻，虛部X則稱為電抗。任何的無源網(wǎng)絡(luò)總可以等效成電阻、電感、電容的串聯(lián)形式，阻抗Z的實(shí)部等于電路中的等效電阻虛部等于等效感抗與等效容抗之差。07:32:4341阻抗的意義（續(xù)）如果電路中的等效感抗大于等效容抗，則虛部為正，此時電路稱為電感性的；如果電路中的等效容抗大于等效感抗，則虛部為負(fù)，此時稱電路為電容性的。根據(jù)容抗和感抗的定義可知，電路呈現(xiàn)電容性或電感性，與正弦穩(wěn)態(tài)電路的工作頻率密切相關(guān)，在某一頻率下呈現(xiàn)電感性的電路，在另一個頻率下可能呈現(xiàn)電容性。07:32:4342斯坦因梅茨形式阻抗也可以寫成極坐標(biāo)的形式Z＝|Z|∠θ

其中因?yàn)殡娍筙與電源角頻率有關(guān)，所以阻抗Z也與電源角頻率有關(guān)。07:32:4343阻抗的意義（續(xù)）任意網(wǎng)絡(luò)，在正弦激勵下，其端口上的電壓、電流相量符合相量形式的歐姆定律07:32:4344阻抗的意義（續(xù)）導(dǎo)納的復(fù)數(shù)形式Y(jié)＝G＋jB

電感引起的電納部分稱為感納，電容引起的電納稱為容納。導(dǎo)納的極坐標(biāo)形式Y(jié)＝|Y|∠θ′07:32:4345阻抗計(jì)算舉例【例5-3】已知電路中某元件上的電壓和電流為u(t)＝100sin(314t＋π/2)V，i(t)＝70sin(314t＋π/2)A，求該元件的阻抗Z？【解】首先寫出元件電壓和電流的相量形式該元件是電感性的元件。07:32:4346阻抗計(jì)算舉例（續(xù)）【例5-4】在圖5-17所示的電路中，已知輸入電壓ui＝20sin(4t＋π/2)，求輸出電壓uo和輸入電壓ui之比，并求出輸出電壓uo的時域表達(dá)式。07:32:4347阻抗計(jì)算舉例（續(xù)）【解】要進(jìn)行頻域分析，首先必須寫出電路元件的頻域形式，因?yàn)殡娫吹慕穷l率ω＝4，所以電阻、電感、電容的阻抗分別為