淺議高中數(shù)學中的類比思想

精品文檔-下載后可編輯淺議高中數(shù)學中的類比思想【摘要】只有我們意識到類比的教育教學價值，通過類比的教學方法去展示數(shù)學的知識，才能讓學生拓展視野，以極大的熱情去研究、學習數(shù)學，認識到數(shù)學世界的和諧統(tǒng)一，才能真正實現(xiàn)學生由“學會”到“會學”的轉(zhuǎn)化。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學類比思想教學方法

在考試說明中，數(shù)學命題的指導思想要求突出數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本能力、基本思想方法的考查，重視數(shù)學基本能力和綜合能力的考查，注重數(shù)學的應用意識和創(chuàng)新意識的考查。其中，推理論證能力的考查要求是：能夠根據(jù)已知的事實和已經(jīng)獲得的正確的數(shù)學命題，運用歸納，類比和演繹進行推理，論證某一數(shù)學命題的真假性。因此，在高中數(shù)學的教學過程中要加強對推理能力的培養(yǎng)。

由一個或幾個已知判斷推出另一未知判斷的思維形式，叫作推理。推理有演繹推理和合情推理，其中合情推理分為歸納推理和類比推理。古語云：授人以魚，只供一飯。授人以漁，則終身受用無窮。學知識，更要學方法。

1.類比推理定義

所謂類比推理，是指通過兩個（或兩類）對象的一些相同（或相似）屬性的比較，從而推出它們的某些其它屬性也相同（或相似）的一種邏輯方法，其推理形式為：

類比對象類比屬性

甲ABCD

乙ABC

所以，乙對象可能具有屬性D

這是從特殊到特殊的一種推理形式，所推出的結(jié)論未必可靠，僅是一種“似真”的結(jié)果，帶有猜測的性質(zhì)。盡管發(fā)現(xiàn)的結(jié)果不一定真實，但它畢竟是一種方法，因為類比聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學知識，類比可以尋到解決問題的方法和途徑，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，創(chuàng)造思維及合情推理能力。所以，類比推理在數(shù)學中雖然不是證明方法，但卻是一種重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)法，是提出假設(shè)進行猜想的基礎(chǔ)，是各種創(chuàng)造思維形式的基本要素。

2.類比推理的應用

2.1平面幾何與立體幾何類比。

平面幾何的基本元素是點和直線，而立體幾何的基本元素是點、直線和平面。如果我們建立如下對應關(guān)系：平面內(nèi)的點對應到空間中的點或直線，平面內(nèi)的直線對應到空間中的直線或平面，那么把平面幾何某些定理中的點換作直線，或把線換作平面，就可以幫助學生“發(fā)現(xiàn)”一類相似的立體幾何定理。在講授新知識的同時，經(jīng)常聯(lián)系舊知識，創(chuàng)造條件進行類比，擴展學生的思路，養(yǎng)成學生進行類比推理的習慣。它們之間的元素可按下列對應方法構(gòu)成類比對象：

直線平面

角二面角

三角形四面體

平行四邊形平行六面體

矩形長方體

圓球

在講解這部分知識時注意引導學生要充分認識到數(shù)學中的類比思想，并引導學生進行類比：

(1)“在平面直角坐標系中”簡記為：（二維）；“在空間直角坐標系中”簡記為：V3（三維）

①點的坐標

V2：P(x,y)，V3：P(x,y,z)

②兩點間的距離

V2：兩點：P1(x1,y1)，P2(x2,y2)

P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

V3：兩點：P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)

P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1)+(z2-z1)2

③線段中點坐標（中點也即線段上到兩個端點的距離平方和最小的點）

V2：兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)中點M(x1+x22,y1+y22)

V3：兩點P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)中點M(x1+x22,y1+y22,z1+z22)

④

⑤在直角ABC中，∠C=π2，其對應邊分別為a,b,c,則c2=a2+b2；

在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩互相垂直，記PAB，PAC，PBC，ABC的面積分別為S1，S2,S3,S,則S2=S21+S22+S23.

⑥在直角ABC中，∠C=π2，則COS2A+COS2B=1;

在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩互相垂直，記記面PAB,面PAC，面PBC與面ABC所成角分別為α，β，γ,則COS2β+COS2β+COS2γ=1.

⑦平面向量到空間向量的類比，平面解析幾何到立體幾何的類比等等。當然不僅是知識體系的類比，也可以包括一些常見的結(jié)論，如平面向量中“若OP=λOA+μOB且λ＋μ＝１，則P、A、B三點共線”；類比空間向量“若OP=xOA+yOB+zOC,且x＋y＋z＝１，則P、A、B、C四點共面”。

通過這樣新舊知識的聯(lián)系來進行類比，既有利于理解、掌握新知識，還能使舊知識得到鞏固，同時拓寬視野。

2.2等差數(shù)列與等比數(shù)列類比。

等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，它們在定義等方面有許多相似之處。因此，在研究二者的問題時，可以用類比的方法研究它們的相關(guān)問題。它們之間的元素可按下列對應方法構(gòu)成類比對象：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義：an-an-1=d(常數(shù))anan-1=q(常數(shù))

差商

性質(zhì)：若m+n=p=q,則am+an=ap+aq若m+n=p=q,則aman=apaq

和積

通項公式an=q1+(n-1)dan=a1?qn-1

倍數(shù)n-1冪指數(shù)n-1

在講解這部分知識時注意引導學生要充分認識到數(shù)學中的類比思想，