2022-2023學年高三第二次模擬考試數(shù)學（理科）試卷（含解析）

2022-2023學年高三第二次模擬考試

數(shù)學（理科）試卷

一、單選題

1.設復數(shù)Z滿足i.z=—l+i（i是虛數(shù)單位），則|z|=（）

A.0B.—C.1D.：

22

2.已知集合4,8={x|log2x41}則AB=（）

A.{點vx<2}B.{xlO<x<21

C.{X-lvxv2}D.{x|—l<x<2j

3.已知雙曲線C:￡-1=l（a>（）力>。）的焦點到頂點的距離為1，且雙曲線的一條漸近線

與直線4x+3y=0垂直，則雙曲線C的方程為（）

x-y-\>0

4.已知實數(shù)x,p滿足卜+yNO則x-2y的最小值是（）

x<3

3

A.—3B.—1C.-D.9

2

5.如圖，在正六邊形ABCDE/中，若,目=2,G為CO的中點，則A8?AG（）

6.某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)丫（人）與月平均氣溫x-C）

之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的患病（感冒）人數(shù)與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表:

月平均氣溫

171382

40

月患病y（人）24334055

由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y=Zzr+a中的人=-2,氣象部門預測下個月的平均氣溫約

為6。（7,據(jù)此估計該社區(qū)下個月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38B.40

C.46D.58

7.已知數(shù)列｛%｝中，6=1,前”項和為S“，且滿足+則

8.定義在R上的偶函數(shù)〃x）滿足/（x）=/（2-x）,且當xx[0,l]時,/（x）=e\則

/UH）

L99

A.eB.&C.D.-

c2

9.如圖，在正四棱柱ABC￡）-4￡CQ中，AA,=2A。=2,點E為棱8片的中點，過A,

￡,G三點的平面截正四棱柱ABCD-A4GA所得的截面面積為（）

A.2B.2忘C.2行D.G

10.數(shù)列｛4｝中，如果?！?3〃（〃=1,2,3,…），那么這個數(shù)列是

A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為3的等差數(shù)列

C.首項為3的等比數(shù)列D.首項為1的等比數(shù)列

11.卜三世紀意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù):

b1,2,3,5,8,13,….即從第三項開始，每一項都等于它前兩項的和.后人為了

紀念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱該數(shù)列為

“兔子數(shù)列”.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列｛《,｝的說法不正確的是（）

A.。2021是奇數(shù)B.出+4+4++/o20="2021

C.4|+。3+“5++”2021="2022D.卬+/+%++“2021="2021”2022

12.已知a=sin±,〃='，c=lnl.l,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.h<c<a

二、填空題

13.若tana=4,tan(cr-/7)=6,則tan/?=.

14.二項式卜+^-2)’的展開式中x的系數(shù)為.

15.如圖，某款酒杯容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是16Gcn?的正三角形.

若在該酒杯內(nèi)放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則酒杯可放置圓

柱冰塊的最大體積為_____cm3.

16.已知平面內(nèi)兩定點A(-2,0),8(2,0),點“滿足=則動點M的軌跡

方程為:若平面內(nèi)兩動點尸(0,-加)，0(0,/n)(加＞0)滿足ZPMQ=90。,

則機的最大值為.

四、解答題

17.的內(nèi)角兒B,。的對邊分別為a,b,c,己知cos2c-3ssC-l=0

⑴求C;

⑵若C=2G，△/6C的面積為G，求a,6

18.某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學生每周平

均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間

的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)

(1)應收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？

(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖

所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[00,(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計

該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.

(3)視樣本數(shù)據(jù)的頻率為概率，現(xiàn)從全校取4名學生，記X為這四名學生中運動時間超

過4小時的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學期望.

19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD_L平面ABCD,底面ABCD為梯形，AB//CD,

ZBAD=90°,PA^PD=AD=AB^2,CD=4,E為PC的中點.

(1)證明：BE〃平面PAO；

(2)求三棱錐E-PBD的體積

20.已知函數(shù)F(x)=ae*-ln(x+l)-l(a21).

(1)當a=e時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積;

(2)若/(*)沒有零點，求a的取值范圍.

21.已知拋物線C：丫2=2*5>0)的焦點為兄,貝玉,4)為拋物線。上一點，且|叱|=4.

(1)求拋物線。的方程；

(2)設直線/：x=,wy+4與。交于〃力兩點，在x軸上是否存在定點只使得當〃變

化時，總有/必聆/用〉成立？若存在，求出點尸的坐標；不存在，請說明理由.

22.已知加GR,p-.“函數(shù)〃尤)=ln(〃V—/nr+1)的定義域為R”，q：“*e[0,3],使

得X；-2x0-m>0成立

(1)若(7為真命題，求實數(shù)必的取值范圍；

(2)若“pyq”為真命題，“。八4”為假命題，求實數(shù)〃的取值范圍.

23.已知正數(shù)a,b,c,d滿足42+尸+<?+6/2=1,證明：

(1)0<ac+bd<—；

2

1144

⑵/+屏+/+/236.

參考答案

1.A

【分析】由復數(shù)的除法法則求得z,再由復數(shù)的模長公式求解即可

【詳解】因為i-z=-l+i,

2平葉…

所以IzkJf+F=叵，

故選：A

2.B

【分析】先求出集合A,B,再結(jié)合交集的定義求解即可.

【詳解】由A=Nx2-x-2<o}={x|-l<x<2},

B={x|log2x<l|=1x|O<x<2|,

則A8={x[0<x<2}.

故選：B.

3.B

【分析】由焦點到頂點的距離為1,得到c-。=1,由雙曲線的一條漸近線與直線

4x+3），=0垂直，得到2==聯(lián)立求解.

a4

c-a=l

b3fa=4

【詳解】由題意得一二二，解得人，，

a4[b=3

a2+/=c2

所以雙曲線的方程為[-4=1.

169

故選：B.

4.B

【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，由直線截距的幾何意義即可求解.

【詳解】解：約束條件所表示的可行域如圖陰影部分（包含邊界），

試卷第5頁，共18頁

1z

令z=x-2y,則yx-],

由直線截距的幾何意義知，當直線y=經(jīng)過A(3,2)時在V軸上截距最大，

此時Z最小，所以z的最小值為z疝n=3-2X2=-1,即x-2y的最小值是T,

故選：B.

5.B

【分析】由A8-AG=|AB『+A8-8C+A8CG,再延長4c交于點//,得到各所求向

量間的夾角再求解即可

【詳解】如圖，延長46,DC交于懸H,

所以AB.AG=AB.(AB+BC+CG)=kB『+AB.BC+AB.CG

=4+2x2cos600+2xlcosl20O=5.

故選：B.

6.C

【分析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參

數(shù)，寫出回歸方程，進而估計下個月老年人與兒童患病人數(shù).

【詳解】由表格得丘3)為(1。,38),由回歸方程y=加+4中的力=—2,

，10x(-2)+。=38,解得々=58,即y=-2x+58，

試卷第6頁，共18頁

當x=6時,y=-2x6+58=46,

故選：C.

7.C

［分析］根據(jù)累加法求得數(shù)列｛??｝的通項公式,結(jié)合等差數(shù)列求得前”項和S,,.取倒數(shù)后,

即可根據(jù)裂項法求和，即可求解.

【詳解】數(shù)列｛%｝中,4=1,滿足可”=4,+1(〃€N*

則=1

所以數(shù)列(??｝是以q=1為首項，以d=1為公差的等差數(shù)列

由等差數(shù)列通項公式可得a,,=l+(〃-l)xl=〃

數(shù)列｛%｝前〃項和為S“，由等差數(shù)列的前〃項和公式可得

n(l+n)

“一—2~

所以!=工1。=211

Sn?(1+?)n〃+1

1111

IJIl—+—+—++—

5,s2s3s〃

^<111111____!_

=21——+----+-----+

I22334n—\nnn+1

2n

=2卜Q

/7+1

故選:C

8.B

【分析】根據(jù)f(x)是偶函數(shù)且滿足〃X)=〃2T)可求F(x)的周期，從而可將轉(zhuǎn)

化到［0』內(nèi)進行求值.

【詳解】是R上偶函數(shù)，??./Vx)=f(x),

又???/(》)=42—x),

.\/(x)=/(x-2),

故Hx)的一個周期是2,

故巾)"(2x2+￡)=/(￡p.

故選：B.

試卷第7頁，共18頁

9.D

【分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為菱形AEC7,從而可求出截面的面積.

【詳解】取的中點尸，CG的中點G,連接A￡FG，BG,FG,EF,

因為該幾何體為正四棱柱，

ABHCDHFG,AB=CD=FG,

故四邊形ABGF為平行四邊形，

所以AF//BG,又BGUEC、,

：.AF//ECt,同理AE//FC,,且AF=EG=AE=FG=即=應，

所以過A,E,G三點的平面截正四棱柱ABCD-A與GR所得的截面為菱形AEC/,

所以該菱形的面積為2、岑、（0丁=73.

故選：D

10.B

【分析】由題意結(jié)合數(shù)列的通項公式確定數(shù)列的性質(zhì)即可.

【詳解】由數(shù)列的通項公式可得：4+|-4,=3（〃+1）-3“=3為定值，

故數(shù)列｛叫是公差為3的等差數(shù)列.

故選B.

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義與判斷，屬于基礎題.

11.B

【分析】直接根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系q+2+%及數(shù)列求和，相消法的應用進

行判斷即可求解.

【詳解】因為｛〃“｝的項”“具有2奇1偶，3項一周期的周期性，所以生⑼是奇數(shù)，所以

A正確；

試卷第8頁，共18頁

因為。3+。4+“6+/++°2020=%+“6++°202()==。2019+4()20=%021，所以B錯醫(yī)；

因為4+%+%++〃2021=/+%+〃5+.+々2021=4+〃5++/021=。2020+。2021=%022，

所以C正確；

因為a；+G+d++&2]=q%+a；+d++G021=白2(4+%)+《++或2】

=4%+t++%02]=生(。2+色)++。2021=/。4++/02]==々2021a2022，所以口正確.

故選：B.

12.A

【分析】根據(jù)a=sin\,的特征，要比較二者大小，可作差a-b=sin'-2，

由此構(gòu)造函數(shù)/(x)=sinx-x,利用其單調(diào)性比較大小，同理匕=1-±,和c=lnl.l比

較，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-l+L利用單調(diào)性比較b=~,c=lnl.l的大小.

X11

【詳解】設/(x)=sinx-x,x￡(og),貝ij/'(x)=cosx-lV。，

故/(x)=sinx-￡(0弓)單調(diào)遞減，故/(x)</(0)=0,/.sinx<x,

?1/八兀、?171

由一￡((),一),「.〃=sm—<b=一,

1121111

設函數(shù)g(x)=lnx-l+',x￡(0,+8),貝ijg(x)=L--y=^-^-,xe(0,+oo),

xxx"x~

當X￡(0,l)時，g\x)<0,g(x)遞減，當X￡(l,+oo)時，g'(x)>o,g(x)遞增，

故g(x)Ng⑴=0,BPlnx>1-l,當工=1時取等號，

X

由于1.1>1,故始1.121-5=(,即b<c,

&La<b<c,

故選：A.

【點睛】本題考查了數(shù)的大小比較問題，考查了構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，

解答的關(guān)鍵是明確解答思路，能根據(jù)數(shù)的特點構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，從而利用導數(shù)判斷函數(shù)

單調(diào)性，比較大小.

2

13.

25

【分析】由兩角差的正切公式計算.

tana-tan(a-￡)4-62

【詳解】由已知tan/7=tan[a-(e-〃)]=

l+tan6ztan(a-/7)-1+4x625,

故答案為：一三2.

14.15

試卷第9頁，共18頁

【分析】根據(jù)完全平方差公式，結(jié)合二項式通項公式進行求解即可.

【詳解】當x>0時，=（4一十），

通項公式為：J=C?（五產(chǎn).（-%）'=C?1）'?產(chǎn)'，

令3f=lnr=2,所以展開式x的系數(shù)為C：《-lA=15；

當x<0時,---2）——^5/—x—,

通項公式為：Tr+I=-Q?（口嚴.（—右）「=c；?盧，

令3-r=lnr=2,所以展開式x的系數(shù)為C；=15,

故答案為：15

1匚256A/3TI256A/3

15.+??+-----------71

2727

【分析】先求出圓錐底面圓半徑，設冰塊的底面圓半徑為mm，用刀表達出冰塊的體積，

利用導函數(shù)求出冰塊體積的最大值.

【詳解】設圓錐底面圓的半徑為Rem,圓柱形冰塊的底面圓半徑為xcm,高為/?cm,

由題意可得，Bx（2砰=166,解得R=4,/i<tan^（/?-x）=^（4-x）（0<x<4）,

設圓柱形冰塊的體積為Men?,貝ljV46心2（4-力（Ovxv4）.設/（%）=6+（4-x）,

QO

則尸（x）=—（8—3x）.當0<x<］時，,/^x）>0；當李<x<4時，/'（力<0.所以

〃x）=6.（47）在x=|處取得極大值，也是最大值，4x）3=/C）=生等，

故酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為空叵cn?.

27

故答案為：256典

27

16.（X-6）2+/=326+4&

【分析】設M（x,y）,用兩點間距離公式表示卜化簡可得動點M的軌跡

方程；使用向量垂直表示NPMQ=90。，由幾何意義求解加的最大值即可.

【詳解】設動點M（X,y）,則|M4|=7（A-+2）2+y2,\MB\=7（x-2）2+y2，

,點“滿足=

7（^+2）2+/=x/2x7（x-2）2+y2,化簡，整理得（xY）?+丁=32.

試卷第10頁，共18頁

，動點M的軌跡方程為(x-6)2+V=32.

若平面內(nèi)兩動點尸(O,TM),<2(0,m)(加>0)滿足NPMQ=90。，則尸M?QM=0,

PM=(x,y+/n),QM=^x,y-m),

PMQM=JC+^y+-ni)=x1+y1-nr=0,/.TH2=x2+y2,

m>0,m=yjx2+y2=^(x-O)'+(j)-0)2,

m的幾何意義為點M到原點0(0,0)的距離，

???動點M的軌跡為圓心為C（6,0）,半徑為廠=4夜的圓，

如圖，當M點位于處時，M到原點距離最大值為|OC|+r=6+40,

即加的最大值為6+4應.

故答案為：（X-6）2+/=32,6+4夜.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二空的解題關(guān)鍵，是將直角轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系（或斜率關(guān)系）,

化簡后得出w的幾何意義一一點M到原點的距離，使用數(shù)形結(jié)合思想求解.

17.⑴年

⑵a=b=2

【分析】(1)轉(zhuǎn)化8s2C—3cosc-1=0為2cos2。-3cosc-2=0,結(jié)合0<C<?,求解

即可；

(2)由加%C=JJ,c2=a2+b2-2r/Z?cosC,聯(lián)立求解即可

(1)

因為cos2C—3cosc—1=0,所以2cos2C-3cosC-2=0

即(2cosC+l)(cosC-2)=0

解得或

cosC=-g8SC=2(舍去)

試卷第11頁，共18頁

又所以C=w

(2)

由(1)可知，的面積S=,〃加山。=正〃。=百

24

又/="+b?-labcosC,所以〃2+h2+ah=\2

所以I2岫丁即〃+與=8=(/-4)2=0,即/=4,“=2(舍負)

[a~+y=8a~

故a=0=2..

18.(1)90

(2)0.75

(3)分布列見解析,E(X)=3

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣的定義即可求解;

(2)利用樣本頻率估計總體概率；

(3)運動時間超過4小時的概率為?，結(jié)合分布列和數(shù)學期望的定義求解即可.

【詳解】(1)因為男生10500人，女生4500人，

所以抽取女生占總?cè)藬?shù)的比例為名3.

又因為分層抽樣收集300位學生，

3

所以女生樣本數(shù)據(jù)應收集為南x300=90.

(2)由頻率分布直方圖可知，

學生每周平均體育運動時間超過4個小時的頻率為

(0.15+0.125+0.075+0.025)x2=0.75.

估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率0.75.

(3)由(2)可知運動時間超過4小時的概率為：，則X~814,

所以P(X=0)=C

3

64

327

P(X=2)=C；?

1281

試卷第12頁，共18頁

3

P(X=3)=C；?I嗡

則X的分布列為:

X01234

13272781

p

25664?2864256

3

貝l」E(X)=4x-=3.

4

19.（1）證明見解析

⑵亞

3

【分析】（1）利用三角形的中位線定理及平行的傳遞性，結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)

定理及線面平行的判定定理即可求解；

（2）根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，利用面面垂直的性質(zhì)定理及等邊三角形的三

線合一定理，結(jié)合棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】（1）取中點尸，連接EF、AF,如圖所示

/.EF//CD,EF=-CD

2

VAB//CD,CD=2AB=4,

：.EF//AB,EF=AB,

試卷第13頁，共18頁

...四邊形4石尸是平行四邊形.

/.BE//AF.

又平面PAD,ARu平面

BE〃平面PAO.

(2):底面ABC。為梯形，AB//CD,ZBAD=90°,

S=—xDCxAD=：—x4x2=4,

ZAAfDiCrZn722

取AO中點。，連接PQ,如圖所示，

因為抬=PD=4)=2,A。中點為2,所以PQ_LAO,

在Rt^P。。中，PQ=PD-sin60°=2x^-=>/3,

'：平面PAD_L平面ABCD,

平面/<4Oc平面AfiC￡>=AD,PQu平面PAD,

所以PQ1平面A3C￡),

即等邊三角形PAD在邊4。上的高線PQ即為點P到平面ABCD的距離d.

：.d=PQ=8.

又E為PC的中點,

二點E到平面ABCD的距離為儀=也，

22

x

?,VE-PBD=Vp-BCD~VE-BCD=qdSBCD一§'^X昱在空

BCD323

e—1

20.(1)5=—

2

⑵(1,”)

【分析】(1)先求出切點，利用導數(shù)求得切線斜率，進而得到切線方程，再分別求出在

試卷第14頁，共18頁

x,y軸上的截距，最后利用直角三角形面積公式求得結(jié)果；

(2)對。分。=1和兩種情況討論，利用導數(shù)探究出函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)

最值分析可得答案.

【詳解】(1)當a=e時，/(x)=ex+l-ln(x+1)-1,/(O)=e-1.

/，W=ex+1--7，r(O)=e-l,

x+1

故曲線y=f(x)在點(O,7(O))處的切線方程為y-(e-1)=(e-l)x,

B|Jy=(e-1)x+e-l.

因為該切線在X,y軸上的截距分別為T和e-I,

所以該切線與兩坐標軸所圍成的直角三角形的面積$=上卜1卜卜-1卜芋.

(2)①當。=1時，/(x)=er-ln(x+l)-l(x>-l),貝ij/'(x)=e*--—,

x+\

由圖象可得，當xe(-l,0)時，外月<0；當xe(0,xo)時，/'(x)>0.

所以/*)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故八0)為最小值，且/(0)=0.

所以此時/(x)存在零點，不符合題意.

②當時,因為/(x)="e*-ln(x+l)-l,

x

所以f\x)=ae一一—=a'Q+D-1(X>-1),

x+1x+1

令g(x)=ae*(x+1)-1(%>-1),則g'(x)=aex(x+2),

因為。所以g'3>0,g。)在(Tw)上單調(diào)遞增,

又g(-l)=-l<0,g(0)=〃-l>0,由零點存在定理得，

g(x)在(-1,0)上有唯一的零點夕，即g(尸)=0,因此有ae0(6+1)=1.

試卷第15頁，共18頁

當XG(-1,0時,g(x)<0,gpf\x)<0；當xe(夕,+oo)時,g(x)>0,即/'(x)>0.

所以/(X)在(-1,尸)上單調(diào)遞減，在(⑸E)上單調(diào)遞增，故/(￡)為最小值.

由ae#（Q+l）=l,得力=力^，Tn（尸+l）=lna+￡,

所以/（夕）=ae"-In（夕+1）-1=:〔+4一l+lna=lna+,

因為a>l,所以lna>0,又因為夕>—1,所以￡>0,所以/（尸）>0.

夕+1

所以/(%)>,⑶>0,此時"X)沒有零點.

綜上，。的取值范圍是

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)求解零點問題的常用方法：

(1)分離參數(shù)法：一般給出零點個數(shù)，求解參數(shù)范圍，通常把參數(shù)分離出來，利用導

數(shù)求解新函數(shù)的單調(diào)性，最值；結(jié)合零點個數(shù)，列出不等關(guān)系.

(2)分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類討論的標準，利用導數(shù)求解單調(diào)性和

最值，有時需要二次求導.

21.(1)拋物線。的方程為：r=8x；(2)存在點P(-4,0)使得當加變化時，總有/

OPM=NOPN成立.

【分析】(1)由|MF|=4結(jié)合拋物線定義可得點材到拋物線的準線的距離為4,列方程求

P，由此可得拋物線方程；(2)設存在戶滿足條件，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求交點

M,N的坐標關(guān)系，并由N加滬N/*可得直線與直線OV的斜率和為0,由此求出P

的坐標.

【詳解】⑴YM%，4)為拋物線C上一點,13.1|=4,

???科(孫4)到拋物線，的準線的距離為4,16=2px。

*"?xo+y=4

16=8p-p'

P=4,

，拋物線C的方程為：/=8x；

⑵設存在x軸上的點P&O),使得NOR歸NOPN成立,

則直線，妙的斜率與直線力P的斜率之和為0,設N(x2,y2)

IJIIJ-^-+-^-=0,化簡可得乂%2+%%=f(M+丫2)

/%2-T

聯(lián)立直線/與拋物線C的方程可得,一,化簡可得尸-8加)，-32=0,

x=切+4

試卷第16頁，共18頁

由已知%,%為方程),-8沖-32=0的解，

/-%+必=8m，=-32,

，+力々=必+4(%+為)=-32機，

—32m=Stm,

:.t=-4

???存在點尸(-4,0)使得當勿變化時，總有a州成立.

【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；

(2)強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的

關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

22.(1)(-8,3］

(2)(7,0)=(3,4)

【分析】(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，從而求出”?的取值范圍；

(2)當命題9為真時根據(jù)機=0,，W片0進行分類討論，注意借助△與0的大小關(guān)系，求出

加的取值范圍，然后通過含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復合命題的真假判斷出P，4的真假，由此求解

出加的取值范圍.

【詳解】(1)當4為真命題時，4片一2%在先70,3］上有解，

所以“4(￥-2X°)2，當x=3時取，丫=片-2%有最大值3,所以巾43,

所以實數(shù)勿的取值范圍為(F，3］；

(2)當〃為真命題時，

當機=0時，y=lnl=0,定義域為R,滿足題意；

試卷第17頁，共18頁

當mH()時，要使丫=1"/?1爐一小+1)的定義域為R,

ni>0

解得0<m<4,

\=nr-4in<0

綜上可知：機的取值范圍是[。,4).

因為〃V"為真命題且，八4為假命題，所以PM一真一假,

\0<m<4

當"真"假時’…’解得3<,"4,

[m<0或m>4

當p假q真時，,此時機<0,

[m<3

綜上，切的取值范圍是(y,0)=(3,4).

23.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由基本不等式證明;

(2)由柯西不等式證明.

(1)

因為〃+c?22ac-b1+d2>2bd,

+h2+c2+d2>2ac+2bd,

當且僅當”=b=c="=；時，等號成立，

又正數(shù)a,b,c,d滿足/+c?+"2=1,所以0<ac+b"4g.

(2)

因為正數(shù)a,b,c,d滿足〃2+62+。2+儲=],

所以由柯西不等式，可得提+/+*+*=("++C)(5+%'+[*+*)

當且僅當〃=b=逅，c=d=正時，等號成立,

63

故』+金236.

a2b1c2(T

試卷第18頁，共18頁

2022-2023學年高三第三次模擬考試數(shù)學（理）試卷

學校:姓名：班級：

一、單選題

1.已知I集合A={x|x2-3x+2=0,xeR},3={x[0＜x44,xwN},則滿足條件A=

的集合C的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知復數(shù)z滿足：z-i=l+i（i為虛數(shù)單位），則上|=（)

A.—B.1C.J2D.2

2

八升/兀、cftsina/、

3.若tan(a)=2,則.)=()

4sin~crcosa+3cos3a

A.-B.2C.—D.--

222

4.己知“、6、ceR,那么下列命題中正確的是（）

A.若a>b,貝B.若白>2,則a>b

C.若/＞匕3且出）＜0,則J.＞:D.若且必＞0,則

abab

5.袋中有5個球（3個白球，2個黑球）現(xiàn)每次取一球，無放回抽取2次，則在第一次

抽到白球的條件下，第二次抽到白球的概率為（）

A.3/5B.3/4C.1/2D.3/10

6.點P（〃?,2）是拋物線C：丫2=2》上的一點，點加、%是拋物線（7上的兩個動點，若

直線尸M、PN的傾斜角互補，則直線MN的斜率為（）

,1211

A.——B.—C.—D.—

3342

7.已知y=〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意xeR都有〃x+2）=/（2-x）,若

/⑴=1,則〃2021）=（）

A.-1B.0C.1D.2

8.陀螺指的是繞一個支點高速轉(zhuǎn)動的幾何體，是中國民間最早的娛樂工具之一.傳統(tǒng)陀

螺大致是木或鐵制的倒圓錐形，玩法是用鞭子抽.中國是陀螺的老家，從中國山西夏縣

新石器時代的遺址中就發(fā)掘了石制的陀螺.如圖，一個倒置的陀螺，上半部分為圓錐，

下半部分為同底圓柱.其中總高度為8cm,圓柱部分高度為6cm,已知該陀螺由密度為

0.7g/cm2的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70g,則最接近此陀螺圓柱底面半徑的長度為

（）

試卷第19頁，共18頁

A.2.0cmB.2.2cmC.2.4cmD.2.6cm

9.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而

成的，按照這樣的規(guī)律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是

圖I圖2圖3

A.25B.66C.91D.120

10.若基函數(shù)的圖像過點(3,6)，則函數(shù)V=/(x)+2-x的零點為

A.1B.2C.3D.4

11.下列說法中，正確的有()個.

①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；

②過球面上任意兩點只能作球的一個大圓；

③三棱錐的四個面都可以是直角三角形；

④梯形的直觀圖可以是平行四邊形.

A.1B.2C.3D.4

12.在△ABC中，〃，/?,c分別是角A,8,C的對邊，若石asinB=bcosA,且匕=2百，

c=2,則。的值為()

A.2將B.2C.2G-2D.1

二、填空題

13.己知直線>與曲線y=a?+2019-lnx相切于點尸(1,2020),則〃的值為.

14.己知居是橢圓G與雙曲線02的公共焦點，P是G與C?的一個公共點，且

I叫>歸周，P"咚若G,G的離心率分別為，，e,,則e；+苧的最小值為______.

15.如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的

試卷第20頁，共18頁

任意一點，設向量4c=+則，+〃最小值為—

16.奇函數(shù)〃x)的定義域為K,若〃x+2)為偶函數(shù)，且〃1)=1,則〃8)+/(9)=

三、解答題

17.己知數(shù)列｛%｝滿足q=l,/=2,｛。向-2%｝是公差為1的等差數(shù)列.

⑴證明：｛4+〃｝是等比數(shù)列;

(2)求｛凡｝的前〃項和5“.

18.高中階段有這樣一句話，成也數(shù)學敗也數(shù)學，意思是說數(shù)學成績好的同學總成績也

好，數(shù)學成績不好的同學總成績也不好.某市教育局對本屆高三學生的上學期期末考試

成績進行隨機調(diào)查得到如下2x2列聯(lián)表：

總成績好

總成績不好總計

220

數(shù)學成績好220m400

數(shù)學成績不好100300400

總計nPq

(1)求表中表中p，q的值;

(2)能否有99.9%的把握認為學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關(guān)？

n〈ad—be]

附：K2=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)'

P(K?2k。)0.050.010.0050.001

k。3.8416.6357.87910.828

19.如圖所示，直角梯形ABC。中，AD!IBC,AO垂直A3,AB=BC=2AD=2f四

邊形E￡)CF為矩形，CF=6,平面E￡>C尸，平面ABCD

試卷第21頁，共18頁

F

E

/：X\---yC

/X--------、//

A'/-/D-\//

(1)求證：DF〃平面ABE；

(2)求平面ABE與平面￡FB所成銳二面角的余弦值；

(3)在線段OF上是否存在點尸，使得直線的與平面AfiE所成角的正弦值為且，若

4

存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由.

22

20.已知橢圓C:￡+方=1(〃＞人＞0)的左、右焦點分別為qF”且歸周=4,且

a='flb-

(1)求橢圓C的方程：

(2)過點線的直線/與橢圓C交于A,B兩個不同的點，求證：無軸上存在定點P,使得

直線24與直線尸8的斜率之和為零.

21.已知函數(shù)〃x)=lnx-笑”，asR.

(1)若函數(shù)〃x)在區(qū)間(0』內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若％WeR,且乙＜4,求證：\-

e"—e"e"+2e'2

一,fx=2cOS6?

22.在直角坐標系x分中，已知橢圓C的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，直線加

[y=sm(p

的參數(shù)方程為"二-一-Ji(s為參數(shù))，直線/垂直于直線/〃旦過橢圓。的右焦點￡

y=s

(1)求橢圓。的普通方程和直線/的參數(shù)方程；

11

⑵直線,交橢圓C于1、6兩點，求匠|+忻司.

23.設函數(shù)/(x)=|x—2|+2x—3,記/(x)4-1的解集為M.

(I)求M；

(II)當xeM時，證明:

試卷第22頁，共18頁

參考答案

1.D

【分析】先用列舉法出表示集合力和8,再結(jié)合子集的定義分析可得結(jié)果.

【詳解】求解一元二次方程，得

A=|x|x2-3x+2=O,XGR|={x|(x-l)(x-2)=O,xeR}

={1,2},易知3={x|0<xW4,xeN}={l,2,3,4}.

因為AuCaB,所以根據(jù)子集的定義，

集合C必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原題即求集合{3,4}的子集個數(shù)，即有22=4個.

故選：D.

2.C

【分析】通過復數(shù)除法得z=l-i,利用復數(shù)模的定義即可得到答案.

【詳解】z=故慟=正+(-1)2=夜.

故選：C.

3.C

sincr

【分析】根據(jù)兩角差的正切公式求得tana=-3,將化簡為

sin2acosa+3cos3a

tana

，根據(jù)齊次式的計算求得sii?a+3cos2Q,即可求得答案.

sin?a+3cos2a

jr1-tana

【詳解】由t叫-。)=-2可得=-2,tana=-3,

14-tana

sinasinatana

故

sin?acosa+3cos3acosa(sin2a+3cos2a)sin2a+3cos2a

k.2c2sin2a+3cos2atan2a+36

HI]sin-a+3cos-a=-----；---------；——=——；--------=—

sin-a+cosatarra+15

tana-3__5

故sin?a+3cos2a6一一5,

5

sina5

即

sin?acosa+3cos3a2f

故選：c

4.C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.

【詳解】對于選項A,當c為0時不成立；

對于選項B,當c為負數(shù)是不成立；

試卷第23頁，共17頁

對于選項C,由且"＜o可得“＞0力＜0,所以上＞1故C正確；

ab

對于選項D,若a?＞戶且而＞0說明同號，當為正數(shù)時不成立.

故選：C

5.C

【分析】先記事件A為“第一次取到白球”，事件B為“第二次取到白球”，則事件AB

為“兩次都取到白球”，根據(jù)題意得到P(A)與P(A8),再由條件概率，即可求出結(jié)果.

【詳解】記事件A為“第一次取到白球”，事件B為“第二次取到白球”，

則事件AB為“兩次都取到白球”，

依題意知P(A)=|,P(AB)=|X|=^=2，

3