2023-2024學(xué)年河南省開封市五縣聯(lián)考高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat15頁2023-2024學(xué)年河南省開封市五縣聯(lián)考高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式得集合A和B，然后利用交集運(yùn)算的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.2．已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】分別判斷命題“若則”和“若則”的真假，得到正確結(jié)果.【詳解】命題“若則”為假命題，∵取，則，但不成立.所以“”不是“”的充分條件；命題“若則”為假命題，因?yàn)槿?，則，但不成立.所以“”不是“”的必要條件.綜上：“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D3．若，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】代入特殊值以及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)，，時(shí)，滿足，不滿足，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，滿足，不滿足，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；當(dāng)，，時(shí)，滿足，不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．已知是上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象平移即可求得函數(shù)圖象恒過的定點(diǎn).【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，即函數(shù)的圖象恒過點(diǎn).又函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖象恒過點(diǎn).故選：A.5．當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過N年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，該生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半衰期的定義，建立指數(shù)函數(shù)模型，從而得到函數(shù)關(guān)系式.【詳解】設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為，將剛死亡生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，根據(jù)經(jīng)過N年衰減為原來的一半，則，即，且生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q所以生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為即故選:D.6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得，然后化簡求得，利用基本不等式即可求解.【詳解】由①，令，②，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以的最小值為.故選：D7．若a，b，且，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先變形等式，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】，，當(dāng)，即時(shí)等號成立.故選：D8．已知函數(shù)的最大值為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，分段討論并結(jié)合二次函數(shù)、均值不等式求出最大值即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，依題意，，即，當(dāng)時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意，若，則當(dāng)時(shí)，，解得，矛盾，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：A二、多選題9．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，則下列結(jié)論中正確的說法是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】AC【分析】利用二次方程的性質(zhì)判斷AB，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合零點(diǎn)的知識判斷CD，從而得解.【詳解】將方程化為，由題意可知，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，解得，故A正確；當(dāng)時(shí)，方程為，所以，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)和的圖象，可得，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．在同一坐標(biāo)系中，對于函數(shù)與的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．與有兩個(gè)交點(diǎn) B．與有三個(gè)交點(diǎn)C．，當(dāng)時(shí)，恒在的上方 D．，當(dāng)時(shí)，恒在的上方【答案】AC【分析】在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷選項(xiàng)；由指數(shù)函數(shù)的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，，，，，則可在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖像如下圖所示：顯然兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，B正確，由于指數(shù)函數(shù)的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度，所以當(dāng)時(shí)，恒在的上方，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：AC.11．狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實(shí)數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的是（

）A． B．它是偶函數(shù)C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期 D．它的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐一分析判斷即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故A錯(cuò)誤；由的解析式可知的定義域?yàn)?，若，則，則；若，則，則；綜上，，所以為偶函數(shù)，故B正確；設(shè)任意，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，或，則，即任意非零有理數(shù)均是的周期，任何無理數(shù)都不是的周期，故C正確；函數(shù)的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，則（

）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)D．不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不確定【答案】ABD【分析】對于A，若，根據(jù)偶函數(shù)的圖像性質(zhì)推出矛盾即可；對于B，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可判斷；對于C，舉出反例即可；對于D，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義和單調(diào)性的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，若，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則函數(shù)在和上的單調(diào)性相反，與函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)矛盾，所以，故A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，則在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對于C，令，則在上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，其定義域?yàn)?，由題意得，則，所以不具有奇偶性.因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，而在區(qū)間上都是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上的單調(diào)性不確定，故D正確；故選:ABD.三、填空題13．已知全集，如果命題，那么是.【答案】或【分析】由命題否定的定義可得答案.【詳解】即且，所以或.14．已知，，定義，則．【答案】【分析】根據(jù)自定義運(yùn)算及指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：．故答案為：15．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的分式不等式的解區(qū)間為．【答案】【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)已知條件判斷的大小關(guān)系，即可求解區(qū)間.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，有，∴解區(qū)間為．故答案為：.16．定義：如果任取一個(gè)正常數(shù)，使得定義在上的函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)，存在非零常數(shù)，使，則稱函數(shù)是“函數(shù)”．在①，②，③這三個(gè)函數(shù)中，為“函數(shù)”的是（只填寫序號）．【答案】②【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一分析即可.【詳解】對于①，令，則，不是常數(shù)，不是“函數(shù)”；對于②，令，則為常數(shù)，是“函數(shù)”；對于③，令，則，不是常數(shù)，不是“函數(shù)”；故答案為：②.四、解答題17．已知命題，.(1)若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)命題關(guān)于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由題意可得，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出當(dāng)命題為真命題時(shí)的取值范圍，然后考慮當(dāng)、均為假命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，結(jié)合補(bǔ)集思想可求得、至少有一個(gè)是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意，若為真，則，解得.（2）解：若為真，，方程兩根為和，

則由題意得，所以，

當(dāng)、均為假命題時(shí)，有，可得.因此，如果、中至少有一個(gè)為真時(shí)，或.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得是奇函數(shù)；(2)對于任意給定的非零實(shí)數(shù)與軸負(fù)半軸總有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)存在，(2)答案見詳解【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)分析求解；（2）根據(jù)題意可知：，分和兩種情況，運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，可知的定義域?yàn)椋羰瞧婧瘮?shù)，則，解得，且當(dāng)時(shí)，，即，是奇函數(shù)，綜上所述：當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù).（2）令，可得，因?yàn)?，則，且，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；綜上所述：當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.五、作圖題19．已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；(3)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)見解析(3)或或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為子集問題，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，且，所以函數(shù)在上的解析式為;（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，

（3）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)圖象可知，，或，或，解得：或或.六、應(yīng)用題20．某服裝廠為擴(kuò)大生產(chǎn)增加收益，新引進(jìn)了一套某種服裝的生產(chǎn)設(shè)備，用該設(shè)備生產(chǎn)制作服裝每月的成本（單位：元）由兩部分構(gòu)成：①固定成本（與生產(chǎn)服裝的數(shù)量無關(guān)）：元；②生產(chǎn)所需材料成本：（單位：元），為每月生產(chǎn)服裝的件數(shù).(1)用該設(shè)備生產(chǎn)服裝，每月產(chǎn)量為何值時(shí)，平均每件服裝的成本最低，每件的最低成本為多少？(2)若每月生產(chǎn)件服裝，每件售價(jià)為：（單位：元），假設(shè)每件服裝都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如何制定計(jì)劃，才能確保該設(shè)備每月的利潤不低于4萬元？【答案】(1)該用該設(shè)備每月生產(chǎn)2000件服裝時(shí)，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本為300元(2)該設(shè)備每月至少生產(chǎn)800件產(chǎn)品，才能確保該設(shè)備每月的利潤不低于4萬元【分析】（1）根據(jù)題意，可知平均每套所需的成本費(fèi)用為，再利用基本不等式即可求出結(jié)果；（2）由題意可知月利潤，解一元二次不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）解：設(shè)平均每套所需的成本費(fèi)用為元，則有.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí).所以該用該設(shè)備每月生產(chǎn)2000件服裝時(shí)，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本為300元；（2）解：設(shè)月利潤為（元），則有：，整理得：，解得（舍）或，所以該設(shè)備每月至少生產(chǎn)800件產(chǎn)品，才能確保該設(shè)備每月的利潤不低于4萬元.七、證明題21．已知函數(shù)奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷在上的單調(diào)性并用定義證明；(3)設(shè)，求在上的最小值．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，由求解；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明；（3）由，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）在上單調(diào)遞增．證明如下：，則，因?yàn)?，所以，所以，，可得．即?dāng)時(shí)，有所以在上單調(diào)遞增．（3），令，又，則，所以，，對稱軸為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，．22．設(shè)函數(shù)的定義域是，對于任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：，且當(dāng)時(shí)，有；(2)判斷在上的單調(diào)性；(3)試舉出一個(gè)滿足