2023新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上重難點(diǎn)集錦

新人卷版八年怒￡冊敢專

專⑹皮總徭為伊

第十一章三僚衫

第十二案全篝三僚衫

第十三章夕由對(duì)救

第十㈤章整式乘法彳口㈤式分解

第十方章分式

第十一章三角形

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊:

相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。

(2)在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

(3)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡稱三角形的高)。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形態(tài)是固定的，三角形的這特性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這特性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣,

須要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形態(tài)。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個(gè)特性：

(1)三角形有三條線段)

(2)三條線段不在同始終線上J三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接

三角形用符號(hào)表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

~不等邊三角形

Y

三角形Ir底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形i

等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下：

“直角三角形(有一個(gè)角為直角的三角形)

Y

三角形Ir銳角三角形(三個(gè)角都是銳角的三角形)

Y

斜三角形I

鈍角三角形(有一個(gè)角為鈍角的三角形)

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。

6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

(2)三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①推斷三條已知線段能否組成三角形

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。

推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。

③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。8、三角形的面積=』X底

2

X高

多邊形學(xué)問要點(diǎn)梳理

r

定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。

r凸多邊形

分類1：1凹多邊形

J正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

分類2：匚非正多邊形：

多邊形J1、n邊形的內(nèi)角和等于180。(n-2)。

I多邊形的定理I2、隨意凸形多邊形的外角和等于360。。

3、n邊形的對(duì)角線條數(shù)等于l/2?n(n-3)

f只用一種正多邊形：3、4、6/。

鑲嵌I,拼成360度的角

只用一種非正多邊形(全等)：3、4。

學(xué)問點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念1、多

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

(2)在定義中應(yīng)留意：

①一些線段(多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù))；

②首尾順次相連，二者缺一不行；

③理解時(shí)要特殊留意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件，其目的是為了解除幾個(gè)點(diǎn)不共面的狀況，即空間

多邊形.

2、多邊形的分類：

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，假如整個(gè)多邊形都在這

條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形(見圖1).本章所講的多邊形都是指凸

多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有〃條邊就叫做“邊形.三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角

形是邊數(shù)最少的多邊形.

學(xué)問點(diǎn)二：正多邊形區(qū)/;

各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相做正多邊形。如正三角彩五邊形等。

正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形

要點(diǎn)詮釋：宏

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不行.如四條邊都相等的四邊形不肯定是正方形,

四個(gè)角都相等的四邊形也不肯定是正方形，只有滿意四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形

學(xué)問點(diǎn)三：多邊形的對(duì)角線由

多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.如圖2,BD為四邊形ABCD

的一條對(duì)角線。

要點(diǎn)詮釋：施

(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n—3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n—2)個(gè)三角形。

(2)n邊形共有條對(duì)角線。

證明：過一個(gè)頂點(diǎn)有n—3條對(duì)角線(ne3的正整數(shù))，又1?共有n個(gè)頂點(diǎn)，.?.共有n(n-3)條對(duì)角線，但過兩

個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，.?.凸n邊形，共有條對(duì)角線。

學(xué)問點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式區(qū)

1.公式：厚邊形的內(nèi)角和為.

2.公式的證明：

證法1：在國邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成耳個(gè)三角形，這

八個(gè)三角形的內(nèi)角和為打聲野一個(gè)周角，即得到號(hào)邊形的內(nèi)角和為5-2)180,

證法2：從耳邊形一個(gè)頂點(diǎn)作雙角線,可以作5一①條對(duì)角線，并且手邊形被分成2)個(gè)三角形，這-2)

個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是耳邊形的內(nèi)角和，等于8-2)180J

證法3：在耳邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，彳琳3%口朱三角形，耳邊形內(nèi)角和等于這(“一】)個(gè)三角

形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，

即(”】)180.-18(7=(“-一諭J町隼23)

要點(diǎn)詮釋：

(1)留意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。

(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

學(xué)問點(diǎn)五：多邊形的外角和公式盤

1.公式：多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以耳邊形的內(nèi)角和加外角

和為M180,,外角和等于目120'-("-2)180'=360?留意：n邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無

關(guān)。

要點(diǎn)詮釋：國

(1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系:

①n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)?180°(n23,n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加

1條邊，內(nèi)角和增加180°。

②多邊形的外角和等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān)。

學(xué)問點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征國

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或

平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形態(tài)相同，也可以形態(tài)不相同。

2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊。

3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：

(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°。

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣推斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多

邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能鋪成一

個(gè)平面圖形。(?-2)180°

事實(shí)上，嶗懶內(nèi)角為?幼，要求kQ正n邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，

這樣360°=n,由此導(dǎo)出1<=月-2=2十%-2,而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4,6。因而，

用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。

留意：隨意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形態(tài)、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪

成無空隙的地板，用隨意相同的三角形也可以鋪滿地面。

(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面

用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形”交接處各角之和能否拼成一

個(gè)周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八

邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：

又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊

形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐?/p>

角之和恰好為一個(gè)周角360°。

規(guī)律方法指導(dǎo)

1.內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；

邊數(shù)削減，內(nèi)角和削減.每增加一條邊，內(nèi)角的和

就增加180°(反過來也成立)，且多邊形的內(nèi)

角和必需是180°的整數(shù)倍.

2.多邊形外角和恒等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān).

3.多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，最少

沒有鈍角.

4.在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié)

問題的常用方法.

5.在解決多邊形的內(nèi)角和問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決.三角形是一種基本圖形，是

探討困難圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)留意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

經(jīng)典例題透析

舞多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用而

IFi.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？

總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用.只要設(shè)出邊數(shù)券，依據(jù)條件列出關(guān)于

國的方程，求出川的值即可，這是一種常用的解題思路.

舉一反三：

【變式1】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

[

【變式2】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°,求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少？

【答案】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為浮，這個(gè)內(nèi)角為X",

【變式3】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。

類型二：多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用而

【變式1】一個(gè)多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（）.

A.6B.7C.8D.9

【變式2】一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線。

而

總結(jié)升華：對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律——條，牢記這個(gè)公式，以后只要用

相應(yīng)的n的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。

類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題困

【變式1】如圖所示，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=,

【變式2】如圖所示，求NA+/B+NC+ND+NE+/F的度數(shù)。

類型呸實(shí)際應(yīng)用題值

4.如圖，一輛小汽車從P市動(dòng)身，先到B市，再到C市，再到A市，最終返回P市，這輛小汽車共

轉(zhuǎn)了多少度角？國1

思路點(diǎn)撥：依據(jù)多邊形的外角和定理解決.

舉一反三:【變式1】

如圖所示，小亮從A點(diǎn)動(dòng)身前進(jìn)10m,向右轉(zhuǎn)15°,再前進(jìn)10m,又向右轉(zhuǎn)15°,…，這樣始終走下去，當(dāng)他

第一次回到動(dòng)身點(diǎn)時(shí)，一共走了m.

【變式2】小華從點(diǎn)A動(dòng)身向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°,然后接著向前走10米，再向右轉(zhuǎn)36°,他以

同樣的方法接著走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回點(diǎn)A時(shí)共走了多少米？

若不能，寫出理由。

【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB〃CF,

CD〃AE.按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測量

這時(shí)師傅告知徒弟只需測一個(gè)角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定,

你知道需測哪一個(gè)角嗎？說明理由.

思路點(diǎn)撥：本題中將AB、CD延長后會(huì)得到一個(gè)五邊形，依據(jù)五邊形內(nèi)角和為540。，又由AB〃CF,CD

〃AE,可知/BAE+NAEF+/EFC=36(r,從540°中減去80°再減去360°,剩下/C的度數(shù)為100°,所以

只需測/C的度數(shù)即可，同理還可干脆測NA的度數(shù).

總結(jié)升華：本題事實(shí)上是多邊形內(nèi)角和的逆運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確添加協(xié)助線.

類型%鑲嵌問題向

IF5.分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖。一

(1)正方形和正八邊形;

(2)正三角形和正十二邊形;

(3)正三角形、正方形和正六邊形。

思路點(diǎn)撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。

解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個(gè)內(nèi)角分別是60°、90°、120°、135°、

150°,

⑴因?yàn)?0+2X135=360,所以一個(gè)頂點(diǎn)

處有1個(gè)正方形、2個(gè)正八邊形，如圖⑴所示。

(2)因?yàn)?0+2X150=360,所以一個(gè)頂點(diǎn)

處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正十二邊形，如圖(2)

所示。

(3)因?yàn)?0+2X90+120=360,所以一個(gè)

頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、1個(gè)正六邊形和2個(gè)正方形，如圖(3)

所示。

總結(jié)升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否

拼成一個(gè)周角”的問題。舉一反三：

【變式1】分別用形態(tài)、大小完全相同的①三角形木板；②四邊形木板；③正五邊形木板；④正六邊形木板

作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是()A、①B、②C、③D、④

解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板,

故

【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是

8,則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是（）

A、4B、5C、6D、8

【答案】A（提示：先算出正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再乘以2,然后用360°減去剛才得到的積，便得

到第三塊木板一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到第三塊木板的邊數(shù)）

練習(xí)

1.多邊形的一個(gè)內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和為600°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

2.n邊形的內(nèi)角和與外角和互比為13：2,求n.

3.五邊形ABCDE的各內(nèi)角都相等，且AE=DE,AD〃CB嗎？

4.將五邊形砍去一個(gè)角，得到的是怎樣的圖形？

5.四邊形ABCD中，ZA+ZB=210°,ZC=4ZD.求：NC或ND的度數(shù).

6.在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.

求證：ZDBC=2ZBDC.

第十二章全等三角形

一、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性質(zhì)

（1）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。

（2）：全等三角形的周長相等、面積相等。

（3）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。

3、全等三角形的判定

邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“SSS”）

邊角邊:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“SAS”）

角邊角:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“ASA”）

角角邊:兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“AAS”）

斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“HL”）

4、證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：

二、角的平分線:

I、(性質(zhì))角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

2、(判定)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)留意以下幾個(gè)問題：

(1):要正確區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)邊”，“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)角”的不同含義；

(2)：表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上；

(3)：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不肯定全等；

(4)：時(shí)刻留意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合

的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端

點(diǎn)的兩邊所成的角。

2,全等三角形的表示和性質(zhì)

全等用符號(hào)“且”表示，讀作“全等于"。如△ABC^^DEF,讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“邊角邊”或“SAS”)

(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“角邊角”或“ASA”)

(3)邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)。

直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)

4、全等變換

只變更圖形的位置，二不變更其形態(tài)大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。

(2)對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對(duì)稱變換。

(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)肯定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

第十二章軸對(duì)稱

一、軸對(duì)稱圖形

1.把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，假如直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。這條

直線就是它的對(duì)稱軸。這時(shí)我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱。

2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，假如它能與另一個(gè)圖形完全重合，那么就說這兩個(gè)圖關(guān)于這條直線對(duì)稱。

這條直線叫做對(duì)稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)

3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)分與聯(lián)系

4.軸對(duì)稱的性質(zhì)

①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

②假如兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

③軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

④假如兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

二、線段的垂直平分線

I.經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。

2.線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

3.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上

三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱小結(jié)：

在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱

坐標(biāo)相等.

點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

四、（等腰三角形）學(xué)問點(diǎn)回顧

3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系

1.等腰三角形的性質(zhì)軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱

①.等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（等邊對(duì)等角）圖形

②.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重L

（1）軸對(duì)稱圖L形是指（一個(gè)）⑴軸對(duì)稱隨8（兩個(gè)）眺

區(qū)別具有特殊形狀的圖形，的位置關(guān)系，必須涉及

只對(duì)（一個(gè)）圖形而言（兩年）圖形；

2、等腰三角形的判定：⑵對(duì)稱軸序一定只有一條⑵只有（一條）幽涮.

如果把軸對(duì)稱觸沿對(duì)稱軸如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形

聯(lián)系分成兩部分，那么這兩個(gè)圖形拼在一起看成一個(gè)整體，那

就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。（等角對(duì)等邊）

五、（等邊三角形）學(xué)問點(diǎn)回顧

I.等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于600。

2、等邊三角形的判定：

①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

②有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形。

3.在直角三角形中，假如一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底

邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a,底邊長為b,則2<a

2

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為/A,底角為NB、ZC,則/A=180°-2ZB,ZB=Z

180°—NA

C=----------

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定理

常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，假如一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定

中1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角

線分頂角；形；

2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它2、假如一個(gè)三角形的一邊中線垂直這條

們的交點(diǎn)與底邊兩端點(diǎn)距離相等。邊（平分這個(gè)邊的對(duì)角），那么這個(gè)

三角形是等腰三角形

角1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；1、假如三角形的頂角平分線垂直于這個(gè)

平2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它角的對(duì)邊（平分對(duì)邊），那么這個(gè)三

分們的交點(diǎn)究竟邊兩端點(diǎn)的距離相等。角形是等腰三角形；

線2、三角形中兩個(gè)角的平分線相等，那么

這個(gè)三角形是等腰三角形。

高1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分1、假如一個(gè)三角形一邊上的高平分這條

線底邊；邊（平分這條邊的對(duì)角），那么這個(gè)

2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們?nèi)切问堑妊切危?/p>

的交點(diǎn)和底邊兩端點(diǎn)距離相等。2、有兩條高相等的三角形是等腰三角

形。

角等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊

邊底的一半〈腰長〈周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

（2）要會(huì)區(qū)分三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線相互平分。

結(jié)論5：三角形中隨意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。

第十四章整式乘除與因式分解

回顧學(xué)問點(diǎn)

1、主要學(xué)問回顧：

幕的運(yùn)算性質(zhì)：

am-an=am+n（m、n為正整數(shù)）

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

=amn（m,n為正整數(shù)）

幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（n為正整數(shù)）

積的乘方等于各因式乘方的積.

a0=am-n（a#0,m、n都是正整數(shù)，且m>n）

同底數(shù)暴相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

零指數(shù)累的概念：

a0=1（a#0）

任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)累都等于1.

aP=aP（a#0,p是正整數(shù)）

任何一個(gè)不等是正整數(shù)）指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)的P指數(shù)幕的倒數(shù).

也可表示為：MW（mWO,nWO,p為正整數(shù)）

單項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)

作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加.

單項(xiàng)式的除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為

商的一個(gè)因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式:(a+b)(a—b)—a2-b2

文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2—2ab+b2

文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍.

3、因式分解：

因式分解的定義.

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

駕馭其定義應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：

(1)分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必需是積的形式，且積的因式必需是整式，這三個(gè)要素缺一不行；

(2)因式分解必需是恒等變形；

(3)因式分解必需分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

二、嫻熟駕馭因式分解的常用方法.

1、提公因式法

(1)駕馭提公因式法的概念；

(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般狀況下有三部分：①系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約

數(shù)；②字母—各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；

(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；其次步是提取公因式并確定另一因式.需留意的是，提取

完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一樣，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).

(4)留意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)當(dāng)是最簡形式，即分解到“底”；②假如多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)

的，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.

2、公式法

運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來運(yùn)用；

常用的公式:

①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a—b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a—b)2

3.十字相乘法

第十五章分式

學(xué)問點(diǎn)一：分式的定義A

一般地，假如A,B表示兩個(gè)整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子B叫做分式，A為分子，B為分母。

學(xué)問點(diǎn)二：與分式有關(guān)的條件

①分式有意義：分母不為O（BR°）

②分式無意義：分母為0（B=°）rA=0

<

③分式值為0：分子為。且分母不為0（圾

A<0

<

④分式值為正或大于o：分子分母同號(hào)（438或

振8)

⑤分式值為負(fù)或小于分子分母異號(hào)或

0：（18<°B>0)

⑥分式值為I：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為T：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）

學(xué)問點(diǎn)三：分式的基本性質(zhì)

分式的分子雙分明變（啜以X不等于0的整式，分式的值不變。

字母表示：BB?C,B8+C,其中A、B、C是整式，C#0。

物展：_於的徒苴法則：齡式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，變更其中任何兩個(gè)，分式的值不變，即

萬一二一一-F—一刀

留意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要留意CW0這個(gè)限制條件和隱含條件B*0。

學(xué)問點(diǎn)四：分式的約分

定義：依據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。

留意：①分式的分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可干脆約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分子分母相同

因式的最低次基。

②分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。

學(xué)問點(diǎn)四：最簡分式的定義

一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式。

學(xué)問點(diǎn)五：分式的通分

①分式的通分：依據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分