大學物理答案第15章

第十五章機械振動15-1一簡諧振動的振幅，周期T=0.5s,初相．試寫出振動方程；并作出該振動的ｘ-t，v-t，a-t曲線．分析振動方程的根本形式為．通過作曲線,進一步了解v、a表達式的意義以及x、v、a間的相位關(guān)系．解振動方程為v/10-2m/s8π.....t/s.00.250.5-8π〔b〕x/10-2m.....t/s.00.250.5-2〔a〕ｘ-t，v-t，a-t曲線分別如圖15-1〔a〕、〔b〕和〔c〕所示．a(chǎn)/10-2m/s232π2......t/s.00.250.5-32π2〔c〕圖15-115-2一彈簧支持的椅子構(gòu)成在太空測量人體失重狀態(tài)下質(zhì)量的裝置——人體稱重器．飛船進入空間軌道時，宇航員坐在椅子上測出振動周期．(1)如為宇航員的質(zhì)量，m為人體稱重器中的有效質(zhì)量(如椅子等)，試證明其中T是振動周期，k是彈簧的勁度系數(shù)；(2)現(xiàn)k=605.6N/m，椅子空著時的振動周期T=0.9015s,求有效質(zhì)量m；(3)在太空，宇航員坐在椅子上,測出振動周期為2.299s,求宇航員在失重狀態(tài)下的質(zhì)量．分析當宇宙飛船在空間軌道上繞地球旋轉(zhuǎn)自由運行時，地球?qū)︼w船及飛船上所有物體的引力就是使它們作圓周軌道運動的向心力，于是飛船及飛船上所有物體如果處于相對靜止狀態(tài)，相互之間就不存在作用力，就不能用地面上通常使用的質(zhì)量或重量測量儀器進行測量．考慮到無外力作用時，彈簧振子振動周期決定于彈簧勁度系數(shù)以及物體質(zhì)量，如果彈簧勁度系數(shù)，通過測量振動周期可測出物體質(zhì)量．解(1)彈簧振子系統(tǒng)振動周期為(1)宇航員的質(zhì)量為(2)椅子空著時，，由(1)式得(3)15-3一質(zhì)量為0.20kg的質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程為x=0.60cos(5t-π/2),其中x以m為單位,t以s為單位．求：(1)質(zhì)點的初速度；(2)質(zhì)點在正向位移一半處所受的力．分析物體振動速度,物體所受恢復力,方向指向平衡位置.解(1)據(jù)，得當t=0時，得v0=3m/s(2)正向最大位移一半處，x=0.30m，所受的力為方向指向平衡位置.15-4一物體沿x軸作簡諧振動,振幅為0.12m,周期為2s,當t=0時,位移為0.06m,且向x軸正方向運動.求(1)該物體的振動方程;(2)t=0.5s時,物體的位置、速度、加速度；〔3〕在x=-0.06m處,且向x軸負方向運動時,物體的速度、加速度，以及物體從這一位置回到平衡位置所需的時間.分析求解振動方程的難點是確定振動物體的初相．初相取決于計時起點t=0時物體的位置和速度．確定初相可用三角函數(shù)法或旋轉(zhuǎn)矢量法．解(1)振幅為A=0.12m，角頻率為rad/s，t=0時初始位置和初速度分別為x0=Acos=0.06〔1〕v0=>0〔2〕從(1)式得Ox圖15-4得從〔2〕式得，所以應取此外，由t=0時初始位置和初速度可以確定其旋轉(zhuǎn)矢量如圖15-4所示，即．振動方程為(2)t=0.5s時，x==0.104mv(3)在=-0.06m處，物體向x軸負向運動時，設，那么m(3)v1<0(4)從(3)式得解得〔n=0,1,2…〕又從(4)式得應取〔n=0,1,2…〕故設回到平衡位置時,那么(5)v2>0(6)從(5)式得或(n=1,2…)從(6)式得<0應取(n=1,2…)回到平衡位置所需時間t0AA-0.12Ox圖15-515-5一個質(zhì)點作簡諧振動,其振動方程為x=0.24cos(πt/2+π/3)m，其中x以m計,t以s計．試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點由初始狀態(tài)運動到x=-0.12m,v<0狀態(tài)所需的最短時間.分析根據(jù)振動方程,初相為，即當=0時旋轉(zhuǎn)矢量A與Ox軸夾角為,當處于x=-0.12m,v<0狀態(tài)時，A與Ox軸夾角為，如圖15-5所示．因此，A沿逆時針方向從位置轉(zhuǎn)到新位置偏轉(zhuǎn)過的最小角度為，轉(zhuǎn)過此角度所需時間即為所求．解如圖15-5所示,時刻的相位為A沿逆時針方向從位置轉(zhuǎn)過角度所需的時間為15-6作簡諧振動的單擺在一個周期內(nèi)的幾個運動狀態(tài)如圖15-6所示.(1)假設以(a)圖所示的狀態(tài)為計時起點；(2)假設以(b)圖所示的狀態(tài)為計時起點，問單擺的初相位和其它各圖所示狀態(tài)的相位各為何值?分析應從此題得出的結(jié)論是:初相與計時起點(即初始條件)有關(guān);相位與與計時起點無關(guān)而與振動物體的瞬時狀態(tài)有關(guān).解(1)以圖(a)狀態(tài)為計時起點，t=0時得，因此對圖(b)有(1)(2)從(1)式得從(2)式得>0所以圖(b)的相位應取同理，對圖(c)對圖(d)(a)(b)(c)(d)θ最大,θ=0,為負最大θ為負最大,θ=0,最大圖15-6(2)以圖(b)狀態(tài)為計時起點，t=0時，有(3)(4)(3)式(4)式聯(lián)立,解得同理，對圖(c)對圖(d)對圖(a)15-7一物塊在水平面上作簡諧振動，振幅為0.1m，在距平衡位置0.06m處速度為0.4m/s，(1)求振動周期；(2)當速度為0.12m/s時,位移為多少?(3)假設有另一物體置于該振動物塊之上，當物塊運動至端點時正好滑動，問摩擦系數(shù)為多大?分析當所討論問題涉及物體正好要滑動的條件時，由于物體尚未滑動，所受摩擦力仍為靜摩擦力，靜摩擦力方向與物體運動趨勢方向相反．解(1)設物塊的振動方程為物塊位于m時,速度v1=0.4m/s,即x1=A=0.06m(1)v1==0.4m/s(2)以上兩式平方相加,代入A=0.1m，解得rad/ss(2)由v2==±0.12得那么位移為x2=0.1=±9.7×10-2mFmaxFf.Oxmx圖15-7(3)物塊運動至端點時正好物體開始滑動，即最大恢復力等于最大靜摩擦力，物塊受力如圖15-7所示，因最大靜摩擦力，最大恢復力，得15-8一個輕彈簧在60N的拉力作用下可伸長30cm,將一物體懸掛在彈簧下端,并在它上面放一小物體,它們的總質(zhì)量為4kg,待其靜止后再把物體向下拉10cm,然后釋放.問(1)此小物體是停在振動物體上還是離開它?(2)如果使放在振動物體上的小物體與振動物體別離,那么振幅A需滿足什么條件?二者在何位置開始別離?FNxmg圖15-8分析根據(jù)胡克定律，由彈簧在外力作用下的形變量可以求出彈簧的勁度系數(shù)．當兩物體脫離接觸時,它們之間的正壓力等于零，以此為條件可以判斷小物體是否停在振動物體上．解(1)根據(jù)胡克定律，得由定義得彈簧、物體和小物體組成一個彈簧振子系統(tǒng)，把物體下拉10cm后釋放，故該彈簧振子的振幅為A=0.1m．設小物體質(zhì)量為m，小物體隨系統(tǒng)一起運動，最大加速度為，小物體受力情況如圖15-8所示，當達最高點時，所受物體的正壓力有最小值，即(1)當A=0.1m時，得即FN>0,因而小物體仍停留在振動物體上．(2)兩物體脫離接觸條件為，代入(1)式得即振幅大于0.196m，兩物體將在平衡位置上方別離，別離的位置即在0.196m處．15-9如圖15-9〔a〕所示，在一個傾角為θ的光滑斜面上，固連一原長為L，勁度系數(shù)為k，質(zhì)量忽略不計的彈簧，彈簧與質(zhì)量為m的重物相連，求重物作簡諧振動的平衡位置和周期．分析平衡位置是系統(tǒng)所受合外力為零的位置.在建立振動方程時，一般都把取平衡位置為坐標原點．放在斜面上的彈簧振子處于靜止狀態(tài)時，物體所受彈簧的彈性力與重力沿斜面向下的分量大小相等，方向相反．kFNFmmg(a)(b)圖15-9解彈簧和物體組成一個彈簧振子系統(tǒng)．物體受力情況如圖15-9〔b〕所示.設在平衡位置彈簧的伸長量為，有解得即處于平衡位置時彈簧長度為.根據(jù)定義，彈簧振子系統(tǒng)作簡諧振動的角頻率為周期為15-10如圖15-10(a)所示，密度計玻璃管的直徑為d，浮在密度為ρ的液體中．假設在豎直方向輕輕推一下，任其自由振動，試證明：假設不計液體的沾滯阻力，密度計的運動是簡諧振動；設密度計的質(zhì)量為m,試求振動周期．分析假設物體運動為簡諧振動，應該具有如下特征：物體所受合外力與位移成正比而方向相反，即加速度與位移成正比而方向相反；或者位移是時間的余弦函數(shù)或正弦函數(shù)．dFBmgx(a)(b)圖15-10解密度計受力分析如圖15-10(b)所示．設密度計截面積為S,當處于平衡狀態(tài)時，設浸入水中局部高度為h,浮力那么為，有(1)取平衡位置為坐標原點，向下為x軸正向，當密度計向下位移為x時，有(2)由(1)和(2)式得即加速度與位移成正比而方向相反，因此運動為簡諧振動，且有15-11如圖15-11，勁度系數(shù)為k的輕彈簧上端與質(zhì)量為m的平板相連，下端與地固連．另一質(zhì)量為的物體，從h高處自由落下，與平板發(fā)生完全非彈性碰撞后一起運動.假設以平板開始運動為計時起點，取向下為坐標正向，求振動的周期，振幅和初相位．分析與m發(fā)生完全非彈性碰撞后一起運動，與輕彈簧組成振動系統(tǒng)，平衡位置是(+m)所受合外力為零的位置，并選取為坐標原點．以發(fā)生碰撞后平板開始運動為計時起點，此時平板m的坐標就是系統(tǒng)的初位移，碰后(+m)的共同速度v0就是系統(tǒng)的初速度，而且可以依據(jù)碰撞中動量守恒求出．解自由下落,以的速度與m發(fā)生完全非彈性碰撞，設碰后+m的共同速度為v0，方向向下，應用動量守恒定律，得mˊhmOx圖15-11v0v0、m和彈簧組成振動系統(tǒng)，設+m所受合外力為零時，彈簧的壓縮量為，此位置是系統(tǒng)的平衡位置，那么有(1)取系統(tǒng)的平衡位置為坐標原點，向下為x軸正向，當+m位移為x時，有(2)由(1)和(2)式得且有取與m相碰的瞬間為振動的初始時刻t=0，有即(3)(4)(3)與(4)式聯(lián)立，得振動的周期和初相位分別為又因在第三象限,那么15-12彈簧下端掛一物體后,彈簧伸長量為m,假設令物體上下振動,(1)求振動周期;(2)使其在平衡位置上方0.1m處由靜止開始運動,求振幅、初相及振動方程.(3)使其在平衡位置以0.8m/s向上的初速度開始運動,求振幅、初相及振動方程.分析計算結(jié)果說明，同一系統(tǒng)在不同初始條件下的振動方程不同．解(1)設掛上物體達平衡時彈簧的伸長量為,根據(jù)胡克定律和平衡條件有由定義得rad/ss(2)如圖15-12所示，取平衡位置為坐標原點,向上為x軸正向.初始條件為：t=0時,x0=0.1mv0=0，即〔1〕〔2〕x圖15-12由(1)和(2)式聯(lián)立解得振動方程為m(3)初始條件為：t=0時，x0=0v0=0.8，即〔3〕〔4〕由(3)和(4)式聯(lián)立解得A=0.08m從(3)式得或從(4)式得所以取振動方程為m15-13如圖15-13〔a〕所示的彈簧,其一端固定在天花板上,另一端掛著質(zhì)量都是1.0kg的兩個物體A和B.當物體靜止時,彈簧伸長量為m,如果物體B突然脫落掉下,不計彈簧質(zhì)量,(1)求物體A的振動周期；(2)假設從物體B脫落時開始計時,求物體A的振幅、初相和振動方程.分析雖然彈簧下懸掛著兩物體,但由于物體B脫落，振動系統(tǒng)實為彈簧和物體A組成.據(jù)題意,物體B脫落之時ｔ＝0，因此物體A的位置為系統(tǒng)的初始位置，且物體B從靜止狀態(tài)脫落，系統(tǒng)初速度為0.解物體B脫落之前，兩個物體A和B處于重力和彈簧的彈性力作用下的平衡狀態(tài)，彈簧伸長量為，那么AAxB(a)(b)圖15-13物體B脫落后，物體A和彈簧組成彈簧振子系統(tǒng)，設平衡位置處彈簧伸長量為，那么(1)取平衡位置為坐標原點，向下為x軸正向，如圖15-13〔b〕所示，當物體A位移x時，應用牛頓第二定律，得(2)由(1)和(2)式得由定義得時，物體B脫落，有即(3)(4)(3)和(4)式聯(lián)立解得m從(3)式,滿足(4)式,所以振動方程為m討論:(1)我們現(xiàn)在是取向下為x軸正向，如果取向上為正，那么初相為，振動方程有所不同．這就是解題中強調(diào)要給出坐標取向的理由.(2)如果A、B質(zhì)量不等，例如，會有不同的值，那么初始條件不同，將導致振動特征參量的改變．15-14如圖15-14〔a〕所示,一質(zhì)量可忽略的盤掛在勁度系數(shù)為k的輕彈簧之下，一質(zhì)量為m的物體自h高處自由下落至盤中，并與盤粘在一起作簡諧振動.設m=0.1kg，k=4.9N/m，h=0.3m，假設以物體剛落至盤中時為計時起點，求系統(tǒng)的振動方程．解如圖15-14(b),彈簧、質(zhì)量為m的物體和盤組成振動系統(tǒng)．取平衡位置為坐標原點,向上為x軸正向．平衡時彈簧伸長為，平衡方程為(1)當盤的位移為x時，應用牛頓第二定律，得(2)xmhm(a)(b)圖15-14由(1)和(2)式，得由定義得rad/s質(zhì)量為m的物體與盤相碰時,t=0，彈簧伸長量為相碰時，物體下落速度為，忽略盤質(zhì)量，應用動量守恒定律，碰后物與盤的共同速度方向向下，大小為即x0==0.2m(3)<0(4)(3)和(4)式聯(lián)立解得=0.4m從(3)式得，．從(4)式得，所以應取振動方程為m15-15單擺長為,小球質(zhì)量為m,帶有電荷+q,懸掛在場強大小為E、方向由左向右的均勻電場中，如圖15-15〔a〕所示.(1)求小球處在平衡位置時懸線與豎直向下方向所成的角；(2)假設單擺對平衡位置的偏角很小,求單擺的周期.分析由于帶電小球受到均勻電場的電場力作用，合外力為零的平衡位置將與鉛垂位置有一偏角．解(1)如圖15-15〔b〕所示,小球受重力mg、靜電力和張力FT作用，設平衡位置偏角為，那么FTqEmg〔a〕〔b〕圖15-15(1)(2)當擺線從平衡位置偏離角時,與鉛垂位置偏角為，應用牛頓第二定律，得小球切向運動微分方程為(2)由(1)式可得代入(2)式，得應用三角函數(shù)公式，得當很小時，，得說明角加速度與角位移成正比，且方向相反，因此小球作簡諧振動，并得15-16勁度系數(shù)分別為和的兩根彈簧串在一起,豎直地懸掛著,下面掛一質(zhì)量為m的小球,作成一個在豎直方向振動的彈簧振子.試求其振動周期.k2k1x1k1xmgm圖15-16分析這是兩根彈簧串聯(lián)(首尾相連)的問題．處理這類連接體問題仍要用隔離物體法．當兩彈簧質(zhì)量均可忽略時，無論處于運動或靜止狀態(tài)，兩彈簧中的彈性力相等，并等于相互作用力．解兩根串聯(lián)彈簧和小球組成振動系統(tǒng).隔離物體,對小球作受力分析如圖15-16所示．取平衡位置為坐標原點，向下為軸正向．設平衡時彈簧1的伸長量為，彈簧2的伸長量為，小球受力平衡方程為(1)兩彈簧連接處相互作用力等大而反向，即(2)小球相對于平衡位置下移x時，設彈簧1伸長量為，彈簧2伸長量為，應用牛頓第二定律，得(3)兩彈簧連接處相互作用力等大而反向，即，因，得代入(3)式得(4)由(1)和(4)式，得說明加速度與位移成正比，且方向相反，因此小球作簡諧振動，并得15-17兩彈簧勁度系數(shù)分別為=1N/m,=3N/m.在光滑的水平面上將此二彈簧分別連接到質(zhì)量為m=0.1kg的物體的兩端，彈簧的其余兩端分別固定在支柱及上,如圖15-17所示.今使物體有一向右初位移,向右初速度,(1)試證物體作簡諧振動;(2)求振動方程(設物體在振動中,兩彈簧始終處于被拉伸狀態(tài)).分析當物體運動時，兩彈簧的形變量大小相同，并等于物體的位移量．P1k1mk2P2x圖15-17解以物體為研究對象,受力如圖15-17所示.設平衡時兩彈簧伸長量分別為、，有(1)取平衡位置為坐標原點，向右為x軸正向．當物體向右位移為x時，應用牛頓第二定律，得(2)由(1)和(2)式得由定義，得t=0時，即=(3)v0=>0(4)(3)和(2)式聯(lián)立，解得=2×10-2m從(3)式得，，從(4)式得<0，那么應取所以振動方程為15-18某簡諧振動的振動曲線如圖15-18(a)，試求此簡諧振動的振動方程.x/mA(t=0)A(t=1s)2ω12π/301t/s-2-1Ox-1-2(a)(b)圖15-18分析振動曲線是振動物體位移x與時間t的關(guān)系曲線．從振動曲線上可得出振幅和初始條件．由圖15-18(a)可以看出，當t稍大于零時，物體將向x軸負向運動，所以物體初速度v0<0．由旋轉(zhuǎn)矢量圖可以比擬容易地確定振動的角頻率，即旋轉(zhuǎn)矢量1s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度便是角頻率．解由圖15-18(a)看出，A=2m，．t=1s時的位移和速度分別為=0(1)v1=<0(2)(1)式給出cos=0，得，顯然滿足(2)式,即為1s時的相位.旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖15-18(b)所示，t=0時的旋轉(zhuǎn)矢量為,可以看出，1s內(nèi)A沿逆時針方向轉(zhuǎn)過的角度即角頻率為振動方程為mx(1)Ot(2)圖15-1915-19(1)、〔2〕兩個簡諧振動的周期相同,振動曲線如圖15-19.求(1)、〔2〕兩個簡諧振動的相位差.分析根據(jù)振動曲線可以判斷指定點的相位．假設兩振動的相位差，通常說，振動2的相位比振動1超前或振動1的相位比振動2落后． 解從圖15-19知,振動(1)的初始條件是=0(1)v0=(2)由(1)式得由(2)式得那么振動(1)的初相應取 振動(2)的初始條件是=A(3)v0==0(4)由(3)式得，滿足(4)式，即為振動(2)的初相． 因兩振動的角頻率相同,所以振動(1)與振動(2)相位差為,且振動(1)比振動(2)相位落后．15-20一質(zhì)量為0.1kg的物體作振幅為0.01m的簡諧振動,最大加速度為0.04.試求(1)振動的周期;(2)總的振動能量;(3)物體在何處時,其動能和勢能相等?分析作簡諧振動的彈簧振子系統(tǒng)機械能守恒,動能和勢能都隨時間周期變化且相互轉(zhuǎn)換，這是系統(tǒng)運動過程中只有重力、彈性力等保守力作功，外力和非保守內(nèi)力不作功的條件下才成立的．實際的振動系統(tǒng)起碼要受到阻力作用,因而必定有能量的損耗，系統(tǒng)機械能不守恒．解(1)由得(2)總振動能量為(3)設動能和勢能相等時,物體距平衡位置x遠,那么又由得15-21質(zhì)點作簡諧振動,振動頻率為,那么振動