【名校競賽】屆八年級全國數學競賽賽前專項訓練：命題及三角形邊角不等關系(含詳解)

#/9初中數學競賽專項訓練（命題及三角形邊角不等關系）一、選擇題：1、如圖1、如圖8—1,已知AB=10,P是線段AB上任意一點在AB的同側分別以AP和PB為邊作兩個等邊三角形APC和BP。，則線段CD的長度的最小值是A.4B.5C.6D.A.4B.5C.6D.5(<5-1)2、如圖8—2四邊形ABCD中NA=60°,NB=ZD=90°,AD=8,AB=7,則BC+CD等于（ ）6、.356、.35J34v'33v'33、如圖8—3在梯形ABCD中，AD〃BC3、如圖8—3在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3BC=9,AB=6CD=4,若EF//BC,且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，則EF的長為D.B.3339C. ）154、已知4、已知^ABC的三個內角為A、B、C且a=A+B,B=C+A,Y=C+B，則a、B、Y中，銳角的個數最多為A.1B.2C.3D.0A.1B.2C.3D.0那么折疊后DEDC若兩個三角圖8那么折疊后DEDC若兩個三角圖8—4

其中a>b,5、如圖8—4,矩形ABCD的長AD=9cm，寬AB=3cm，將其折疊，使點D與點B重合的長和折痕EF的長分別為A.4cmv10cm B.5cm<10cmC.4cm2、.3cm D.5cm2%3cm6、一個三角形的三邊長分別為a,a,b，另一個三角形的三邊長分別為a形的最小內角相等，則色的值等于A.0B.1C.3D.57A.0B.1C.3D.518、若函數y=kx(k>0)與函數y=—的圖象相交于A,C兩點，AB垂直x軸于B，則△ABC的面積為xTOC\o"1-5"\h\z( )A.1 B.2 C.k D.k2二、填空題\o"CurrentDocument" 一 .,a+b 一1、若四邊形的一組對邊中點的連線的長為d，另一組對邊的長分別為a,b，則d與初一的大小關系是—2、如圖8—5,AA，、BB，分別是/EAB、/DBC的平分線，若AA'=BB'=AB，則NBAC的度數為圖8－6圖8－63、已知五條線段長度分別是3、5、7、9、11,將其中不同的三個數組成三數組,比如(3、5、7)、(5、9、11)……問有多少組中的三個數恰好構成一個三角形的三條邊的長4、如圖8—6,P是矩形ABCD內一點，若PA=3,PB=4,PC=5,則PD=5、如圖8—7,甲樓樓高16米,乙樓座落在甲樓的正北面,已知當地冬至中午12時太陽光線與水平面的夾角為30°,此時求①如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？②如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應當是米。6、如圖8—8,在4ABC中，NABC=60°,點P是4ABC內的一點，使得NAPB=NBPC=NCPA，且PA=8,PC=6,則PB=三、解答題1、如圖8—9,AD是^ABC中BC邊上的中線，求證：AD<1(AB+AC)圖8—92、已知一個三角形的周長為P，問這個三角形的最大邊長度在哪個范圍內變化?3、如圖8—10,在Rt△ABC中，/ACB=90°,CD是角平分線，DE〃BC交AC于點E,DF〃AC交BC于點F。求證：①四邊形CEDF是正方形。②CD2=2AE?BFEFEF圖8—104、從1、2、3、4……、2004中任選k個數，使所選的k個數中一定可以找到能構成三角形邊長的三個數（這里要求三角形三邊長互不相等），試問滿足條件的k的最小值是多少？參考答案AEPFB2、3AEPFB2、3、一、選擇題1、如圖過C作CE±AD于E，過D作DF±PB于F,過D作DG±CE于G。顯然DG=EF=1AB=5,CD>DG,當P為AB中點時，有CD=DG=5,所以CD長度的最小值是5。如圖延長AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE=16,DE=8<3,于是BE=AE—AB=9,在Rt△BEC中，可求得BC=3<3,CE=6\'3,CD=DE—CE=2j3BC+CD=5高。由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF4、5、1??.AD+AE+FD=EB+BC+CF=-(AD+AB+BC+CD)=11乙AEDFAEDF設 = =k,AEEBFCAD+AE+FD=3+EBkFCAB=6k—,DF=-^—CDk+1k+14k 13k+3k+113k+3「二11k+14k

k+1解得k=4作AH〃CD,AH交BC于H，交EF于G,則GF=HC=AD=3,BH=BC—CH=9—3=6EGAEBHAB4 24 一— 24一39bBH二一??.EF=EG+GF=——+3=一假設a、B、y三個角都是銳角，即a<90°,B<90°,y<90°,也就是A+B<90°,B+C<90°,C+A<90°。V2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°與A+B+C=180°矛盾。故a、B、Y不可能都是銳角，假設a、B、y中有兩個銳角，不妨設a、B是銳角，那么有A+B<90°,C+A<90°,，A+(A+B+C)<180°,即A+180°<180°,A<0°這也不可能，所以a、B、Y中至多只有一個銳角，如A=20°,B=30°,C=130°,a=50°,選A。折疊后，DE=BE，設DE=%，則AE=9—%，在Rt△ABC中，AB2+AE2=BE2,即32+(9—X)2=X2,解得％=5,連結BD交EF于。，則EO=FO,BO=DO^ = 3—BD=<92+32=3\：10??.DO=-<1021――― ■ 3― <10在Rt△DOE中，EO=DE22—DO2=：52—（_\；10）2= ef=2 2’10。選B。6、設^ABC中，AB=AC=a,BC=b，如圖D是AB上一點，有AD=b，因a>b,故NA是^ABC的最小角，設NA=。，則以b,b,a為三邊之三角形的最小角亦為。，從而它與△ABC全等，所以DC=b，/ACD=。，因有公共底角NB，所BCBDba—ba ,八以有等腰“小。等腰4CBD,從而得AB二無‘即廠—'令X=b，即得方程X27-1二0，a%'5+1解得X==—~—。選B。b27、C。由于任意凸多邊形的所有外角之和都是360°,故外角中鈍角的個數不能超過3個，又因為內角與外角互補，因此，內角中銳角最多不能超過3個，實際上，容易構造出內角中有三個銳角的凸10邊形。118、A。設點A的坐標為（x,y），則xy=1，故aABO的面積為萬沖二萬，又因為^ABO與^CBO同底等高，因此△ABC的面積=2x4ABO的面積=1。二、填空題1、如圖設四邊形ABCD的一組對邊AB和CD的中點分別為M、N,MN=d, D另一組對邊是AD和BC,其長度分別為a、b，連結BD,設P是BD的Ar^^X\中點，連結MP、PN,則MP=2,NP=2，顯然恒有d<a4b，當M?丁/一B CAD//BC,由平行線等分線段定理知M、N、P三點共線，此時有,a+b^a+b 一,,a+b a+b、八d= ,所以d與的大小關系是d< （或一廠>d）。2、12°。設NBAC的度數為x,VAB=BB'ANB'BD=2x,NCBD=4x1VAB=AA'ANAA'B=NABA'=NCBD=4xVNA'AB=-（180-X）1A-（180。一x）+4x+4x=180。，于是可解出x=12°。3、以3,5,7,9,11構成的三數組不難列舉出共有10組,它們是（3,5,7）、（3,5,9）、（3,5,11）、（3,7,9）、（3,7,11）、（3,9,11）、（5,7,9）、（5,7,11）、（5,9,11）、（7,9,11）。由3+5<9,3+5<11,3+7<11可以判定（3,5,9）、（3,5,11）、（3,7,11）這三組不能構成三角形的邊長,因此共有7個數組構成三角形三邊長。4、過P作AB的平行線分別交DA、BC于E、F,過P作BC的平行線分別交AB、CD于G、H。

設AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,AP2=a2+c2,CP2=b2+d2,則BP2=b2+c2, DP2—d2+a2于是AP2+CP2=BP2+DP2,故DP2=AP2+CP2—BP2=32+52—42=18,DP=3<25、①設冬天太陽最低時，甲樓最高處A點的影子落在乙樓的C處，那么圖中CD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高度，設CE±AB于點E，那么在^AEC中，/AEC=90°,NACE=30°,EC=20米。3—B D所以AE=EC-tanZACE=20-tan30P=20義丁氏11.6（米）。B DCD=EB=AB—AE=16-11.6=4.4（米）②設點A的影子落到地面上某一點C,則在△ABC中，/ACB=30°,AB=16米，所以BC=AB-cotZACB=16X忑227.7（米）。所以要使甲樓的影子不影響乙樓，那么乙樓距離甲樓至少要27.7米。6、提示：由題意NAPB=ZBPC=ZCPA=120°,設NPBC=a，/ABC=60°則NABP=60°—a,?'.NBAP=NPBC=a,APBP??△ABP^ABPC, =——，BP2=AP-PCBPPCBP=APP-PC=v48=4v3三、解答題1、證明：如圖延長AD至E，使AD=DE，連結BE?！窧D=DC,AD=DE,NADC=NEDB??△ACD必EBD???AC=BE在^ABE中，AE<AB+BE,即2AD<AB+AC2、答案提示：在^ABC中，不妨設a<b<c a+b>cna+b+c>2c即p>2cnc<^~,乙p p pp另一方面c>a且c>bn2c>a+b/.3cNa+b+c=pnc>—。3、證明：①?:/ACB=90°,DE〃BC,DF〃AC,ADE±AC,DE±BC3、從而/ECF=ZDEC=ZDFC=90°。VCD是角平分線，DE=DF,即知四邊形CEDF是正方形。②在Rt△AED和Rt△DFB中， VDE〃BCAZADE=ZB：.Rt△AEDsRt△DFBAEDEA= ，即DE?DF=AE?BFVCD=6DE=、2DF,DFBFACD2=2DDE?v2DF=2DE?DF=2AE?BF4、解：這一問題等價于在1,2,3,……，2004中選k-1個數，使其中任意三個數都不能成為三邊互不相