高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十一章 計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列第3課時 二項(xiàng)式定理

考情分析考點(diǎn)新知近幾年高考二項(xiàng)式定理在理科加試部分考查，以后高考將會考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實(shí)際問題的能力，難度將不太大．①能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理；會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡單問題.②會用二項(xiàng)展開式以及展開式的通項(xiàng)，特別要注意有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.1.(選修23P32練習(xí)5改編)在(x－eq\r(3))10的展開式中，x6的系數(shù)是________．答案：1890解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－r(－eq\r(3))r，令10－r＝6，r＝4，T5＝9Ceq\o\al(4,10)x6＝1890x6.2.(選修23P32練習(xí)6改編)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x2)))12的展開式的常數(shù)項(xiàng)是________．答案：495解析：展開式中，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,12)x12－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,12)x12－3r，當(dāng)r＝4時，T5＝Ceq\o\al(4,12)＝495為常數(shù)項(xiàng)．3.(選修23P35習(xí)題2改編)若Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,n)＝363，則自然數(shù)n＝________．答案：13解析：Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,n)＝363＋1，Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,n)＝364，Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,n)＝…＝Ceq\o\al(3,n＋1)＝364，n＝13.4.(選修23P36習(xí)題12改編)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝________．答案：－2解析：設(shè)f(x)＝(1－2x)7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1，令x＝0，得a0＝1，a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－2.5.(選修23P35習(xí)題10改編)在(x＋y)n的展開式中，若第七項(xiàng)系數(shù)最大，則n的值可能為________．答案：11，12，13解析：分三種情況：①若僅T7系數(shù)最大，則共有13項(xiàng)，n＝12；②若T7與T6系數(shù)相等且最大，則共有12項(xiàng)，n＝11；③若T7與T8系數(shù)相等且最大，則共有14項(xiàng)，n＝13，所以n的值可能等于11，12，13.1.二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N)．這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫做二項(xiàng)式展開式的第r＋1項(xiàng)(通項(xiàng))，用Tr＋1表示，即展開式的第r＋1項(xiàng)；Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr．2.二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．(2)如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大．(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(4)二項(xiàng)式展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＝2n－1．[備課札記]

題型1二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)例1如果eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x3)))eq\s\up12(n)的展開式中，第四項(xiàng)和第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求：(1)展開式的中間項(xiàng)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2\r(4,x))))eq\s\up12(n－1)展開式中所有的有理項(xiàng)．解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x3)))eq\s\up12(n)展開式中，第四項(xiàng)和第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是Ceq\o\al(3,n)，Ceq\o\al(6,n)，由Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(6,n)，得n＝9，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x3)))eq\s\up12(9)展開式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，即T5＝(－1)4Ceq\o\al(4,9)(x－3)4(x2)5＝eq\f(126,x2)，T6＝(－1)5Ceq\o\al(5,9)(x－3)5(x2)4＝－eq\f(126,x7).(2)通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,2\r(4,x))))eq\s\up12(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(r)Ceq\o\al(r,8)xeq\s\up6(\f(16－3r,4))(r＝0，1，2，…，8)，為使Tr＋1為有理項(xiàng)，必須r是4的倍數(shù)，所以r＝0，4，8，共有三個有理項(xiàng)，分別是T1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(0)Ceq\o\al(0,8)x4＝x4，T5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(4)Ceq\o\al(4,8)x＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(8)Ceq\o\al(8,8)x－2＝eq\f(1,256x2).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)(1)若(1＋x)n的展開式中，x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n；(2)已知(ax＋1)7(a≠0)的展開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求a；(3)已知(2x＋xlgx)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120，求x.解：(1)Ceq\o\al(3,n)＝7Ceq\o\al(1,n)，eq\f(n（n－1）（n－2）,6)＝7n，即n2－3n－40＝0.由n∈N*，得n＝8.(2)Ceq\o\al(5,7)a2＋Ceq\o\al(3,7)a4＝2Ceq\o\al(4,7)a3，21a2＋35a4＝70a3，a≠0，得5a2－10a＋3＝0a＝1±eq\f(\r(10),5).(3)Ceq\o\al(4,8)(2x)4(xlgx)4＝1120，x4(1＋lgx)＝1，所以x＝1，或lgx＝－1，x＝eq\f(1,10).題型2二項(xiàng)式系數(shù)例2已知(xeq\s\up6(\f(2,3))＋3x2)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求：(1)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解：令x＝1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋3)n＝22n.又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，∴22n－2n＝992，n＝5.(1)∵n＝5，展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3、4兩項(xiàng)，∴T3＝Ceq\o\al(2,5)(xeq\s\up6(\f(2,3)))3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)(xeq\s\up6(\f(2,3)))2(3x2)3＝270xeq\s\up6(\f(22,3)).(2)設(shè)展開式中第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(xeq\s\up6(\f(2,3)))5－r(3x2)r＝3rCeq\o\al(r,5)xeq\s\up6(\f(10＋4r,3))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3rCeq\o\al(r,5)≥3r－1Ceq\o\al(r－1,5)，,3rCeq\o\al(r,5)≥3r＋1Ceq\o\al(r＋1,5)，))eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∴r＝4，即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T5＝Ceq\o\al(4,5)(xeq\s\up6(\f(2,3)))(3x2)4＝405xeq\s\up6(\f(26,3)).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(n)的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.求：(1)a5的值；(2)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan的值；(3)ai(i＝0，1，2，…，n)的最大值．解：(1)由題設(shè)，得Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)×Ceq\o\al(2,n)＝2×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,n)，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍)．Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(r)，令8－r＝5r＝3，所以a5＝7.(2)在等式的兩邊取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝eq\f(1,256).(3)設(shè)第r＋1的系數(shù)最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2r)Ceq\o\al(r,8)≥\f(1,2r＋1)Ceq\o\al(r＋1,8)，,\f(1,2r)Ceq\o\al(r,8)≥\f(1,2r－1)Ceq\o\al(r－1,8)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,8－r)≥\f(1,2（r＋1）)，,\f(1,2r)≥\f(1,9－r)，))解得r＝2或r＝3.所以ai系數(shù)最大值為7.題型3二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例3已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和比(3a＋2b)7展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和大128，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．解：2n－27＝128，n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))8的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(x2)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)x16－3r，當(dāng)r＝4時，展開式中的系數(shù)最大，即T5＝70x4為展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；當(dāng)r＝3，或5時，展開式中的系數(shù)最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x為展開式中的系數(shù)最小的項(xiàng)．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知(2－eq\r(3)x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，其中a0，a1，a2…，a50是常數(shù)，計(jì)算(a0＋a2＋a4＋…＋a50)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a49)2.解：設(shè)f(x)＝(2－eq\r(3)x)50，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a50＝(2－eq\r(3))50，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a50＝(2＋eq\r(3))50，(a0＋a2＋a4＋…＋a50)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a49)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a50)(a0－a1＋a2－…＋a50)＝(2－eq\r(3))50(2＋eq\r(3))50＝1.1.(2013·新課標(biāo)Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝________．答案：－1解析：已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＋a·Ceq\o\al(1,5)＝5，解得a＝－1.2.(2013·天津理)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．答案：15解析：展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－eq\f(3,2)k(－1)k.由6－eq\f(3,2)k＝0，得k＝4.所以常數(shù)項(xiàng)為T4＋1＝Ceq\o\al(4,6)(－1)4＝15.3.(2013·大綱版理)(1＋x)3(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是________．答案：18解析：(x＋1)3的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)xr，令r＝2得到展開式中x2的系數(shù)是Ceq\o\al(2,3)＝3.(1＋y)4的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)yr，令r＝2得到展開式中y2的系數(shù)是Ceq\o\al(2,4)＝6，(1＋x)3(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是3×6＝18.4.(2013·遼寧理)使得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N＋)的展開式中含有的常數(shù)項(xiàng)最小的n為________．答案：5解析：展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(3x)n－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,n)3n－kxn－eq\f(5k,2).由n－eq\f(5k,2)＝0，得n＝eq\f(5k,2)，所以當(dāng)k＝2時，n有最小值5.1.若n是奇數(shù)，則7n＋Ceq\o\al(1,n)7n－1＋Ceq\o\al(2,n)7n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)7被9除的余數(shù)是________．答案：7解析：原式＝(7＋1)n－1＝(9－1)n－1＝9k－2＝9k′＋7(k和k′均為正整數(shù))．2.0.9915的近似值是___________．(精確到0.001)答案：0.956解析：0.9915＝(1－0.009)5＝1－5×0.009＋10×(0.009)2－…≈1－0.045＋0.00081≈0.956.3.用二次項(xiàng)定理證明32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N)．證明：32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)82＋Ceq\o\al(n,n＋1)8＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1)－8n－9＝64(Ceq\o