2024屆黑龍江省大慶市四中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆黑龍江省大慶市四中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知為圓：上任意一點(diǎn)，，若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）3．已知（為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知集合，則等于（）A． B． C． D．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C． D．7．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是（）A． B． C． D．8．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，則球O的表面積為（）A． B． C． D．10．要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．12．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n，兩個(gè)不同平面、，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號(hào)為______.14．函數(shù)在區(qū)間(-∞，1)上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____15．若，則________.16．在棱長(zhǎng)為的正方體中，是面對(duì)角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題：①存在兩點(diǎn)，使；②存在兩點(diǎn)，使與直線都成的角；③若，則四面體的體積一定是定值；④若，則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體發(fā)酵池，其底面為長(zhǎng)方形(如圖所示)，其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，發(fā)酵池造價(jià)總費(fèi)用不超過65400元（1）求發(fā)酵池邊長(zhǎng)的范圍；（2）在建發(fā)酵館時(shí)，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數(shù)）.問:發(fā)酵池的邊長(zhǎng)如何設(shè)計(jì)，可使得發(fā)酵館占地面積最小.18．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方形中，，分別為，邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，使得為直二面角．（1）證明：；（2）求與面所成角的正弦值．19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn).21．（12分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線C交于點(diǎn)A（不同于極點(diǎn)O），與直線l交于點(diǎn)B，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性、極值，可得時(shí)，滿足題意，再在時(shí)，求解的x的范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則；，則，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為，∴時(shí)，的取值范圍為，∴又當(dāng)時(shí)，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.2、B【解析】

如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，故，故軌跡為雙曲線，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】

設(shè)，由，得，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，故，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.4、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A，再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因?yàn)?，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6、D【解析】

首先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù)，則，所以A選項(xiàng)不正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，所以B選項(xiàng)不正確；，所以C選項(xiàng)不正確；，所以D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想.7、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算，中的最大公約數(shù)，所以，，，故當(dāng)輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí)，數(shù)形結(jié)合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合（如圖），由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.9、D【解析】

由題意畫出圖形，找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O，通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑，則答案可求.【詳解】如圖；設(shè)AB的中點(diǎn)為D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB為直角三角形，且斜邊為AB，故其外接圓半徑為：rAB＝AD＝2；設(shè)外接球球心為O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2?R2＝（R）2+r2?R；∴球O的表面積為：4πR2＝4π.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.10、A【解析】

運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個(gè)選項(xiàng)分別對(duì)變形，整理后與對(duì)比，從而可選出正確答案.【詳解】解：.對(duì)于A：可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時(shí)，忘記乘了自變量前的系數(shù).11、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對(duì)于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.12、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解。【詳解】由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B。【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、③④【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；②若且，則或者，②錯(cuò)；③若，設(shè)過的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ)．14、【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.15、13【解析】

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)，，所以，，又，所以，即，由二項(xiàng)式定理：令得：，再由，求出，從而得到的值；【詳解】解：設(shè)，，所以，，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，屬于中檔題16、①③④【解析】

對(duì)于①中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合時(shí)，可判斷①正確；當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與直線所成的角最小為，可判定②不正確；根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面，高之和為的棱錐，可判定③正確；四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.【詳解】對(duì)于①中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合時(shí)，，所以①正確；對(duì)于②中，當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與直線所成的角最小，此時(shí)兩異面直線的夾角為，所以②不正確；對(duì)于③中，設(shè)平面兩條對(duì)角線交點(diǎn)為，可得平面，平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面，高之和為的棱錐，所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；對(duì)于④中，四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形，其面積為定義，四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面直線的關(guān)系和椎體的體積，以及投影的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最??；當(dāng)時(shí)，時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)時(shí)，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】

（1）設(shè)米，總費(fèi)用為，解即可得解；（2）結(jié)合（1）可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論即可求得最值.【詳解】（1）由題意知:矩形面積米，設(shè)米，則米，由題意知:，得，設(shè)總費(fèi)用為，則，解得:，又，故，所以發(fā)酵池邊長(zhǎng)的范圍是不小于15米，且不超過25米；（2）設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由（1）知:，①時(shí)，，在上遞增，則，即米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最??；②時(shí)，，在上遞減，則，即米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最?。虎蹠r(shí)，時(shí)，，遞減；時(shí)，遞增，因此，即時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最??；綜上所述：當(dāng)時(shí)，，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；當(dāng)時(shí)，時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；當(dāng)時(shí)，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛Ｐ?，利用函?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.18、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）在折疊前的正方形ABCD中，作出對(duì)角線AC，BD，由正方形性質(zhì)知，又//，則于點(diǎn)H，則由直二面角可知面，故.又，則面，故命題得證；（2）作出線面角，在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：在正方形中，連結(jié)交于．因?yàn)?/，故可得，即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系，且平面,面，又面，所以（2）因?yàn)闉橹倍娼?，故平面平?又其交線為,且平面,故可得底面，連結(jié)，則即為與面所成角，連結(jié)交于，在中，，在中，．所以與面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，利用定義求線面角，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)，求導(dǎo)，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負(fù)，求導(dǎo)，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，則，所以是的增函數(shù)，故，即.因?yàn)樗?，①?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，則若，則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則若，則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當(dāng)時(shí)，，使得，即，但當(dāng)時(shí)，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù))在上單調(diào)遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）把點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程，解方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（Ⅰ）由已知橢圓過點(diǎn)得，，又，得，所以，即橢圓方程為.（Ⅱ）證明：由，得，由，得，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)的中點(diǎn)為，得，即，