2015數(shù)學(xué)建模國(guó)賽論文A題

利用影子確定視頻拍攝地點(diǎn)和日期的建模和算法摘要本文研究的問題是如何通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期。建模整體思路是，先建立一系列分析用到的物理量，設(shè)定一些假設(shè)和約束條件，使得問題求解有可行性，之后對(duì)這些物理量進(jìn)行演繹。建模使用的軟件平臺(tái)主要是matlab，分析用到的主要參量是太陽赤緯、時(shí)角、高度角、方位角、緯度，分析過程當(dāng)中用到的方法有，建立物理概念，明確物理意義，比如引用天球坐標(biāo)系的概念，在天球坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行物理分析，通過對(duì)建立的參變量進(jìn)行物理關(guān)系的推導(dǎo)，形成公式體系進(jìn)行求解，對(duì)題目所給予的影子坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)變換處理，使用matlab進(jìn)行合理的擬合，對(duì)于用公式法和方程法沒法順利解決的問題使用窮舉法作為解題的補(bǔ)充，對(duì)于視頻中坐標(biāo)的取法用到了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的思想。其中主要公式有1.2.3.4.sinh=cosΩcosφcosδ+sinφsinδ第一問，通過物理量變換，先求出高度角，進(jìn)而得到影子長(zhǎng)度與時(shí)間變化關(guān)系。第二問，擬合點(diǎn)求經(jīng)度，取點(diǎn)套公式求緯度。第三問，方程思想，過程復(fù)雜，采用窮舉法近似實(shí)現(xiàn)求解。第四問，難點(diǎn)在于通過視頻分析，得到影子端點(diǎn)的變化坐標(biāo)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化成第二問，已知日期（太陽赤緯），時(shí)間（時(shí)角），求解經(jīng)度緯度。關(guān)鍵詞：天球坐標(biāo)系物理量演繹分析matlab數(shù)據(jù)擬合分析二元方程組近似窮舉法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換思想1.問題重述與分析如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。建立影子長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用你們建立的模型畫出2015年10月22日北京時(shí)間9:00-15:00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長(zhǎng)度的變化曲線。分析：模型的參數(shù)有經(jīng)度（地方時(shí)），緯度，日期（太陽赤緯）如果能夠根據(jù)這三個(gè)變量建立相關(guān)模型，則地球上任意地點(diǎn)任意時(shí)刻的物體影子的形狀和方位都能夠確定根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)。將你們的模型應(yīng)用于附件1的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)。分析：這屬于一個(gè)模型的逆過程，根據(jù)已經(jīng)得到的影子的軌跡形狀、日期來推斷地點(diǎn)根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將你們的模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。分析：第三問與第二問的不同在于第二問有具體的日期，而第三問中并沒有具體的日期這就為求解帶來了一定的不確定性和難度4．（1）附件4為一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，并且已通過某種方式估計(jì)出直桿的高度為2米。請(qǐng)建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)。（2）如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)視頻確定出拍攝地點(diǎn)與日期？分析：根據(jù)視頻提取某一時(shí)刻的影子的長(zhǎng)度，視角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，方向的確定都是值得分析的地方2.模型約定與假設(shè)本文采用如下假定：1．太陽光線視為平行光2．研究地面上的桿子的時(shí)候地面視為平的3．一年365天一天24h南北回歸線緯度為23°26′4.本文采用天球坐標(biāo)系5.宏觀上設(shè)地球?yàn)楣饣瑯?biāo)準(zhǔn)球體不考慮大氣層折射影響6．?dāng)?shù)據(jù)中的時(shí)間在處理的時(shí)候都應(yīng)該處理成當(dāng)?shù)氐牡胤綍r(shí)7.地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)都是勻速運(yùn)動(dòng)，其中，公轉(zhuǎn)為圓形軌道3.總體模型及相關(guān)概念建立1）地平坐標(biāo)系（天球坐標(biāo)系之一）過觀測(cè)者O(天球中心)的鉛垂線﹐延伸后與天球交于兩點(diǎn)﹐朝上的一點(diǎn)Z稱為天頂﹐朝下的一點(diǎn)Z’稱為天底（右下圖）過天頂Z和天體作一垂直圈﹐它與地平圈交于垂足D點(diǎn)﹐則天體在地平坐標(biāo)系中的第一坐標(biāo)就是大圓弧D或極距Z。D=h稱為地平緯度﹐又稱地平高度﹐簡(jiǎn)稱高度﹔而Z=稱為天頂距。地平高度也可以用平面角OD來量度﹐而天頂距也可以用平面角OZ來量度。天球上與地平圈相平行的小圓稱為地平緯圈﹐也稱平行圈。同一地平緯圈上任意點(diǎn)的地平高度都是相同的﹐因此可以稱為等高圈。南點(diǎn)S與垂足D之間的大圓弧SD=a﹐是地平坐標(biāo)系中的第二坐標(biāo)﹐稱為地平經(jīng)度或天文方位角﹐簡(jiǎn)稱方位角。方位角也可以用平面角SOD來量度﹐天文學(xué)中習(xí)慣從南點(diǎn)起按順時(shí)針方向量度。以地平圈為基圈﹑子午圈為主圈﹑南點(diǎn)為主點(diǎn)的坐標(biāo)系稱為地平坐標(biāo)系。由于周日視運(yùn)動(dòng)﹐天體的地平坐標(biāo)不斷發(fā)生變化。另一方面﹐對(duì)不同的觀測(cè)者﹐由于鉛垂線方向的不同﹐就有不同的地平坐標(biāo)系﹐同一天體也就有不同的地平坐標(biāo)?！?】2）首先為了定義闡釋諸多物理量，我們可以建立一個(gè)以觀測(cè)者為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，將地球視為一個(gè)完美的球體，在觀察者的位置我們可以做一個(gè)切面，記為H，y軸經(jīng)過此面，y軸亦即東西方向，而在此平面內(nèi)的過觀察者的與y軸垂直的直線方向即正南正北，正北方向可以記為p，XOY平面為與赤道面平行的平面，太陽光的方向用l來表示，l與xoy平面的交角記為δ，而O-Z軸的方向，正是地球極軸指向。由地理概念易知，Ω（ω）是時(shí)角。以上都是為了求解太陽的高度角和方位角設(shè)置的參變量?！?】3）δ（太陽赤緯）的計(jì)算選取12月22日為基準(zhǔn)點(diǎn)，從這一天起到以后某一天，地球在其公轉(zhuǎn)軌道上上走過一個(gè)轉(zhuǎn)角，這個(gè)轉(zhuǎn)角的大小記為α。其中由地理學(xué)知識(shí)容易知道，12月22日這一天太陽赤緯為南緯23°26′將360°365等分，易得α的計(jì)算公式α=0.9863（d2-d1）其中d1是12月22日的日期數(shù)，d2-d1的整體含義是待求日期與冬至日的日期差。【3】4）查資料得太陽赤緯δsinδ=0.39795cos[0.98563(n-173)]（n為此時(shí)與1月1日距離的天數(shù)）【4】5）時(shí)角由地理學(xué)知識(shí)，Ω=15*T+k（其中T為格林尼治時(shí)間，二十四小時(shí)制，k為觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)間，東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)）【5】6）太陽高度角由圖片易知，太陽高度角即為向量n和向量l的夾角的余角，地理意義上即為太陽光線與地平面的夾角。如圖平面過y軸，平面與oz軸的夾角為φ，由解析幾何的知識(shí)可以知道平面H在空間中的單位法向量的表達(dá)式為=（cosφ,0,sinφ）,根據(jù)太陽的直射緯度（太陽赤緯）以及視角Ω可以得到單位向量=（cosΩcosδ,sinΩsinδ,sinδ），設(shè)太陽高度角為h由余弦公式可以知道sinh=cos,綜合可以知道sinh=cosΩcosφcosδ+sinφsinδ【6】7)方位角的定義：太陽光的單位向量在地平面上的投影線與正南方向的射線，按照從正南方向順時(shí)針到投影線的順序所構(gòu)成的角成為方位角。逆時(shí)針為負(fù)數(shù),順時(shí)針為正.太陽的方位角A公式經(jīng)過推導(dǎo)可知是【7】若規(guī)定東西方向?yàn)閤方向則，南北方向?yàn)閥方向，則tanA=x/y從而,太陽下，竹竿影子的端點(diǎn)關(guān)于一系列參數(shù)的方程就得到了，為接下來的一些工作奠定了基礎(chǔ)。4．具體模型建立與求解4.1第一問建模與求解分析：第一問當(dāng)中，確定太陽長(zhǎng)度的變化曲線即確定太陽影子長(zhǎng)度和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，利用高度角、桿長(zhǎng)、影子長(zhǎng)度的關(guān)系，將求解影子長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成求高度角，通過太陽赤緯，地理緯度換算，時(shí)角換算來得到太陽高度角隨時(shí)間的變化關(guān)系，進(jìn)而求出影長(zhǎng)的變化，同時(shí)給出了，影子變化的實(shí)際軌跡圖，非常直觀。如圖，在被投影物體長(zhǎng)度一定的情況下，影子長(zhǎng)度的變化主要取決于夾角A的值，而夾角A與太陽高度角B相等，于是，決定影子長(zhǎng)度的唯一因素就是太陽高度角。而太陽高度角主要由三個(gè)因素影響。1.太陽赤緯。2.地理緯度。3.地方時(shí)。三個(gè)因素的求解方法：1.太陽赤緯。太陽赤緯的變化是由于地球公轉(zhuǎn)所引起的，因此，將公轉(zhuǎn)的一周365等分，并得到此時(shí)與12月22日的差值天數(shù)，可以計(jì)算出此時(shí)的公轉(zhuǎn)角=0.9863d,在通過三角關(guān)系，可得到太陽赤緯與公轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系為：sin=-sin23.5cos=-0.39795cos,以上是我們的初步想法。而為了方便起見，我們引用他人的資料得：sinδ=0.39795cos[0.98563(n-173)]（n為此時(shí)與1月1日距離的天數(shù)）2.地理緯度。給定的坐標(biāo)，無須計(jì)算。3.地方時(shí)與北京時(shí)間的換算。由于經(jīng)度的不同，每個(gè)地區(qū)的地方時(shí)有差異，而北京時(shí)間較為普遍，因此，我們需要通過給定的北京時(shí)間來進(jìn)行當(dāng)?shù)氐胤綍r(shí)的換算。地球自轉(zhuǎn)平均1度需要4分鐘，因此，換算成地方時(shí)只需要計(jì)算與120度地區(qū)相差的度數(shù)即可。通過地方時(shí)，我們可以確定時(shí)角，即以12時(shí)為0時(shí)角，每小時(shí)變化360/24=15度。已知上述的三個(gè)因素，我們可以通過空間向量中夾角公式，得出太陽高度角的表達(dá)式：sinh=costcosφcosδ+sinφsinδ（h為太陽高度角，t為時(shí)角，δ為太陽赤緯，φ為地理緯度），通過太陽高度角，我們可以進(jìn)而通過三角函數(shù)求解影子的長(zhǎng)度。通過上述分析，我們可以用matlab實(shí)現(xiàn)此問題，并得到實(shí)現(xiàn)此類問題的程序，以題目中要求的數(shù)據(jù)為例，我們計(jì)算太陽赤緯，根據(jù)公式需要用到當(dāng)前日期與元旦的差值換算緯度根據(jù)經(jīng)度求與北京的時(shí)間差求解地方時(shí)換算成時(shí)角求解太陽高度角計(jì)算影子長(zhǎng)度做出圖線程序參見程序1得到的圖線如圖所示：注意，此處的時(shí)間是北京時(shí)間，而并不是地方時(shí)間，所以對(duì)于地方時(shí)來說，時(shí)間并不是關(guān)于正午對(duì)稱的，所以得到的圖像并不對(duì)稱，但是顯然，圖像的最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間正是以北京時(shí)間來表示的當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)間，為12：14左右。更進(jìn)一步，可以得到影子的軌跡圖，如下：竹竿影子的軌跡圖4.2第二問建模與求解分析：第二問的處理思路是將經(jīng)度、緯度的求解分開。對(duì)于經(jīng)度，采用matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)多項(xiàng)式擬合的方法，得出二次曲線，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)卣绲谋本r(shí)間，通過兩個(gè)正午時(shí)間差的換算，得到當(dāng)?shù)氐慕?jīng)度。對(duì)于緯度，通過高度角的余弦公式求解。這里如果運(yùn)用方程組的思想的話，只需要一個(gè)點(diǎn)（正午以外）即可解決，因?yàn)榧由掀渌锢砹恐g的制約關(guān)系，剛好可以解決。經(jīng)度的求算：首先,通過坐標(biāo)，可以算得影子的長(zhǎng)度（），再根據(jù)長(zhǎng)度與時(shí)間的點(diǎn)，進(jìn)行擬合，由于函數(shù)曲線先減后增，考慮二次函數(shù)擬合，用matlab擬合得到多項(xiàng)式為：y=0.1489*x^2-3.7519*x+24.1275現(xiàn)在，將此多項(xiàng)式處理，求得最小值時(shí)x的值（即正午的北京時(shí)間）;12.5987于是，在北京時(shí)間12.5987時(shí)，當(dāng)?shù)剡_(dá)到正午。通過時(shí)差換算，可算出當(dāng)?shù)亟?jīng)度：(12-12.5987)*60/4+120=111.0195即經(jīng)度為東經(jīng)111.02度詳見程序2、3、42.緯度的求算：首先計(jì)算太陽赤緯a=asin(0.39795*cos(0.98563*(n-173)))之后從給出的數(shù)據(jù)中取出一組x=1.7337y=0.6013;得到方位角A=atan(x/y)算出此時(shí)的時(shí)角t=(15+36/60-12.5987)*15*pi/180進(jìn)而帶入公式求得高度角的余弦，進(jìn)而求出能夠使公式成立的緯度φ=30.57即北緯30.57度綜上，可以得到最終答案即東經(jīng)111.0195°北緯30.57°4.3第三問的建模與求解分析：第三問，兩組數(shù)據(jù)較第二問而言，缺少了時(shí)間，即太陽赤緯的沒法直接求算，這里如果用方程組的思想，從給出的數(shù)據(jù)當(dāng)中取兩個(gè)點(diǎn)（非正午，非關(guān)于正午對(duì)稱）即可解決，而由于得出的方程比較復(fù)雜，所以我們采取另外一種簡(jiǎn)單有效，精度稍低的方式——窮舉法，對(duì)緯度和日期（太陽赤緯）進(jìn)行窮舉，從當(dāng)中挑選出最接近正確答案的一組，由此得到答案。建模的思路如下先求經(jīng)度將數(shù)據(jù)導(dǎo)入matlab進(jìn)行擬合（二次擬合）根據(jù)橫縱坐標(biāo)求長(zhǎng)度，對(duì)時(shí)間進(jìn)行換算對(duì)時(shí)間和影子長(zhǎng)度兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行擬合求出二次函數(shù)的系數(shù)求出影子最短的時(shí)候?qū)?yīng)的時(shí)間和長(zhǎng)度通過時(shí)差換算得到當(dāng)?shù)氐慕?jīng)度(12-15.2141)*60/4+120=71.7885即E71.7885°同理得到附件三中經(jīng)度為E108.9405°接下來進(jìn)行緯度和日期的計(jì)算，緯度和日期可以根據(jù)太陽方位角和高度角公式，計(jì)算得到。首先考慮然而以上計(jì)算方法較為復(fù)雜且容易出錯(cuò)，此處考慮用窮舉法來計(jì)算。由于一年有365天，因此從元旦開始，考慮365個(gè)數(shù)，進(jìn)行窮舉循環(huán)，從而計(jì)算出太陽赤煒，如下：d=asin(0.39795*cos(0.98563*(i-173)*pi/180))（i為1到365的整數(shù)）由于緯度范圍有限（南北90度），考慮北緯從0-pi/2之間9000個(gè)值。取一組數(shù)據(jù)T=13:29 x=-0.8215 y=0.4001來進(jìn)行窮舉計(jì)算。此時(shí)的時(shí)角為((13+29/60)-15.2141)*15*pi/180方位角可以由坐標(biāo)值得到，為arctan（-0.8215/0.4001）因此，可以用如下方法。對(duì)從i=1:365的每一天，從角度為零到九十度開始掃描，尋求能夠使目標(biāo)表達(dá)式sqrt(1-(cos(a)*cos(d)*cos(-0.4531)+sin(a)*sin(d))^2)-cos(d)*sin(-0.4531)/(-0.8990)最小的解。得到的結(jié)果x=64282y=599599同理，第三組數(shù)據(jù)也可有如下方法算得。以這一組數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算T=13:39 X=1.7589 Y=3.2907x=95251y=32573257即第三問附件二時(shí)間為3月5日或10月9日，坐標(biāo)為東經(jīng)71.79度，北緯5.99度同理，也可能為9月5日或4月9日，坐標(biāo)為東經(jīng)71.79度，南緯5.99度第三問附件三時(shí)間為4月5日或9月8日，坐標(biāo)為東經(jīng)108.94度，北緯32.57度同理也可以為10月5日或3月8日，坐標(biāo)為東經(jīng)108.94度，南緯32.57度。程序參見程序5、6、74.4第四問的建模和求解第四問是前面幾問的綜合應(yīng)用，而第四問與前面幾問的區(qū)別在于，第四問需要從視頻中提取坐標(biāo)信息，進(jìn)而歸結(jié)成第三問的問題。為了縮小研究范圍，從視頻中顯示的植被，日期，建筑風(fēng)格，人種等等可以判斷應(yīng)該是北半球的亞洲國(guó)家。至于從視頻中提取坐標(biāo)等信息的方法，限于時(shí)間和知識(shí)，在此不能完美解答?？傊谒膯栐谒悸飞暇褪峭ㄟ^視角，坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，將圖中信息轉(zhuǎn)化成前面的坐標(biāo)等，進(jìn)而求解。5.誤差分析誤差來源：第一問：1.太陽赤煒計(jì)算公式本身誤差2．取點(diǎn)作圖，樣本容量大小所引起的不足，樣本容量應(yīng)該說足夠本題的較精確求解，由于公式可靠，容量較大，所以第一問誤差并不大第二問：1.數(shù)據(jù)擬合過程產(chǎn)生的誤差，數(shù)據(jù)是一些離散的點(diǎn)，離散的點(diǎn)對(duì)于連續(xù)的函數(shù)來說，只能算是一種大致的模擬，所以點(diǎn)越多，間距越小越精細(xì)，反之，越粗糙2.數(shù)據(jù)精度產(chǎn)生的誤差，數(shù)據(jù)精確到小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)直接影響了題目的求解，精確位數(shù)越高，求解的模糊程度越小第三問：1.參數(shù)擬合誤差，同第二問2.太陽赤緯公式誤差，太陽赤緯公式據(jù)查閱有多種計(jì)算方法，在這里采用的是比較廣泛應(yīng)用的一種3．窮舉法本身的步長(zhǎng)大小所帶來的誤差，窮舉對(duì)于連續(xù)的函數(shù)來說也只能是在函數(shù)上取點(diǎn)，而不能做到遍歷每個(gè)點(diǎn)，所以取得越多越細(xì)，對(duì)真相的還原越有利第四問：圖像處理，端點(diǎn)捕捉的誤差，圖像本身的處理不當(dāng)，會(huì)造成誤差的累積優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：本文所用的算法，基本上都能歐找到邏輯性連貫性比較強(qiáng)的理論依據(jù)，所以對(duì)于求出來的數(shù)據(jù)，如果不是計(jì)算錯(cuò)誤，那么邏輯上應(yīng)該都是的，而且依據(jù)這樣的理論，算得結(jié)果比較精確缺點(diǎn)：本次建模，并沒有采用特別直觀，容易理解的建模方法，所以，算法的直觀性較弱，而且因?yàn)槠渲胁捎昧艘徊糠掷碚撏茖?dǎo)的過程，幾何性求解的內(nèi)容偏少并不簡(jiǎn)便7.總結(jié)本文力圖在視頻分析中根據(jù)太陽影子的軌跡判斷日期和地點(diǎn)的算法進(jìn)行說明，已經(jīng)基本上能夠在給定坐標(biāo)而沒有日期地點(diǎn)的情況下判斷日期地點(diǎn)，不足之處在于對(duì)實(shí)際視頻的信息獲取。8.參考文獻(xiàn)【1】百度百科天球坐標(biāo)系/link?url=_vjfNSm0HMhV9p7AW1prxvzRpPT6uIPRaVslb-dR9F2wC4xfZDfxqj