不等式知識點與綜合提升題-寒假作業(yè)14（解析版）-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)（理）寒假復(fù)習(xí)鞏固練習(xí)（人教A版）

專題14人教(A)版不等式知識點與綜合提升題一寒假作業(yè)14

(解析版)

不等式

一、比較大小及不等式性質(zhì)

1、比較大小依據(jù)：a-b>。=a>b；.—"=

2、比較大小方法：作差法：步驟①作差②變形(常用方法：通分、配方、分子、分母

有理化、因式分解等)③定號

作商法：

當(dāng)a>OZ?>小jW>?tz,>b—=<=>tz=Z?—<0<=>a<b

bbb

3、不等式的性質(zhì)：①a>bob<a；②a>b,b>cna>c；

(^)a>b=>a+c>b+c.(^a>b,c>0^ac>bca>b,c<0=>ac<bc

(^a>h,c>d=>a+c>b+d⑥a>h>0,c>d>0=ac>bd.

(^a>h>0=>a">b"(nGN,/?>1)(⑷a>Z?>0=>\[a>窈(〃eN,〃>1)

二、一元二次不等式解法：

1、定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.

解法步驟：⑴確定對應(yīng)一元二次方程的判別式及根

⑵作出對應(yīng)一元二次函數(shù)的圖像

⑶由函數(shù)圖象寫出相應(yīng)不等式的解集

2、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系:

判別式A=〃—4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)

1Z工

y=ax2+hx+c

(a>0)的圖象

有兩個相異實數(shù)根

一元二次方程OX?+bx有兩個相等實數(shù)根

-/>±7A,、b沒有實數(shù)根

演2=2a■X,—X-,-----

+c=0(〃>0)的根2a

ax2+Zzx+c

>0<XX。--—I

一元二次wx<玉或x〉w}R

I2aJ

不等式的(a>0)

解集

cue2+/zx+c<0{x\x1<X<x2100

(61>0)

3、一元二次不等式恒成立問題

a>0

ax2+bx+c>0(a^°)恒成立條件△=層-4ac<0

a<0

ax2+/?x+c<0(4聲0)恒成立條件△=〃-4ac<0

4、含參一元二次不等式解法

分類討論：①二次項系數(shù)②相應(yīng)方程是否有根③兩根的大小

5、一元二次方程實根分布

分析思路：

—b+\ll^—4ac—b—\l^—4ac

X\=------------------,X2=----7；-----

求根公式法：12az2a

韋達定理法：①判別式②兩根之和③兩根之積

函數(shù)圖象法：①判別式②對稱軸位置③區(qū)間端點函數(shù)值

基本類型與相應(yīng)方法：

設(shè)fix^ax2+bx+c(a^O),則方程/(x)=0的實根分布的基本類型及相應(yīng)方法如下

表：

根的情況a>0時圖a〈0時圖充要條件

A>0A>0

兩個根均

af{m)>0o<Xj-m+x2-772<0

小于mJ

Ab

J(Xj-m)(x-m)>0

----<m2

12a

A>0

A>0

兩個根都

,af(n)>0O'尤］一〃+工2-〃>0

大于nb

)b

(%1—n)(x-w)>0

7W---->n2

、2a

一個大于

m,另一個

(Xi-m)(xz-m)<0<z>af(m)<0

小于m的1Jk

根

在區(qū)間

(m,n)內(nèi)

Lf(m)f(n)<0

有且僅有J

一個根/D

試卷第2頁，總20頁

在區(qū)間

(m,n)之a(chǎn)f(in)<0

外有兩個af(n)<0

IY

根m「A

A>0

在區(qū)間b

(m,n)內(nèi)m<----<n

A.<2a

有兩個實af(m)>0

m

根n\7n

1./(〃)>0

三、基本不等式

1、a、b是兩個正數(shù)，則竺乙稱為正數(shù)a、匕的算術(shù)平均數(shù)，而稱為正數(shù)。、匕的

2

幾何平均數(shù).

2、均值不等式定理：若a>0,b>0,則a+bN2而，即竺疝.

2

2,12

3、常用的基本不等式：①/+從？〃力(a,》eR)；②"4當(dāng)3(”,be/?)；

?ab<^-^-(a>0,Z?>0)；④｝N(a,beR).

4、基本不等式求最值：設(shè)尤、y都為正數(shù)，則有

2

(1)若x+y=s(和為定值)，則當(dāng)x=y時，積孫取得最大值2.

4

(2)若xy=P(積為定值)，則當(dāng)x=y時，和x+y取得最小值2J萬.

注意：利用基本不等式求最值條件：①正②定③相等

5、對號函數(shù)圖像性質(zhì)

h

y=ax+-(a,b>0')的圖像與性質(zhì)：

x

(1)定義域：｛x|x。。｝；

(2)值域：｛y|y或yW—2\/^｝；

(3)奇偶性：奇函數(shù)；

(4)單調(diào)性：在區(qū)間(-oo,—j2］和［*,+8)上是增函數(shù),

VaVci

在區(qū)間(0,J2］和［口,0)上為減函數(shù);

VaVa

(5)漸近線：以y軸和直線y=ax為漸近線；

(6)圖象：如右圖所示

1、基本概念

①、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.

②、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組.

③、二元一次不等式(組)的解集：滿足二元一次不等式組的X和y的取值構(gòu)成有

序數(shù)對(x,y),所有這樣的有序數(shù)對(x,y)構(gòu)成的集合.

2、二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域

(1)一般,二元一次不等式4x+By+C>0在平面區(qū)域中，表示直線4x+B.y+C=0某一

側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(開半平面)，且不含邊界線.不等式Ar+&y+C》O所表示

的平面區(qū)域包括邊界線(閉半平面).

(2)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是指各個不等式組所表示的平面

區(qū)域的公共部分.

3、二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷方法：

①可在直線Ar+By+C=O的某一側(cè)任取一點，一般取特殊點(沏，光)，從4為+8比

+C的正(或負(fù))來判斷Ar+By+C>0(或Ax+8y+C<0)所表示的區(qū)域.當(dāng)CWO時，

常把原點(0,0)作為特殊點.

②也可以利用如下結(jié)論判斷區(qū)域在直線哪一側(cè)：

(i)日表示直線上方的半平面區(qū)域；表示直線下方的半平面區(qū)域.

(ii)B>0時，Ax+By+C>0表示直線上方區(qū)域；Ar+By+C<0表示直線下方區(qū)

域；

B<Q時，Ax+B)，+C<0表示直線上方區(qū)域；Ax+By+C>0表示直線下方區(qū)

域.

4.簡單線性規(guī)劃

(1)基本概念：

目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x,y的要求最大值或最小值的函數(shù)，如2=》+丫，z=f+)2等.

約束條件：目標(biāo)函數(shù)中的變量所滿足的不等式組.

線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù).

線性約束條件：約束條件是關(guān)于變量的一次不等式(或等式).

線性規(guī)劃問題：在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題.

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)達到最大值或最小值的點的坐標(biāo)，稱為問題的最優(yōu)解.

可行解：滿足線性約束條件的解(x,y)稱為可行解.

可行域：由所有可行解組成的集合稱為可行域.

(2)用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：

試卷第4頁，總20頁

①分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；

②確定線性約束條件；

③確定線性目標(biāo)函數(shù)；

④畫出可行域；

⑤利用線性目標(biāo)函數(shù)，求出最優(yōu)解；

⑥實際問題需要整數(shù)解時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)解.

一、單選題

1.不等式X2-9<0的解集為（）

A.{x|x<-3}B.{x|x<3}

C.{x|x<-3時>3}D.{x|-3<x<3}

【答案】D

【分析】

解二次不等式求解即可

【詳解】

由X2—9<0，可得X2<9，解得一3<X<3.

故選D.

【點睛】

本題考查一元二次不等式的解法，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

2.a,b&R,則/+〃與的大小關(guān)系是（）.

A.a2+b2>2\ab\B.a2+b2=2|i/Z?|c.a2+b2<2|aZ?|D.a2+b2>2|?Z?|

【答案】A

【分析】

由6+6_2阿=（時-附,再判斷即可得解.

【詳解】

解：因為42+62_2|閡=（時_例）220.

所以片+6之2|國（當(dāng)且僅當(dāng)時=同時,等號成立）,

故選A.

【點睛】

本題考查了重要不等式，重點考查了配方法，屬基礎(chǔ)題.

3.若04<1,則關(guān)于x的不等式。一工)卜一，>0的解集是()

111.

A.B.<xx>-或x<f}

1Tl[1]

C.<xx<-或%>/■}D.-xf<%<->

【答案】D

【分析】

判斷出！>/,再利用一元二次不等式的解法即可求解.

t

【詳解】

八11

VO<r<l,A->1,A->/.

tt

—)>0o(x-r)[x—<O^t<x<-.

故選：D

【點睛】

本題考查了一元二次不等式的解法，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.若/(x)=x+」；(x>2)在％=〃處取得最小值，則〃=()

x-2

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【解析】

試題分析：

???f(x)=X+—=(X-2)+-^―+2>2j(x-2).——+2=4,(x>2)當(dāng)且僅

x-2x-2Vx-2

當(dāng)x-2=―上一即x=3時，等號成立;所以〃=3，故選B.

x-2

考點：基本不等式.

5.已知關(guān)于大的不等式尤2一,收+1>()在[2,4]上有解，則實數(shù)〃的取值范圍是()

C.[f|)

A.(-<x>,+co)B.(80,2)D.-岑

【答案】D

試卷第6頁，總20頁

【分析】

由題可得根<x+!在［2,4］上有解，求出y=X的最大值即可.

XX

【詳解】

不等式％2一小+1>0在［2,4］上有解，

m<x+—在［2,4］上有解,

x

丫=》+,在［2,4］單調(diào)遞增，，>；皿=4+!=1，

x44

17

m<——.

4

故選：D.

6.下列命題為真命題的是（）

A.若,則“2>匕2B.若a>b>0,貝!）。02>力<?

C.若a<b,c>0,則ac>8cD.若a</?<0,c>0,則￡>工

ab

【答案】D

【分析】

采用舉例的方法判斷A；根據(jù)c=0的情況判斷B；根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷CD,由此確

定出真命題.

【詳解】

A.取4=11=-2,此時。>>，/=］<4=/，故為假命題：

B.當(dāng)c=On寸，ac2=be2=0>故為假命題：

C.因為a<》,c>0,所以a-c<b-c,所以ac<8c,故為假命題；

11cC

D.因為。<6<0,所以0>一>一，又因為c>0,所以一>一，故為真命題，

abab

故選：D.

7.若實數(shù)a,b滿足疝，則ab的最小值為（）

ah

「3

A.2<2B.2C.-D.1

【答案】A

【分析】

由—I—=yfeib,得2+半+4=a2b2,,再利用均值不等式求得ab的最小值.

abab

【詳解】

因為—J茄，

ab

144

則一T—y---=ab,且cib>0,

aah

兩邊同乘山?,得夕+色+4=a%2,

ah

則/y22〃+4=8，所以aZ?22及，

當(dāng)且僅當(dāng)2="，即b=2。時取等，

ab

即的最小值為20，

故選：A.

x-2y-2<Q

8.若X,丁滿足約束條件<x-y+lNO，則z=3x+2y的取值范圍（）

y<0

A.[-3,6]B.[6,18]C.[-3,18]D.[-18,6]

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意，畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解函數(shù)的最值，即可推

出結(jié)果.

【詳解】

由實數(shù)%》滿足約束條件作出其對應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分所示，

可知z=3x+2y在A（T,—3）處取得最小值-18,在（2,0）處取得最大值6,

故2=3》+23；的取值范圍是[-18,6].

故選：D.

9.在日常生活中有這樣一種現(xiàn)象，向糖水中不斷加入糖，糖水會變得越來越甜.已知。

克糖水中含有b克糖（?！怠怠?）,再添加加克糖（機>0）（假設(shè)全部溶解），可將糖水變

甜這一事實表示為下列哪一個不等式（）

試卷第8頁，總20頁

aa+maa+m

aa+maa+m

C.—>-------D.-<-------

bb+mbb+m

【答案】B

【分析】

根據(jù)不等式中兩個重要不等式判定即可

【詳解】

hh+maci+ITI

解：根據(jù)不等式中兩個重要不等式判定得一<——，->-——

aa+mbb+m

糖水變甜說明加糖后分式的值變大了，只有h一<h^^一JTl符合.

aa+m

故選：B.

【點睛】

兩個重要不等式：

若Q勿2>0則

bb+mbb-m八、

(1)—<-------;—>-------0)；

aa+maa-m

aa一+ma一a.-m

(2)->-------；-<-----(ft-m>0).

bb+mbb-m

10.下列結(jié)論表述正確的是()

A.若則〃2+》2>2"恒成立

B.若a,beR,則3+^22恒成立

ba

C.若a〉0,b>0,則學(xué)尹成立

D.函數(shù)y=x+—1(xN3)的最小值為3

x—1

【答案】c

【分析】

根據(jù)基本不等式成立的條件可判斷ABC的正誤，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷D的正誤.

【詳解】

對于A,若a,beR,則片+人222ab恒成立，錯；

對于B,若。。>0,則q+恒成立，若。。<0,則?—<-2,錯：

baba

對于D,函數(shù)y=x+」一=x-l+」一+1,x>3,

x—1x—1

^-t=x-I,則122且y=，+1+l,

t

?7

因為y=r+；+l在［2,”)上為增函數(shù)，故VmM=e，

(a-b)'

對于c,——^-<0-

4

而a>0,

故選：c.

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式判斷給定的不等式是否成立時，注意依據(jù)“一正二定三相

等”來檢驗，另外，說明一個不等式成立，需嚴(yán)格證明，關(guān)注代數(shù)式變形時符號的要求.

11.已知不等式“--加+2>0的解集為{x|-lVx<2},則不等式2y+%x+aV0的解集

為（）

1一1

A.{x|--<x<l}B.{MxV-l或x>不}

22

C.{x|-l<x<y}D.{x|xV」或x>l}

22

【答案】A

【分析】

根據(jù)不等式ar2-bx+2>0的解集求出a、b的值，再代入不等式2x+bx+a<G中求解集.

【詳解】

不等式ax-法+2>0的解集為{x|—1<x<2）,

所以-1,2是方程--以+2=0的兩個實數(shù)根，且。<0,

—1+2，

由根與系數(shù)的關(guān)系知{:，解得a=-11=-1；

-1x2=-

a

所以不等式V0化為2A*~-x-1<^0?

解得一,<rVl；

2

1

所以不等式2x9+/?x+aVO的解集為{入1-~VxV1}.

故選：A.

【點睛】

試卷第10頁，總20頁

結(jié)論點睛：若一元二次不等式以2+灰+。＜0（4。0）的解集為（玉,吃）或

（，》,%）（w’+oo）（石＜乙），則尤”*2是方程/+力x+c=O（awO）的兩個根.

12.在彈性限度內(nèi)，彈簧拉伸的距離與所掛物體的質(zhì)量成正比，即〃=丁，其中d是

K

距離（單位cm）,“是質(zhì)量（單位g）,k是彈簧系數(shù)（單位g/cm）.彈簧系數(shù)分別為

111

占，心的兩個彈簧串聯(lián)時，得到的彈簧系數(shù)A-滿足7=丁+1，并聯(lián)時得到的彈簧系

kKjk2

數(shù)A?滿足k=《+也.已知物體質(zhì)量為20g,當(dāng)兩個彈簧串聯(lián)時拉伸距離為1cm,則并

聯(lián)時彈簧拉伸的最大距離為（）

A.—cmB.—cmC.1cmD.2cm

42

【答案】A

【分析】

先利用串聯(lián)列關(guān)系20（仁+&）=勺&，結(jié)合基本不等式求得左+七最小值，再利用并

聯(lián)關(guān)系得到k'=k}+他最小時求得彈簧拉伸的最大距離即可.

【詳解】

依題意設(shè)兩個彈簧的彈簧系數(shù)分別為占，自，串聯(lián)時彈簧系數(shù)為火，并聯(lián)時彈簧系數(shù)

為女'.

YYIm20111

兩個彈簧串聯(lián)時，由4=丁知，攵='=一=20,則7=1+丁即

kd1kk、k?

111k/k?

—=—~T~=---，

20k2桃2

即20化+&）=＜0+3，故K+佝280,當(dāng)且僅當(dāng)4=%2=4。時等號成立,

mm

兩個彈簧并聯(lián)時，仁…,拉伸距離要是最大’則需

%'=4+&最小，而勺=&=40時（4+&）*=80，故此時屋最大，為

,m201

a=——=—=—cm.

k'804

故選：A.

【點睛】

思路點睛：

利用基本不等式求最值時，需注意取等號條件是否成立.

（1）積定，利用x+yNZ歷，求和的最小值；

（2）和定，利用孫，求積的最大值；

（3）妙用“1”拼湊基本不等式求最值.

二、填空題

13.已知。、6為實數(shù)，若關(guān)于X的不等式公2+法+2>0的解集為（一1,2）,則

a-b=?

【答案】-2

【分析】

由題意可知，關(guān)于x的方程依2+法+2=0的兩根，利用韋達定理可求得〃、匕的佇，

由此可求得結(jié)果.

【詳解】

不等式or?+法+2>0的解集是（-1,2）,

.二方程ar?+"+2=0的兩根為％=-1,&=2,

b2

則%+%2=—=1，Xjx=—=-2,即。=一1,b=T,:.a-b=-2,

aa2

故答案為：-2.

14.已知abe（0,+℃）,貝!]/+4/+」一的最小值為_________.

2ab

【答案】20

【分析】

根據(jù)。人6（0,+8）,兩次利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】

由基本不等式可得/+劭2225.劭2=4cdy,當(dāng)且僅當(dāng)/=4加時等號成立，

所求"+4/+J_24M+上22L=20，

2ab2abV2ab

試卷第12頁，總20頁

1,,1

當(dāng)且僅當(dāng)4出?=:，即時等號成立，

2ab8

所以當(dāng)時.，即q=2T,b=21或a=—2一；力=-2^時

/+4/+」的最小值為20.

2ab

故答案為：2夜

【點睛】

解題的關(guān)鍵是兩次使用基本不等式求解，需檢驗兩次取等號條件是否相等或成立，考查

分析理解，計算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題.

4

15.已知正數(shù)x，V滿足肛—y+l=（）,則y+—的最小值為.

x

【答案】9

【分析】

1,14

由已知條件得出x+—=1,將代數(shù)式X+—與y+—相乘，展開后利用基本不等式可求

yy%

4

得y+一的最小值.

X

【詳解】

因為正數(shù)滿足w-y+i=（），

所以砂+l=y,即x+'=l,

y

4144I

所以y+-=（xH■_）（y+—）=5+xyd--->5+2xy—=9,

xyxxyyxy

2

當(dāng)且僅當(dāng)個=2,即y=3,x=g時，等號成立.

故答案為：9

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的

最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等

號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

16.已知函數(shù)/*）=如2+（加）一加+4）X+6"〃J,機eR,若加e[2,3],使得對

“em+t,m+-^,Vx2em,m+^均有/(%)4/(七)，則正數(shù)f的最小值為

—103

【答案】五

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合存在、任意的性質(zhì)、構(gòu)造法、換元法、對鉤函數(shù)的性質(zhì)進行

求解即可.

【詳解】

m4-加+4

函數(shù)/（%）=座2+（/一52'3+4）元+6〃%的對稱軸為:x=-------------

2m

3tG+：均有

要想對V%Gm+——,Vx2%2),m￡[2,3]

2

只需加+|…（/；：+4）?（/募+4）.（加+$）成立,

/I3/曰+2m2+4.../、m4+2m2+4

化簡得：t>——--------，設(shè)g(m)=——--------,mer[n2,3],

m—2mm-2m

+2/71+4i-yi-2

g(m)=----------=-----4——,令a=m——,顯然當(dāng)加《[2,3]時，函數(shù)

m-2m乙m

m---

m

a=加一工是單調(diào)遞增函數(shù)，故

m3

因此有/i（a）=g*=a+9，顯然該函數(shù)在單調(diào)遞減函數(shù),

。。33

4

故〃（a）min=仁7）=-10T3T，因此要想t>7?7:+2/T?2+4在〃?e[2,3]有解，只需/之1為03.

321m-2m21

故答案為：一~

21

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到

m+心加+\?/〃4二"〃）4）一（機+工。這個不等式，然后運用構(gòu)造函

22m2m2

數(shù)進行求解.

試卷第14頁，總20頁

三、解答題

17.已知/（x）=（x-a）（x-2）.

（1）當(dāng)“=1時，求不等式/（可>（）的解集；

（2）解關(guān)于x的不等式〃x）<0.

【答案】⑴（F,1）D（2,”）.⑵”=2時，不等式無解；a〉2時，不等式的解

集為（2,a）；a<2時，不等式的解集為（a,2）.

【分析】

（1）根據(jù)一元二次不等式的解的結(jié)果，直接得到答案；

（2）對。與2的大小關(guān)系分三種情況討論，可得結(jié)果.

【詳解】

（1）”=1時，不等式/（X）>0化為2）>0,

解得x<1或x>2,

不等式的解集為（3,1）口（2,長。）.

（2）關(guān)于x的不等式/（力<0,即（x-a）（x-2）<0；

當(dāng)a=2時，不等式化為（X-2）2<0,不等式無解：

當(dāng)a>2時，解不等式（x-a）（x—2）<0,得2<x<a；

當(dāng)a<2時，解不等式（x-a）（x-2）<0,得a<x<2：

綜上所述，a=2時，不等式無解，

a>2時，不等式的解集為（2,a）,

a<2時，不等式的解集為（a,2）.

【點睛】

本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.（1）當(dāng)xe（O,；）時，求y=x（l-2x）的最大值；

（2）設(shè)xN2,求函數(shù)），=返羋的最小值.

x-1

【答案】（1）（2）272+3.

0

【分析】

(I)y=x(l-2x)=gx2x(l—2x),利用基本不等式求解.

x(x+1)2

(2)設(shè)r=x-l?21),曠=幺上上=，+—+3,利用基本不等式求解.

x-1t

【詳解】

(1)y=x(l-2x)~~x2x(1-2x)<(以十；~—)2=",

當(dāng)且僅當(dāng)2x=l—2x,即％=工時等號成立，

4

的最大值為

(2)由題意,設(shè)rX-1Q21),貝Ijx=f+1,

x(x+l)(r+l)(r+2)

則y=----=------------，

x-\t

='+3，+2={+-+3>242+3^

tt

2

當(dāng)且僅當(dāng)r=7時，即/=&時，即％=&+1時取等號，

所以函數(shù)曠=至=D的最小值為28+3.

X-1

9

19.已知函數(shù)/(x)=x+----(x>3).

x—3

(1)求函數(shù)〃x)的最小值；

(2)若不等式一f+7恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

【答案】(1)9；(2)-l<r<2

【分析】

(1)根據(jù)基本不等式構(gòu)造積為定值，即可求出函數(shù)/(x)的最小值；

(2)由不等式/(x)N/—r+7恒成立，即/(同山2/一1+7,解不等式即可.

【詳解】

解：⑴x>3,

x—3>0,

QQIQ-

.-./(x)=x+--=(x-3)+—-+3>2J(x-3)---+3=9.

__

人'J人JX4J

9

當(dāng)且僅當(dāng)％-3=--,

x-3

試卷第16頁，總20頁

即(龍一3)2=9時，上式取得等號,

又%>3,

x=6,

???當(dāng)x=6時，函數(shù)/(x)的最小值是9；

(2)由(1)知/(x)的最小值是9,

???不等式)(力2*一/+7恒成立等價于9之/一.+7，

即「一，-2<0，

解得：

20.已知二次函數(shù)/(x)滿足"x)=/(2—x),且"1)=7,f(3)=3,

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)是否存在實數(shù),〃，使得二次函數(shù)/(x)在［-1,3］上的圖象恒在直線y=/nx+I的

上方？若存在，求出實數(shù)，”的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)/(X)--X2+2X+6；(2)存在；f-2,1\

【分析】

(1)根據(jù)題意，分析可得f(x)的對稱軸為x=l，結(jié)合/(1)=7的值設(shè)

/(x)=a(x—1>+7,又由/(3)=3,可得。的值，即可得函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)題意，假設(shè)存在存在實數(shù)相，可得/+(機—2)x—5<0在［-1,3］上恒成立,

g(―1)=—iTi—2<0,

設(shè)g(x)=f+(加一2)尤一5,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得〈小、cc八，解可得

g(3)=3//Z-2<0

，”的取值范圍，即可得答案.

【詳解】

(1)因為/(x)=/(2-x),所以二次函數(shù)/(x)的圖象的對稱軸為x=l，

又/⑴=7,故可設(shè)二次函數(shù)/(x)=a(x—1了+7,

又因為/(3)=3,所以4。+7=3,解得：a=-\,

所以/'(x)=-(x—1)2+7=—f+2%+6；

(2)假設(shè)存在實數(shù)加，使得二次函數(shù)/(幻在［-1,3］上的圖象恒在直線y=mr+l的

上方，等價于不等式一丁+2x+6>mx+l,

即f+（加一2）工一5<0在［-1,3］匕恒成立，

g（-1）=一m_2v0,

令冢%）=%2+（加—2）工一5，即等價于，，

g⑶=3加-2<。

解得：-2<〃2<一，

3

所以實數(shù)機的取值范圍為（一2,：］

21.已知關(guān)于x的不等式V+12<0的解集為（-6,ft）.

（1）求實數(shù)"?，"的值；

（2）正實數(shù)。，力滿足加z+2〃仍=2.

①求LL的最小值；

ah

②若2。+16〃720恒成立，求實數(shù)，的取值范圍.

【答案】（1）.：：：；（2）①9；②（—8,2夜］.

【分析】

（1）根據(jù)一元二次不等式的解集先求解出川的值，然后求解出不等式的解集即可求解

出〃的值；

（2）①先根據(jù)條件得到。+4。=1,然后利用“1”的代換將’+變形為

ab

（a+4b）［：+（）,再結(jié)合基本不等式求解出最小值；

②根據(jù)條件可得至42"+16&）.>t,利用基本不等式求解出（2"+16"）.,貝〃的范圍

可求.

【詳解】

（I）因為f