2022北京北大附中初三11月月考數(shù)學(xué)試卷含答案

2022北京北大附中初三11月月考

數(shù)學(xué)

班級(jí)姓名

一、選擇題（本題共32分，每小題4分，請(qǐng)把選擇題答案寫(xiě)在答題卡中，試卷上作答無(wú)效）

1.如圖，以點(diǎn)尸為圓心作圓，所得的圓與直線/相切的是（）

A.以R1為半徑的圓B.以尸2為半徑的

C.以尸C為半徑的圓D.以夕。為半徑的圓

2.如圖，A48C中，CA=CB,。是底邊AB的中點(diǎn)，若腰C/B與。。相切，則C4與O。的位置關(guān)系為

（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

3.如圖，A,B,C是某社區(qū)三棟樓，若在ZC中點(diǎn)。處建一個(gè)5G基站，其覆蓋半徑為300m,則這三

棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.N,B,C都不在B.只有8

C.只有CD.A,B,C

4.若扇形的半徑為2,圓心角為90°，則這個(gè)扇形的面積為（）

A.-B.乃C.2〃D.4萬(wàn)

2

5.用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為4cm的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長(zhǎng)

為（）

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

6.如圖，過(guò)G）O外一點(diǎn)P作。。的兩條切線PD、PB,切點(diǎn)分別為。、B,作直徑A8，連接A。、BD，

若NP=80°，則/A的度數(shù)為（）

B.60°C.70°D.80°

C（4,-2）,則“IBC外心的坐標(biāo)為（）

C.(1,0)D.(1,-2)

8.京西某游樂(lè)園的摩天輪采用了國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風(fēng)格更加簡(jiǎn)約.如圖，摩天輪直徑88米，最高點(diǎn)A

距離地面100米，勻速運(yùn)行一圈的時(shí)間是18分鐘.由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地面的距離超過(guò)34

米時(shí)，可視為最佳觀賞位置，在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長(zhǎng)為（）分鐘.

C.10D.12

二、填空題（本題共32分，每小題4分，請(qǐng)把填空題答案寫(xiě)在答題卡中，試卷上作答無(wú)效）

9.如圖，0。的直徑A8垂直于弦CD,垂足為E.若ZB=60°,AC=3,則CO的長(zhǎng)為.

D

B

10.如圖，點(diǎn)。為AABC的內(nèi)心，NA=70°,則/8O。的度數(shù)為

11.如圖，AB是。。的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)8的切線上，且OC_LQA,OC交A8于點(diǎn)P，已知N0LB=23°,

則N0C8=_______.

12.如圖，已知正六邊形的邊心距為3,則它的周長(zhǎng)是

或。?比

C"--------

13.如圖，點(diǎn)A,B,。在。0上，順次連接A,B,C,0.若四邊形ABC。平行四邊形，則

ZAOC=________0.

14.如圖，Q4交。0于點(diǎn)8,PB=4,A3=4，OO的半徑為5,則OP的長(zhǎng)為

A

B

15.如圖，在R/ZV18C中，ZACB=90Q,NC=BC=4,以3c為直徑的半圓交48于。，P是弧CD上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接NP,則4P的最小值是

16.已知如圖，M（陽(yáng),0）是x軸上動(dòng)點(diǎn)，。/半徑尸=2右，若與直線y=x+2相交，則”？取值范

圍是________

三、解答題（本題共36分，第18、19每題6分，第17、20、21每題8分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字

說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.下面是小石設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過(guò)程.

已知：如圖1,（DO及。。上一點(diǎn)尸.

求作：直線PN,使得PN與。。相切.

作法：如圖2,

①作射線OP；

②在。。外取一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不在射線OP上），以Q圓心，QP為半徑作圓，0Q與射線OP交于另一點(diǎn)

M；

③連接MQ并延長(zhǎng)交。Q于點(diǎn)N；

④作直線PN.

所以直線PN即為所求作直線.

根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面證明.

證明：YMN是。。的直徑，

:.NMPN=0（）（填推理的依據(jù)）.

OP1PN.

又,:OP是。。的半徑,

.?.尸N是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

圖1圖2

18.已知加2+加一3=0，求代數(shù)式（團(tuán)+1）（加-1）+加。*+2）的值.

19.如圖，在中，點(diǎn)E是弦CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0,E作直徑AB（AE>BE），連接80，過(guò)點(diǎn)。作

CF〃BD交AB于點(diǎn)、G,交于點(diǎn)尸，連接■.求證：AG=AF.

20.如圖，已知AB是的直徑，點(diǎn)P在84的延長(zhǎng)線上，AB=BE，PD切于點(diǎn)D,交EB于點(diǎn)、

C,連接AE.

（2）連結(jié)OC,如果尸0=26，ZABC=60°,求OC的長(zhǎng).

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（-1,加），《〃）在拋物線丁=以2+區(qū)+。3>0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸

為X=t.

（1）當(dāng)c=2,m=〃時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及，的值；

（2）點(diǎn)（%,加）（天）/一1）在拋物線上.若〃?<〃<c,求r的取值范圍及質(zhì)的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（本題共32分，每小題4分，請(qǐng)把選擇題答案寫(xiě)在答題卡中，試卷上作答無(wú)效）

1.【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷即可得出.

【詳解】解：?.?PC，/于&

???以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓與直線/相切.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：判斷直線和圓的位置關(guān)系:設(shè)的半徑為廠，圓心。到直線/

的距離為d,若直線1和QO相交=d<r,直線/和00相切="=/?，直線/和0（9相離。d>r.

2.【答案】B

【解析】

【分析】腰8c與。。相切，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OC,OF,過(guò)。點(diǎn)作0E1AC,如圖，如圖，根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)得到CO平分NACB,則利用角平分線的性質(zhì)得=然后根據(jù)切線的判定定理可判斷

AC與相切.

【詳解】解：：C4=C5,

二AABC為等腰三角形，

?.?腰8C與相切，設(shè)切點(diǎn)為F,

.?.OF為。。的半徑，OF上BC,

連接OC,OF,過(guò)。點(diǎn)作如圖，

O是等腰MBC的底邊的中點(diǎn)，

OC平分NACB,

V0E1AC,OF±BC,

：.OE=OF,

二AC與。。相切.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了等腰三角形的性質(zhì)、

角平分線的性質(zhì)和切線的判定.

3.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角形邊長(zhǎng)然后利用勾股定理逆定理可得AABC為直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線

性質(zhì)即可得.

【詳解】解：如圖所示：連接8。，

???AB=300，3c=400，AC=500，

?-?AC2=AB2+BC2，

??.AABC為直角三角形，

??,D為ZC中點(diǎn)，

.?.AD=CO=30=250,

???覆蓋半徑為300,

??./、B、C三個(gè)點(diǎn)都被覆蓋，

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用兩個(gè)定理是

解題關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】

【分析】直接利用扇形的面積公式計(jì)算.

njtr190xx22

【詳解】這個(gè)扇形的面積:3e———TC?

360360

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算：扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是〃°,圓的半徑為R的扇形面積為

S，貝uS扇形=合乃R2或S扇形=g東

（其中/為扇形的弧長(zhǎng)）.

5.【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）列式求解即

可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,

180x萬(wàn)?/

由題意得:2x4)=

180

??/—8cmf

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟知圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）是

解題的關(guān)鍵.

6.【答案】A

【解析】

【分析】如圖，連接。。，可得NODP=NO3P=90°,再利用四邊形的內(nèi)角和定理求解N8QD,從而

可得答案.

?.?過(guò)外一點(diǎn)P作。O的兩條切線P。、PB,

:./0DP=/0BP=9Q°,

,:NP=80。，

ZDOB=360°-90°-90°-80°=100°.

：.ZA=-ZDOB=50°,

2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，作出過(guò)切點(diǎn)的半徑

是解本題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】

【分析】如圖，取格點(diǎn)E，F(xiàn),G,H,且直線G”是線段的垂直平分線，四邊形AFCE是正方形，

則可得G”，跖的交點(diǎn)為。為AABC的外心，再分別求解G”，斯的解析式即可得到答案.

【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)E，F(xiàn),G,H,則直線G”是線段3C的垂直平分線，四邊形AFCE是正

方形，

直線EF是線段AC的垂直平分線，

記GH,EE的交點(diǎn)為。，則。為的外心,

?.?A（T,3）,B（-2,-2）,。（4,一2）,

.?.直線G”為x=l,E（4,3）,F（-l,-2）,

設(shè)直線EF為y=^+6,

'4k+b=3k=1

解得:

-k+b=-2'b=-\

...直線所為y=x-i,

當(dāng)x=l時(shí)，y=o,

Q(1,O),即AABC的外心坐標(biāo)為：(1,0).

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，正方形的性質(zhì)，三角形的外心的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)

的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)”是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】D

【解析】

【分析】先求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為每分鐘20。，再求出OC=22米，則。。=,。8,得NO3C=30°,

2

然后求出最佳觀賞位置的圓心角為240°,即可求解.

【詳解】解：如圖所示：

N

360°

摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為每分鐘：--=20°,

18

由題意得：AD1BC,AD=88米，AM=1（X）米，CM=BN=34米,

則QB=QD=44（米），DM^AM-AD^12（米），

ACD=CM-DM=34-12=22（米），

/.OC=OD-CD=22（米），

OC=-OB,

2

ZOCB=90°,

sinZOBC=-,ZOBC=30°,

2

ZBOC=90°-30°=60。，

，ZAOB=180°-ZBOC=120°,

...最佳觀賞位置的圓心角為2x120。=240°,

240°

...在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長(zhǎng)為：=12（分鐘），

20°

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，求出

=30°是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共32分，每小題4分，請(qǐng)把填空題答案寫(xiě)在答題卡中，試卷上作答無(wú)效）

9.【答案】3

【解析】

【分析】連接A。，推出直徑是弦8的垂直平分線，得到是等邊三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：連接AD，

4=60。，

Z￡）=N8=60。，

???QO的直徑AB垂直于弦CD,

：.CE=DE,即直徑AB是弦CD的垂直平分線,

:.AD=AC,

.?.△ADC是等邊三角形，

:.CD=AC=3，

故答案：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明△AOC是等邊三角形是解

題的關(guān)鍵.

10.【答案】1250用125度

【解析】

【分析】利用內(nèi)心的性質(zhì)得出=ZACO=ZBCO=-ZACB,進(jìn)而利用三角

22

形內(nèi)角和定理得出NO3C+NOCB,進(jìn)而求出答案.

【詳解】解：；。是&4BC的內(nèi)心，

AZABO=ZCBO=-ZABC,ZACO=ZBCO=-ZACB,

22

VZA=70°,

,AABC+AACB=180°-70°=110。，

ZOBC+ZOCB=g(ZA8C+NACB)=55°,

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=125°.

故答案為125。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，正確得出NQBC+NOC3=55°是

解題關(guān)鍵.

11.【答案】46°##46度

【解析】

【分析】首先連接OB,由點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)8的切線上，且OC_LQ4,根據(jù)等角的余角相等，易證得

ZCBP=/CPB=67°,利用三角形的內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】解：連接。8,

BC是。0的切線，

:.OB1BC,

:.NOBA+NCBP=90°,

'：OC1OA,

:.Z4+ZAPO=90°,

VOA=OB,ZOAB=23°,

:.ZOAB=ZOBA=23°,

：.ZAPO=ZCBP=90°-23°=67°,

,ZZAPO=NCPB,

：.NCP3=ZAPO=67。，

...ZOCB=180°-67°-67°=46°,

故答案為：46.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

12.【答案】12百

【解析】

【分析】連接OC、QD,作?！╛LCQ于”，由正六邊形的性質(zhì)得出"C=HO=，CD,NCQD=60。，

2

得出△COZ）為等邊三角形，NCOH=ZDOH=30°,由三角函數(shù)求出OC,得出。，即可求出正六邊

形的周長(zhǎng).

連接OC、O。，作。于H,

貝|JNO〃C=/Q〃D=90°,HC=HD=-CD,400=60。,

2

/.MOD為等邊三角形，ZCOH=ZDOH=30°.

二CO—CD,

：OH=3,

OH

0C==2百,

cos30°

二CO=20,

...正六邊形的周長(zhǎng)=6AB=12百.

故答案為：12JJ.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，運(yùn)用

三角函數(shù)求出OC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

13.【答案】120

【解析】

【分析】連接OB,先證明四邊形ABCD是菱形，然后再說(shuō)明aAOB、AOBC為等邊三角形，最后根據(jù)等

邊三角形性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：如圖：連接OB

:點(diǎn)A,B,。在。0上

.,.OA=OC=OB

V四邊形A8C0為平行四邊形

四邊形4BCO是菱形

OA=OC=OB=AB=BC

.?.△AOB、△OBC為等邊三角形

AZAOB=ZBOC=60°

ZAOC=120°.

故答案為120.

C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意證得aAOB、aOBC為等邊三角形是解

答本題的關(guān)鍵.

14.【答案】V57

【解析】

【分析】利用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用勾股定理解題.

【詳解】過(guò)。點(diǎn)作OCLB4于P，連接。4,OP,

222

在RtA6MC中，oc=y/o^-AC=V5-2=V21，

在RGOPC中，OP=yjoC2+PC2=J（⑨『+62=V57.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】2石-2

【解析】

【分析】連接0/交弧CD于P,利用三角形三邊的關(guān)系可判斷此時(shí)/尸的值最小，然后利用勾股定理計(jì)算

出04從而可計(jì)算出此時(shí)4尸的長(zhǎng).

【詳解】解：連接。/交弧于P,如圖，

?：AP>OA-OP（當(dāng)0、P、N共線時(shí)取等號(hào)），

此時(shí)/P的值最小，

??Q="?+22=2亞,

：.AP=OA-OP=245-2,

即“尸的最小值是2逐-2.

故答案為：26-2.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，最短路徑問(wèn)題，正確理解題意得到連接04交弧C。得到點(diǎn)P是解題的關(guān)

鍵

16.【答案】-6<m<2

【解析】

【分析】如圖，當(dāng)點(diǎn)”在X正半軸且。"與直線y=x+2相切于點(diǎn)C時(shí)，設(shè)直線y=x+2是X軸，V軸

分別交于8、A,連接CM',先求出48坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB=2及，證明△AOBs/iMCB,求出

OM'=2,得到M'（2,0）,同理求出當(dāng)“在x軸負(fù)半軸且與直線y=x+2相切時(shí)的坐標(biāo)為

（■6,0）,由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M在X正半軸且。"與直線y=x+2相切于點(diǎn)C時(shí)，設(shè)直線y=x+2是X軸，

y軸分別交于8、A,連接CM',

ZBCMr=90°,CAT=20，A（0,2）,3（-2,0）,

AB=yJo^+OB2=2V2，

ZABO=NM'BC,ZAOB=ZM'CB=90。，

△AOBs^MCB,

.M'BCM'BnM'B20

??一，即--=-------，

ABOA2V22

:.M'B=4,

，OM'=2,

：.”（2,0）,

同理可求出當(dāng)〃在x軸負(fù)半軸旦OM與直線y=x+2相切時(shí)的坐標(biāo)為（-6,0）,

二當(dāng)OM與直線y=x+2相交，m的取值范圍是-6<加<2,

故答案：-6<m<2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，正確求出當(dāng)圓與

直線相切時(shí)圓心的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共36分，第18、19每題6分，第17、20、21每題8分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字

說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）90,直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半

徑的直線是圓的切線

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可k

（2）根據(jù)圓周角定理可得NMPN=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得結(jié)論.

【詳解】（1）（1）補(bǔ)全圖形如下圖；

（2）證明：:MN是。。的直徑，

:.NMPN=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）.

:.OPYPN.

又,:0P是。。的半徑，

是。。的切線（經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）.

故答案為：90,直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定及圓周角定理，正確作出圖形是解題關(guān)鍵.

18.【答案】5

【解析】

【分析】先將加+加一3=0變形為＞=3_〃？，再將（加+1）（帆-1）+皿加+2）去括號(hào)變形為

nr—\+m2+2加，最后代入〃，=3-即可化簡(jiǎn)求值.

【詳解】解：TH2+—3=0，

m2=3—

（m+l）（/w-1）+m（m+2）

-m2-l+nr+2m

=3—m—\+3—m+2m，

=5

所以該代數(shù)式的值為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算、平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

19.【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理得到4B_LCD,則AO=AC，根據(jù)圓周角定理得到NB=NF，根據(jù)平行線的性

質(zhì)得出NAGE=ZB,等量代換得到NAG/=NE,再根據(jù)等角對(duì)等邊即可得解.

【詳解】證明：為。。的直徑，點(diǎn)E是弦CD的中點(diǎn)，

:.AB1CD,

AD—AC）

:.ZB=ZF，

■：CF//BD,

ZAGF=ZB,

：.ZAGF=NF,

:.AG=AF.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解

題的關(guān)鍵.

20.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）J7

【解析】

【分析】⑴連接OD,由OA=OD,BA=BE,得NZMO=NADO=NBE4,從而OD〃BE；由PD切圓

O于點(diǎn)D得4W=90。，從而NPCB=NPDO=90°,即BELPC；

（2）在RtaPDO中，先求出/POD=60。，再求出OD,OP,PB,在RsPCB中，求出PC,再求CD,最

后在RtACDO中，利用勾股定理求出OC.

【詳解】（1）證明：連結(jié)

\-OA=OD,:.ZDAO^ZADO,

?.?/5。切圓。于點(diǎn)￡＞，；.~0，。0，

.?.NPDO=90°

?;AB=BE，:"E=/DAO,;