專題01 空間向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單）（解析版）

專題01空間向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單）（考點(diǎn)串講）目錄TOC\o"13"\h\u一、思維導(dǎo)圖 3二、知識回歸 4三、典型例題講與練 6考點(diǎn)清單01：空間向量的有關(guān)概念 6【考試題型1】空間向量基本概念 6考點(diǎn)清單02空間向量的共線定理 8【考試題型1】空間向量共線判斷 8【考試題型2】由空間向量共線求參數(shù)或值 10考點(diǎn)清單03空間向量共面 12【考試題型1】判斷空間向量共面 12【考試題型2】由空間向量共面求參數(shù) 14考點(diǎn)清單04用基底表示向量 15【考試題型1】用基底表示向量 15考點(diǎn)清單05空間向量數(shù)量積 17【考試題型1】空間向量數(shù)量積運(yùn)算 17【考試題型2】求空間向量數(shù)量積的最值（范圍） 20考點(diǎn)清單06空間向量的模 23【考試題型1】求空間向量模 23【考試題型2】求空間向量模的最值（范圍） 25考點(diǎn)清單07空間向量夾角 28【考試題型1】求空間向量夾角 28【考試題型2】空間向量夾角為銳角（鈍角） 31考點(diǎn)清單08空間向量投影 33【考試題型1】求投影向量 33考點(diǎn)清單09空間向量平行，垂直關(guān)系 35【考試題型1】空間向量平行與垂直關(guān)系 35考點(diǎn)清單10用向量證明空間中的平行，垂直關(guān)系 37【考試題型1】證明線面平行 37【考試題型2】證明面面平行 41【考試題型3】證明線面垂直 45【考試題型4】證明面面垂直 49一、思維導(dǎo)圖二、知識回歸知識點(diǎn)01：幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點(diǎn)02：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反知識點(diǎn)03：共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使拓展:對于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．知識點(diǎn)04：空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.知識點(diǎn)05：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積知識點(diǎn)06：空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示1、兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）2、向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即3、兩個向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則知識點(diǎn)07：空間中直線、平面的平行設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??知識點(diǎn)08：空間中直線、平面的垂直設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???三、典型例題講與練01：空間向量的有關(guān)概念【考試題型1】空間向量基本概念【解題方法】向量的基本概念【典例1】（2023上·高二課時練習(xí)）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量滿足，則；④若空間向量滿足，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】D【詳解】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；當(dāng)兩個空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；命題④顯然正確；對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．故選：D.【典例2】（2023上·福建泉州·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖所示，可知是的相反向量.故選：A【專訓(xùn)11】（2023上·山西臨汾·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)試寫出與相等的所有向量．(2)試寫出的相反向量．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，與相等有；（2）由題意，的相反向量有.02空間向量的共線定理【考試題型1】空間向量共線判斷【解題方法】共線定理【典例1】（2023上·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知分別為四面體的面與面的重心，為上一點(diǎn)，且.設(shè).(1)請用表示；(2)求證：三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）．（2）；則，又有公共起點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線．【典例2】（2023上·北京·高二北京鐵路二中校考期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面【答案】C【詳解】若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故A錯誤；同理若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故B錯誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯誤.故選：C【專訓(xùn)11】（2023上·全國·高二階段練習(xí)）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點(diǎn)在對角線上，且，點(diǎn)在對角線上，且．(1)設(shè)向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點(diǎn)共線．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【詳解】（1）四棱柱的六個面都是平行四邊形，由，得，則，由，得，則．（2）由（1）知，，，因此，于是向量與共線，而向量與有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線.【考試題型2】由空間向量共線求參數(shù)或值【解題方法】共線定理【典例1】（2023上·福建莆田·高二莆田第四中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，若，則實(shí)數(shù)．【答案】1【詳解】由題意知向量，，，故，故答案為：1【典例2】（2023下·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，若與平行，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)榕c平行，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得，故選：C【專訓(xùn)11】（2023上·河北·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是空間的一個基底，，，若，則（

）A． B．0 C．5 D．6．【答案】D【詳解】易知，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，所以，所以，所以．故選：D．【專訓(xùn)12】6．（2023下·高二單元測試）已知向量，，若，則的值可能為（

）A． B．C． D．2【答案】C【詳解】由題意向量，，且，故，且，解得，或，則的值為或，故選：C03空間向量共面【考試題型1】判斷空間向量共面【解題方法】空間向量共面定理【典例1】（2021上·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校┮阎?，，三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)，若，則可以得到結(jié)論是四點(diǎn)（

）A．共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．不共面【答案】A【詳解】,則，所以，則，故四點(diǎn)共面.故選：A【典例2】（2023上·陜西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)．(1)求的值；(2)證明：C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．【答案】(1)6(2)證明見解析【詳解】（1）解：在直四棱柱中，，易得，，，兩兩垂直.故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,，，，．

，．

．（2）證明：由（1）得：．

令，即，解得，．故C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．【專訓(xùn)11】（多選）（2023上·安徽亳州·高二校考階段練習(xí)）下列條件中，使與一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對于A中，由，因?yàn)椋鶕?jù)空間向量的基本定理及其推論知，可得四點(diǎn)共面，所以A正確；對于B中，由，因?yàn)?，根?jù)空間向量的基本定理及其推論知，可得四點(diǎn)不共面，所以B不正確；對于C中，由，可得，根據(jù)向量的共面定理，可得向量共面，所以四點(diǎn)共面，所以C正確；對于D中，由，可得，因?yàn)?，根?jù)空間向量的基本定理及其推論知，可得四點(diǎn)不共面，所以D不正確.故選：AC.【專訓(xùn)12】（2023下·高二課時練習(xí)）設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若點(diǎn)滿足向量關(guān)系（其中），試問：，，，四點(diǎn)是否共面？【答案】共面【詳解】解：，，，四點(diǎn)共面．理由如下：，，，即，由，，三點(diǎn)不共線，可知和不共線，由共面定理可知向量，，共面，，，，四點(diǎn)共面．【考試題型2】由空間向量共面求參數(shù)【解題方法】空間向量共面定理【典例1】（2023上·遼寧大連·高二大連二十四中校考期中）已知，若共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【詳解】顯然向量與不平行，而，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使，即，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的值為5.故選：B【典例2】（2023上·貴州·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，其中、，即，所以，，所以，，所以，.故選：B.【專訓(xùn)11】（2023上·安徽六安·高二六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，且對空間任意一點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由點(diǎn)在平面內(nèi)，可知，又，所以，三項(xiàng)相加可得.故選：B.【專訓(xùn)12】（2023上·山東·高二校聯(lián)考期中），，，若共面，則實(shí)數(shù).【答案】【詳解】由于共面，則存在，使得，又，，，故，故，解得.故答案為：.04用基底表示向量【考試題型1】用基底表示向量【解題方法】空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算【典例1】（2023上·浙江·高二路橋中學(xué)?？计谥校┤鐖D三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由已知可得，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，則.故選：B.【典例2】（2023上·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量，，表示向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可得，又可得，所以，即可得.故選：C【專訓(xùn)11】（2023上·廣東珠?！じ叨？计谥校┤鐖D，空間四邊形中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由于，所以，又為的中點(diǎn)，所以，因此：.故選：C05空間向量數(shù)量積【考試題型1】空間向量數(shù)量積運(yùn)算【解題方法】【典例1】（2023上·吉林松原·高二前郭爾羅斯縣第五中學(xué)?？计谥校┪覈糯鷶?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（

）A． B．3 C．2 D．5【答案】B【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，，所以．故選：B【典例2】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在長方體中，，，，則（）A． B． C．3 D．9【答案】C【詳解】，，，.故選：C.【專訓(xùn)11】（2023上·北京房山·高二北師大良鄉(xiāng)附中校考階段練習(xí)）已知長方體的底面是正方形，，，為棱的中點(diǎn)，則.【答案】8【詳解】解：以、、所在直線分別為軸,軸，軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：則,,,所以，所以.故答案為：.【專訓(xùn)12】（2023上·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考期中）已知在正三棱錐P－ABC中，點(diǎn)M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，記，，.(1)分別用，，來表示向量，；(2)若，，是兩兩垂直的單位向量，求向量與的數(shù)量積.【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）由題意可知，；（2）由（1）可知，若，，是兩兩垂直的單位向量，則，所以.【考試題型2】求空間向量數(shù)量積的最值（范圍）【解題方法】坐標(biāo)法，極化恒等式【典例1】（2023上·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）正四面體的棱長為，點(diǎn)，是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，為正四面體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)線段最長時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，則.因?yàn)檎拿骟w的棱長為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時最長，此時，，，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時，最長，的最大值為，所以的最大值為.故選：C【典例2】（2023上·北京朝陽·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體中，，，，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，則的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【專訓(xùn)11】（2023·河南開封·河南省杞縣高中校考模擬預(yù)測）正四面體的棱長為4，空間中的動點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．【專訓(xùn)12】（2023上·湖北十堰·高二十堰一中校聯(lián)考期中）如圖，已知正方體的棱長為4，M，N，G分別是棱，BC，的中點(diǎn)，設(shè)Q是該正方體表面上的一點(diǎn)，若．(1)求點(diǎn)Q的軌跡圍成圖形的面積；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，∴點(diǎn)在平面上，如圖，分別取，，的中點(diǎn)，連接因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，故，又由正方體可得，，，，故，，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故五點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故六點(diǎn)共面，由正方體的對稱性可得六邊形為正六邊形．故點(diǎn)的軌跡是正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是．（2）如圖，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得當(dāng)位于時，此時在上的投影最大，故，∴的最大值為12．06空間向量的模【考試題型1】求空間向量?！窘忸}方法】【典例1】（2023上·河南開封·高二河南省蘭考縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)，，，，且，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，所以，又因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，故選：D.【典例2】（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）已知平行六面體的所有棱長都為1，且，，則的長為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由已知可得，，所以，.所以，.故選：C.【專訓(xùn)11】（2023上·貴州銅仁·高二?？计谥校┮阎?，，且與垂直，則．【答案】【詳解】由題意，，且與垂直，則，故，則，故答案為：【專訓(xùn)12】（2023上·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在棱長均為的平行六面體中，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則的長為．【答案】【詳解】，所以,所以.故答案為：【考試題型2】求空間向量模的最值（范圍）【解題方法】坐標(biāo)法【典例1】（2023上·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，為底面上的動點(diǎn)，若直線平面，則線段的長度的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)檎襟w的棱長為2，且分別是棱的中點(diǎn)，為底面上的動點(diǎn)，可得則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)時，取得最小值，最小值為.故選：B.【典例2】（2023上·貴州黔南·高二校考階段練習(xí)）已知，是空間中相互垂直的兩個單位向量，且，，則的最小值是.【答案】3【詳解】因?yàn)?，是空間中相互垂直的兩個單位向量，設(shè)，設(shè)，又，所以，則，又，所以，所以，其中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值是3.故答案為：3【專訓(xùn)11】（2023上·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）棱長為1的正方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動，若，分別為,中點(diǎn)，求；滿足平面，則線段的最小值為.【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,當(dāng)，分別為,中點(diǎn)時，則;當(dāng)在上運(yùn)動，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動時，設(shè)所以因?yàn)槠矫妫?，故故，又，故，故?dāng)時，此時滿足條件，所以線段的最小值為故答案為：；.【專訓(xùn)12】（2023上·北京·高二北京市第三十五中學(xué)校考期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，其中，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，則，且，其中點(diǎn)可以看作球心在原點(diǎn)，半徑為的球上的點(diǎn)所以表示球上的點(diǎn)到點(diǎn)距離，最大值為球心到點(diǎn)的距離再加球的半徑，即.故選：D07空間向量夾角【考試題型1】求空間向量夾角【解題方法】夾角公式【典例1】（2023上·新疆烏魯木齊·高二?？计谀┮阎?，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知得，所以,因?yàn)榭臻g向量的夾角范圍是，所以向量與的夾角為，故選：D.【典例2】（2022上·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知，，則最大值為【答案】【詳解】，當(dāng)時，，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故，當(dāng)時，，故的最大值為，故答案為：【專訓(xùn)11】（2023上·廣東廣州·高二廣州市第九十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求；【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)?，所以，所以，故；?）因?yàn)?，所以因?yàn)?，?所以；【專訓(xùn)12】（2023上·廣西玉林·高二?？茧A段練習(xí)）已知．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求與夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以設(shè)，即，所以，解得，故又，所以，即，解得．（2）由（1）得，，設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以與夾角的余弦值為.【考試題型2】空間向量夾角為銳角（鈍角）【解題方法】向量點(diǎn)乘正負(fù)【典例1】（2022下·上海·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若向量、的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由題意可知：且解得：且，即本題正確結(jié)果：【典例2】（多選）（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)與共線時，，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD【專訓(xùn)11】（2022上·山東聊城·高二山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）已知空間中的三點(diǎn)，，，，．(1)當(dāng)與的夾角為鈍角時，求的范圍；【答案】(1)【詳解】（1）由題意得，，所以，，由，解不等式，得．∵當(dāng)時，兩個向量的夾角為，∴的取值范圍是．【專訓(xùn)12】（2023下·上海·高二上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：08空間向量投影【考試題型1】求投影向量【解題方法】【典例1】（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱錐中，平面，，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵平面,，∴,,故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，令.則，則，∴在方向上的投影向量，即在軸正方向上的投影向量為.故選：C.【典例2】（2023上·浙江杭州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量為.（用坐標(biāo)表示）【答案】【詳解】因?yàn)?，，則，所以，，所以，在上的投影向量為.故答案為：.【專訓(xùn)11】（2023上·河南開封·高二統(tǒng)考期中）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】向量在向量上的投影向量.故選：A.【專訓(xùn)12】（2023上·河南·高二校聯(lián)考期中）已知，，，則在上的投影向量為.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，則，，所以，則在上的投影向量為.故答案為：.09空間向量平行，垂直關(guān)系【考試題型1】空間向量平行與垂直關(guān)系【解題方法】；（均非零向量）【典例1】（2023上·浙江臺州·高二路橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，設(shè)．(1)若，且，求向量，(2)已知向量與互相垂直，求k的值．【答案】(1)或；(2)k的值是．【詳解】（1）空間中三點(diǎn)，則，，，且，，，，或．（2）因?yàn)椋?，且向量與互相垂直，，解得．的值是．【典例2】（2021上·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)(1)若，且，求；(2)若與垂直，求k；(3)求.【答案】(1)或；(2)或；(3).【詳解】（1）由題意，，，所以可設(shè)，又，所以，解得，所以或；（2）由題意，，所以，又與垂直，所以，解得或，所以或；（3）由（2）可得，所以.【專訓(xùn)11】（2023上·北京昌平·高二?？计谥校┮阎?，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，則表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而原點(diǎn)到直線的距離為，則，綜上，的取值范圍為.故選：C【專訓(xùn)12】（2023上·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求k．【答案】(1)或(2)(3)或【詳解】（1）由題知，因?yàn)?，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，又因?yàn)?，所以，解得，故或；?）由題知，，，所以；（3）因?yàn)?，，所以，，又與互相垂直，所以，解得或，所以或．10用向量證明空間中的平行，垂直關(guān)系【考試題型1】證明線面平行【解題方法】??【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．證明：平面；【答案】證明見解析【詳解】因?yàn)?，平面BCD，故以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，過點(diǎn)C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，則，因?yàn)?，，可得，因?yàn)槠矫鍮CD的法向量可取為，則，且平面BCD，所以PQ平面BCD．【典例2】（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，點(diǎn)M，N分別在對角線BD，AE上，且，．求證：平面CDE．【答案】證明見解析【詳解】如圖，因?yàn)镸在BD上，且，所以,同理．又，所以.又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，，共面．因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)，所以平面CDE．【專訓(xùn)11】（2023下·高二課時練習(xí)）如圖，已知斜三棱柱，在和上分別取點(diǎn)，，使，，其中，求證：平面.【答案】證明見解析【詳解】證明因?yàn)?，，所以，所以與向量，共面，而平面，所以平面.【專訓(xùn)12】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．求證：平面；【答案】證明見解析【詳解】因?yàn)榈酌?，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，又，所以，即，因?yàn)槠矫妫云矫?，【考試題型2】證明面面平行【解題方法】??【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）證明：以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則所以，，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面．?）由（1）知，是平面的一個法向量，由點(diǎn)，，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，且，所以平面．?）由題可知，，設(shè)平面的一個方向量為，由得，取則，因?yàn)?，，即，所以，所以平面平面．【典?】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點(diǎn)，求證：平面平面．【答案】證明見解析【詳解】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以，，，，設(shè)是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設(shè)是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．【專訓(xùn)11】（2023下·高二課時練習(xí)）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.【答案】證明見解析【詳解】證明:如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則有，，，，，，于是，，，，顯然有，，所以，，由，平面，平面，平面，同理平面，平面，，所以平面平面【專訓(xùn)12】（2022·高二課時練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：平面ADE∥平面B1C1F.【答案】證明見解析.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則，所以，，，，設(shè)是平面ADE的法向量，則，，即得，令，則，所以可取.同理，設(shè)是平面B1C1F的一個法向量.由，得，解得.令，得，所以.因?yàn)?，所以，所以平面ADE∥平面B1C1F.【考試題型3】證明線面垂直【解題方法】???【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直三棱柱為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，三棱柱的體積為32．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；【答案】證明見解析【詳解】由直三棱柱，得平面，又，可得三棱柱的體積，得．因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則．設(shè)，則，故．因?yàn)?，所以，所以，解得，即．所以，所以?所以．又因?yàn)槠矫鍭CQ，平面ACQ，，所以平面．【典例2】（2023上·浙江·高二路橋中學(xué)校考期中）已知正三棱臺中，，，、分別為、的中點(diǎn).(1)求該正三棱臺的表面積；(2)求證：平面【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，如圖所示：因?yàn)?，且，則、分別為、的中點(diǎn)，則，，故是邊長為的等邊三角形，由此可知，、都是邊長為的等邊三角形，易知是邊長為的等邊三角形，是邊長為的等邊三角形，故正三棱臺的