7.1 角與弧度 原卷版

7.1角與弧度【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：任意角1．角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角α的頂點(diǎn)．角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”．3．角的分類：名稱定義圖示正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角考點(diǎn)二：角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考點(diǎn)三：象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．考點(diǎn)四：終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．考點(diǎn)五：度量角的兩種單位制1．角度制：(1)定義：用度作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角．考點(diǎn)六：弧度數(shù)的計(jì)算考點(diǎn)七：角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)考點(diǎn)八：弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長(zhǎng)公式：l＝αR. (2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.【題型歸納】題型一：任意角和終邊相同的角1．（2021上·江蘇宿遷·高一沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校）下列命題中正確的是（）A．第一象限角一定不是負(fù)角 B．小于的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限的角 D．終邊相同的角一定相等2．（2022下·遼寧朝陽·高一凌源市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列與角的終邊一定相同的角是（

）A． B．C． D．3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知角與角的終邊相同，分別求滿足下列條件的角的度數(shù)．(1)，； (2)，；(3)，； (4)，．題型二：象限角4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若，則為第一或第二象限角C．鈍角一定是第二象限角D．三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角5．（2022下·北京房山·高一北京市房山區(qū)房山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）給出四個(gè)命題：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正確的有（

）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若，，則角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限題型三：確定n倍角所在象限7．（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知為第三象限角，則為第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三8．（2020上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）的終邊在第三象限，則的終邊可能在（

）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限或軸非負(fù)半軸 D．第三、四象限或軸非正半軸9．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是第一象限角，試探究：（1）一定不是第幾象限角？（2）是第幾象限角？題型四：度量角的兩種單位制（角度制和弧度制）10．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)11．（2023下·高一）下列說法中，正確的是（

）A．1弧度角的大小與圓的半徑無關(guān)B．大圓中1弧度角比小圓中1弧度角大C．圓心角為1弧度的扇形的弧長(zhǎng)都相等D．用弧度來表示的角都是正角12．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于弧度制有下列說法：①扇形圓心角的弧度數(shù)隨扇形的弧長(zhǎng)的增大而增大．②大圓中1弧度的角大于小圓中1弧度的角．③大圓中1弧度的角等于小圓中1弧度的角．其中正確的說法有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)題型五：角度與弧度的互化13．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為（

）A． B． C． D．14．（2023上·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度是（

）A． B． C． D．15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）把下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)題型六：、與扇形的弧長(zhǎng)、面積有關(guān)的計(jì)算16．（2023上·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)校考期末）已知扇形的周長(zhǎng)為8cm，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A． B．1 C．2 D．317．（2023下·江西撫州·高一校聯(lián)考期中）扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久，最早關(guān)于扇面書畫的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時(shí)期，折扇扇面畫開始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫的外弧長(zhǎng)為48，內(nèi)弧長(zhǎng)為28，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．990 B．495 C．380 D．30018．（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期中）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┫铝信c的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．20．（2023上·安徽銅陵·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的面積為（

）A． B． C． D．21．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個(gè)角的終邊重合，則這兩個(gè)角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)22．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．23．（2023下·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．如圖是書畫家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鴉圖》扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為（

）A． B． C． D．24．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國語學(xué)校?？计谀┰O(shè)r為圓的半徑，弧長(zhǎng)為的圓弧所對(duì)的圓心角為（

）A． B． C． D．25．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）與角終邊相同的角可表示為（

）A． B．C． D．26．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）把下列各角化成的形式，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．27．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，設(shè)扇形的圓心角，半徑為，弧長(zhǎng)為，扇形面積記為．(1)用與表示扇形的面積；(2)用與表示扇形的面積．【高分突破】一、單選題28．（2023下·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內(nèi)的角有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)29．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高一統(tǒng)考期末）某圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實(shí)線部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角的大小為（

）A． B． C． D．30．（2023下·上海黃浦·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，若角和的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）31．（2023下·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

32．（2023下·山東濰坊·高一校聯(lián)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為的線段，并作等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，有個(gè)交點(diǎn)（不含點(diǎn)）時(shí)，則螺線長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、多選題33．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列各說法，正確的是（）A．半圓所對(duì)的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度34．（2023·全國·高一課堂例題）下列說法中正確的是（

）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)35．（2023下·重慶長(zhǎng)壽·高一重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上的角的集合為D．若角為銳角，則角為鈍角36．（2023下·遼寧撫順·高一校聯(lián)考期中）已知某扇形的圓心角為，半徑為5，則（

）A．該扇形的弧長(zhǎng)為 B．該扇形的弧長(zhǎng)為C．該扇形的面積為 D．該扇形的面積為37．（2022下·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負(fù)半軸上三、填空題38．（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為.39．（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．40．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，則圍成的陰影部分的面積為．41．（2023下·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該勒洛三角形的面積是．42．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.如圖，將的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，在軸上，然后將三角形沿著軸正方向滾動(dòng)，每當(dāng)頂點(diǎn)再次回落到軸上時(shí)，將相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離稱為“一個(gè)周期”，則完成“一個(gè)周期”時(shí)，頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度為