2023年遼寧省丹東市高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1,中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)''合稱"六藝“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連

排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，貝！1“六藝”課程講座

不同的排課順序共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

2.在AAbC中，角A、B、C所對的邊分別為“、b、c,若acosB—bcosA=￡,則沫二()

42c2

3111

A.—B.-C.-D.—

2248

3.若犬2+3的展開式中/的系數(shù)為150,則/=()

A.20B.15C.10D.25

4.已知全集0=11,集合A={x|x<l},B={x|-l<x<2},則(Q,A)nB=()

A.{x[l<x<2}B.{x|l<x<2|C.|x|-l<x<l|D.

5.已知函數(shù)y=log“(x+c)(“，c是常數(shù)，其中。＞0且awl)的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于c的表述正確

X

A.<7>1,C>1B.a>\90<C<1

C.OVQ<1,c>\D.0<QVl,O<C<1

6.復(fù)數(shù)z滿足+=貝！jz=()

A.1-iB.l+iC?--------1D.----1---1

2222

7.如圖，AABC內(nèi)接于圓。，AB是圓。的直徑，DC=BE,DC//BE,DCLCB,DCLCA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-ABC體積的最大值為()

8.如圖，AABC中NA=2ZB=60°,點。在3c上，ZBAD=30°,將△AB。沿AO旋轉(zhuǎn)得到三棱錐B'-AOC,

分別記B'A,8'。與平面40c所成角為a,夕，則a,夕的大小關(guān)系是（）

A.a<P<2aB.2a<P<3a

C.（3<2a,2。</《31兩種情況都存在口.存在某一位置使得/>3a

9,若函數(shù)/（￡）=]2+2*-加85（%+1）+m2+3加-7有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）

—3—V37?—3+x/37?_

AA.--------B.--------C.-4D.2

22

22

10.已知丹、居是雙曲線4=l（a>0/>0）的左右焦點，過點K與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另

ab

一條漸近線于點若點加在以線段片6為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(2,4-CO)c.(&,省)D.(1,V2)

11.已知復(fù)數(shù)2滿足z(l+i)=4-3i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)二在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為()

5夜

F

12.已知函數(shù)/0)=-。5由3工+。+儀。＞0,萬€11)的值域為[-5,3],函數(shù)g(x)=/?—cosav,則g(x)的圖象的對

稱中心為()

k7T

T(ZGZ)(kwZ)

(ZeZ)伏eZ)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓柱的上下底面的中心分別為。,。2,過直線GO?的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該

圓柱的體積為一

的展開式中的常數(shù)項為

15.設(shè)平面向量￡與坂的夾角為凡且歸+囚=1,口一@=百，則e的取值范圍為.

16.已知函數(shù)/(x)=e'+QC-l,若婚J(x)0恒成立，則。的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐中，PAL底面ABC。，ABA.AD,點E在線段上，且CE〃AB.

(1)求證：CEL平面24￡＞；

(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=42.NQM=45°,求二面角P—底一8的正弦值.

In_r-U/7X

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=---,aeR

e

(D若函數(shù)y=/(x)在％=%0(m2＜$＜1113)處取得極值1,證明：2-±＜。＜3—?。?/p>

(2)若/(x),,x一1■恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

e

22

19.(12分)已知橢圓：C:=+]=l(a>b>0)的四個頂點圍成的四邊形的面積為2厲，原點到直線土+?=1的

abab

距離為我.

4

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知定點P(0,2),是否存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A,B兩點,且以IA例為直徑的圓過橢圓C的左

頂點？若存在，求出/的方程：若不存在，請說明理由.

20.(12分)為了響應(yīng)國家號召，促進垃圾分類，某校組織了高三年級學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷

作答隨機抽出男女各20名同學(xué)的問卷進行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.

(H)從上述樣本中，成績在60分以下(不含60分)的男女學(xué)生問卷中任意選2個，記來自男生的個數(shù)為X,求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:

p(j)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

-be)?

K2=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

JT

21.(12分)如圖，在AABC中，AC=2,NA=—,點。在線段43上.

3

c

(1)若COS/CO6=1L,求CO的長;

3

(2)若AD=2DB,sinZACD=77sinZBCD,求MBC的面積.

Inx

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=xe',g(x)=——

x

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)當(dāng)x>0時，求證：/(x)>g(x).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，貝臚射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有A；=2種，剩余的3門全排列,

即可求解.

【詳解】

由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，貝！J“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6

節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有&=2種，

剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有A；=6種，

所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有3x2x6=36種不同的排法.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵，

著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.

【詳解】

a2+c2-b2.b2+c2-a2c

由余弦定理得:a-----------b-----9-----

2ac2bc4

整理可得：a2-b2=—,.-.^-^1=1.

42c28

故選：D.

【點睛】

本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到=i5（）f,即得解.

【詳解】

=5（打［3=嶗（4）二

由已知得1旬

故當(dāng)廠=2時,12-3r=6,

于是有=150%6,

則/=10.

故選：C

【點睛】

本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

4.B

【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可.

【詳解】

解：全集U=R,集合A={x|x<l},B={x|-l<x<2）,

則(dA)nB={x|湄}n{x|-l掇2}={x|1A?2},

故選：B.

【點睛】

本題考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.

【詳解】

從題設(shè)中提供的圖像可以看出0<a<1,log“C>0,log.(l+c)>0,

故得0<c<l,()<a<l,

故選：D.

【點睛】

本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.

【詳解】

解.z=H*=3(1)血―罵

'l+i1+i(l+z)(l-z)222

故選：C

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

根據(jù)已知證明BE1平面ABC,只要設(shè)AC=a則=m(0<x<2),從而可得體積

-=gjx2(4_%2),利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因為DC=BE,DCUBE,所以四邊形0cBe為平行四邊形.又因為DC±CB,DC±CA,CBnC4=C,CBu平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。C_L平面ABC,所以BE1平面ABC.在直角三角形45E中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則3。=，4-/（0＜、＜2）,

所以5入死=：4080=：工14一d,所

以%=；Jx2（4_\）.又因為％2（4_爐）《〔r+4一r],當(dāng)且僅當(dāng)

66I2，

\（丫242丫

X2（4-X2）＜,即x=0時等號成立，

所以(4-ABC)

故選：B.

【點睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長為X,

用建立體積V與邊長x的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

8.A

【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得。、口角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得

答案.

【詳解】

由題可得過點B作BE_LAD交AD于點E,過夕作CD的垂線，垂足為0,則易得a=N￡AO,0=ZB'DO.

設(shè)8=1,則有BD=AD=2,DE=1,BE=#)

二可得AB，=AB=26，BD=BD=2.

;sina=空,sin外三

AB'DB'

/.sin=V3sina>sina,:.B>a：

VOB'e[0,yf3]，,since[0,g]

1?"sin2a=2sinacosa=2sina\1-sin1a，

271-sin2ae2],sin2a..途sina=sin/?,

綜上可得，a</3?2a.

故選：A-

【點睛】

本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水

平.

9.D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=—l對稱，由題意得出/(-1)=0,進而可求得實數(shù)加的值，并對心的值進

行檢驗，即可得出結(jié)果.

【詳解】

/(%)=(%+1)—-mcos(x+l)+/??2+3m—8,

貝!J/(—1+x)=(-1+%+1)'—mcos(—l+x+l)+m2+3m—8--x2—mcosx+m2+3m—8,

/(—1—%)=(—1—%+l)'—mcos(—1—x+l)+m2+3m—S=x2—mcosx+m2+3m—8,

.?./(-l+x)=/(-l-x),所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱.

若函數(shù)y=/(x)的零點不為x=-l,則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.

所以，/(-1)=0,即加+2加—8=0,解得加=~4或2.

①當(dāng)機=-4時，令/(x)=(x+l)——4cos(x+l)-4=0,得4cos(x+l)=4—(x+l『，作出函數(shù)y=4cos(x+l)與

函數(shù)y=4—(x+l『的圖象如下圖所示：

此時，函數(shù)y=4cos(x+l)與函數(shù)y=4—(x+l)2的圖象有三個交點，不合乎題意；

②當(dāng)加=2時，???cos(x+l)Wl,.?./(X)=(X+1)2—2COS(X+1)+220,當(dāng)且僅當(dāng)x=—l時，等號成立，則函數(shù)

y=/(x)有且只有一個零點.

綜上所述，m=2.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出/(-1)=0,在求出參數(shù)

后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

10.A

【解析】

22

雙曲線「-4=1的漸近線方程為y=±—x,

a2b2a

不妨設(shè)過點F,與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=-(x-c),

a

與y=-2x聯(lián)立，可得交點-與)，

a22a

???點M在以線段FIFI為直徑的圓外，

c2b2c2

.,.|OM|>|OFi|,即有一+—>c',

446rr

./力

??—―;即b'>3a',

a

Ac1-ai>3al即c>la.

則e=—>1.

a

雙曲線離心率的取值范圍是(1,收).

故選：A.

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的

坐標(biāo)的范圍等.

11.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡z,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為|z|,利用模長公式即得解.

【詳解】

由題意知復(fù)數(shù)2在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為IZI，

故選：B

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，模長公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

由值域為1-5,3］確定。涉的值，得g(x)=-5-cos4x,利用對稱中心列方程求解即可

【詳解】

因為/(幻€［仇2。+切，又依題意知/(幻的值域為［-5,3］,所以2。+〃=3得a=4,b=-5,

rrKTT7T

所以g(x)=-5-cos4x,令4x=k%+—(ZwZ),得％=—+—(%wZ),則g(x)的圖象的對稱中心為

248

故選：B

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對稱中心，重點考查值域的求解，易錯點是對稱中心縱坐標(biāo)錯寫為0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.54萬

【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】

解：因為軸截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V=乃=TTX32x6=547r

故答案為：54〃

【點睛】

考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.

14.135

【解析】

寫出展開式的通項公式，考慮當(dāng)x的指數(shù)為零時，對應(yīng)的值即為常數(shù)項.

【詳解】

卜—日）的展開式通項公式為：丁3=c;.（/廠卜日）=C；?卜@’.內(nèi)，

令r=4,所以C：?（-6/=135,所以常數(shù)項為135.

故答案為：135.

【點睛】

本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是，能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應(yīng)，?的

取值.

【解析】

根據(jù)已知條件計算出同？+時=2,結(jié)合忖+同=1得出利用基本不等式可得出同?間的取值范圍，利用

平面向量的數(shù)量積公式可求得cos。的取值范圍，進而可得出。的取值范圍.

【詳解】

...,+同=1,忖一同=g,同2+,『=g(忖+5.+卜一司2)=2,

由忖+同=1得/+2￡%+萬2=］,./%=—g,

由基本不等式可得2=忸『+問222同.問，...0<同.同<1,

v-l<cos0<l,?coso--2__i_J_,

?曾|柳州帆L2」

24

Q0<3</r,因此，。的取值范圍為彳,萬.

2萬

故答案為：號，萬.

【點睛】

本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.

16.f—l,+oo)

【解析】

求導(dǎo)得到/'(x)="+a,討論a+L.O和a+l<0兩種情況，計算a+l<0時，函數(shù)/(x)在［0,%)上單調(diào)遞減，故

/(x)?/(0)=0,不符合，排除，得到答案。

【詳解】

因為/(x)=e*+6一1,所以/'(?ne'+a,因為x..O,所以/'(x)..a+l.

當(dāng)”+1..0,即時，/(x)..O,則f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，從而/(x)../(0)=(),故符合題意；

當(dāng)。+1<0,即〃<一1時，因為尸(x)=e'+a在0+8)上單調(diào)遞增，且八0)="+1<0,所以存在唯一的

x°G(0,+00),使得r(x0)=O.

令/'(x)<0,得0,,x<x°,則f(x)在［0,不)上單調(diào)遞減，從而/(x),"(0)=0,故“<-1不符合題意.綜上，。的取

值范圍是［-1,+8).

故答案為：［-1,+8).

【點睛】

本題考查了不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)4

【解析】

(1)要證明CE，平面只需證明CELP4,CE1AD,即可求得答案；

(2)先根據(jù)已知證明四邊形ABCE為矩形，以A為原點，43為x軸，AZ)為)'軸，”為z軸，建立坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

求得平面PEC的法向量為〃，平面BEC的法向量而，設(shè)二面角P-CE—3的平面角為。，COS6=|COS&ZA〉］,

即可求得答案.

【詳解】

(1):PAL平面ABC。，CEu平面ABCD,

PALCE.

vAB±AD,CE//AB,

???CE1AD.

又：PAr>AD=A,

C￡_L平面PAD.

(2)由(1)可知CELAO.

在?△ECD中，DE=CDcos45°=b

CE=C￡)-sin45O=l.

???AE=AD-ED=2.

又.?A6=CE=1,AB/ICE,

，四邊形ABCE為矩形.

以A為原點，4?為x軸，AO為,軸，AP為二軸，建立坐標(biāo)系A(chǔ)一肛z,

如圖：

則：A(0,0,0),C(l,2,0),E(0,2,0),P(0,0,l),

.PC=(1,2,-1),PE=(0,2,-l)

設(shè)平面PEC的法向量為A=(x,y,z),

n-PC=o

<

n-PE-0

x+2y-z=0

即,,

2y-z=0

令y=l,則z=2,x=0

.,.I=(0,L2)

由題24,平面ABC。，即平面BEC的法向量為Q=(0,0,1)

由二面角P-CE—B的平面角為銳角，

設(shè)二面角P-CE-B的平面角為9

------.92亞

即cos0=|cos〈〃,AP)|=什可

sin0-A/1-COS26-亨

,二面角P—C￡—8的正弦值為：誓

【點睛】

本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查

了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

18.(1)證明見詳解；(2)(F,1]

【解析】

(1)求出函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x),由/(為在X=x0處取得極值1,可得/'(%)=0且=1.解出

?11

a=e0-一，構(gòu)造函數(shù)?幻=產(chǎn)-一(x>0),分析其單調(diào)性，結(jié)合In2</<In3,即可得到〃的范圍，命題得證;

xox

(2)由/(x),,x-4分離參數(shù)，得到叱-,恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e?'-叱—'，求導(dǎo)函數(shù)

exxxx

g'(x)=r-，？nx,再構(gòu)造函數(shù)力⑴=xV+lnx,進行二次求導(dǎo)/(x)=(/+2x)e*+L由x〉0知//(%)>0,

XX

則〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知/?(%)有唯一零點七，且：<%<1.由此判斷出xe(0,百)時,

g。)單調(diào)遞減，%￡(%,+cC)時，g(X)單調(diào)遞增，則雙工焉=g(%)，即％一，■一，■.由/l(玉)=0得

Inx,1

—L,再次構(gòu)造函數(shù)A(x)=xe'(x>0),求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得百=-111%，即e最終求得

x\

g(x)=l，則④L

【詳解】

+a(inX+aX)

解：(1)由題知，f'(xyS~

ex

???函數(shù)y=/(x)在％=/，處取得極值1，

(日

:+a-ln/+")xIn%十%

.??/U)=-——7----------=0,且〃。卜=1,

—+6z=lnx0+ar0=^

%

令r(x)=ex--(x>0),則r(x)=ev+與>0

xx

「?"X)為增函數(shù),

,/0<In2<x0<In3

r(ln2)<a<r(ln3),即2———<a<3——成立.

In2In3

(2)不等式恒成立，

即不等式加"—Inx-orN1恒成立，即以，ex------,恒成立,

XX

2x

人/、Inx1…，Y1-lnx1xe+Inx

令g(x)=e-----------，則g(尤)="_+—

XXx2X2X2

2xx1

令h(x)=xe+lnx,貝！J"(x)=(公+2xje+一，

x

vx>0,?.?/(x)>0,

在((),+<◎上單調(diào)遞增，且〃(l)=e>0,=

h(x)有唯一零點%,且;<%<1,

當(dāng)xe(O，w)時，/?(%)<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(xp+oo)時，/?(%)>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

???8(%)山1=8(玉),

由〃(飛)=0整理得無。"=一嶼

x\

?/<1,-In>0

令Mx)=xe”(x>0),則方程玉e"=一4等價于Z(xJ=M-lnxJ

x\

而k'(x)=(x+l)ev在((),+8)上恒大于零，

??M(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

?.?左(玉)=后(一In^).

玉=-111%,

??.exXx=—1

%

r.g(止d_嶼/」_5」=1,

玉玉X]王X]

4,1

二實數(shù)”的取值范圍為(-8』].

【點睛】

本題考查了函數(shù)的極值，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問題.

其中多次構(gòu)造函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于綜合性很強的難題.

19.(1)—+^-=1；(2)存在，且方程為y=2?x+2或y=^x+2.

5355

【解析】

（1）依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到

（3+5公產(chǎn)+20依+5=0,要使以為直徑的圓過橢圓C的左頂點。卜石,0）,則方.詼,結(jié)合韋達(dá)定理

可得到參數(shù)值.

【詳解】

（1）直線2+上=1的一般方程為法+紗—"=0.

ab

lab=2715

ab底“，a=5/5v~

依題意〈EF'解得「，故橢圓C的方程式為上+上=1.

b->J353

cr2=bi~2+c)

（2）假若存在這樣的直線/,

當(dāng)斜率不存在時，以|AB|為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓C的左頂點,

所以可設(shè)直線/的斜率為攵，則直線/的方程為丁=依+2.

由*得(3+5公)*2+20"+5=0.

3X2+5/=15V>、

由AndOO公—20(3+5公)>0,得ke,+8.

/

記A,8的坐標(biāo)分別為（々，必），

20人5

則%+*2=一，xx

3+5小i23+5/

而,%=（依+2）（3+2）+2后（西+馬）+4.

要使以|明為直徑的圓過橢圓C的左頂點￡>（-75,0）,則囪.麗=0,

即X%+（玉+6）［2+6）=（%2+1）為*2+R女+6）（玉+x2）+9=0,

所以儼+1）春一他+6）就+9=0，

整理解得女=2叵或左=0叵，

55

所以存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A，B兩點，且以|A四為直徑的圓過橢圓c的左頂點，直線/的方程為

2加.沖875c

y=---^+2或y=-----x+2.

55

【點睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次

的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解

決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式

的作用.

4

20.(I)填表見解析，有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)；(II)分布列見解析，y

【解析】

(I)根據(jù)莖葉圖填寫列聯(lián)表，計算代=答=3.956>3.841得到答案.

1Q9

(n)X=o,l,2,計算P(X=O)=石，P(X=1)=],P(X=2)=y,得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(I)根據(jù)莖葉圖可得：

男女總計

合格101626

不合格10414

總計202040

故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果””有關(guān).

(H)從莖葉圖可知，成績在60分以下(不含60分)的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人，從中任意選2人，基本事

件總數(shù)為C；=15,X=0,1,2

p(YA1pzynC；C；8C462

1515151515155

X012

182

P

1515

0xl+lx8+2x6_4

E(X)

153

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

21.(1)CD=—(2)更

42

【解析】

(1)先根據(jù)平方關(guān)系求出sinNC7M,再根據(jù)正弦定理即可求出C。；

(2)分別在AADC和中，根據(jù)正弦定理列出兩個等式，兩式相除，利用題目條件即可求出C8,再根據(jù)余弦

定理求出AB，即可根據(jù)S=,