二次函數(shù)性質(zhì)總結(jié)及配套練習(xí)

【知識點梳理歸納】1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.①當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.9.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口當(dāng)時開口11.二次函數(shù)的解析式的求法用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式，確定二次函數(shù)一般需要三個獨立條件，根據(jù)不同條件選擇不同的設(shè)法：（1）設(shè)一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）若已知條件是圖像上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為y=ax2+bx+c，將已知條件代入，求出a，b，c的值。（2）設(shè)交點式：y=a（）（）（a≠0）若已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為（，0），（，0），設(shè)所求二次函數(shù)為y=a（）（），將第三點（m，n）的坐標(biāo)（其中m、n為已知數(shù)）或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將解析式化為一般形式。（3）設(shè)頂點式：y=a（）+k（a≠0）若已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值（或最小值），設(shè)所求二次函數(shù)為y=a（）+k（a≠0），將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式。12.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故題型一：二次函數(shù)的定義相關(guān)例1下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是.①；②； ③； ④；⑤； ⑥； ⑦； ⑧.例2如果函數(shù)y=(k-3)+kx+1是二次函數(shù),則k的值一定是_______.例3二次函數(shù)y=x2+2x－7的函數(shù)值是8，那么對應(yīng)的x的值是（）A．3B．5C．－3和5D．3和－5.【鞏固練習(xí)】1．已知二次函數(shù)，當(dāng)時

.2．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是()A．

B．

C．D．

.3．若是二次函數(shù)，則m=.4．若函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍為.5．已知函數(shù)是二次函數(shù)，則m＝.題型二：一般式化為頂點式例4分別運用公式法和配方法將二次函數(shù)y=x2－4x+6化為y=(x—h)2+k的形式：y=___________.【鞏固練習(xí)】分別用配方法和公式法把二次函數(shù)y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式.題型三：二次函數(shù)的性質(zhì)例5拋物線與的形狀相同，則a=例6二次函數(shù)

的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象可得a、b、c與0的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0B．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＜0，c<0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0例7二次函數(shù)y=2(x+3)(x-1)的x軸的交點的個數(shù)有_______個，交點坐標(biāo)為_____________.例8y=x2-3x-4與x軸的交點坐標(biāo)是__________,與y軸交點坐標(biāo)是____________.例9二次函數(shù)y=-x2+6x+3的圖象頂點為_________對稱軸為_________.例10二次函數(shù)y=(x-1)(x+2)的頂點為_________,對稱軸為________.例11二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為.例12二次函數(shù)y=－x2＋6x－5，當(dāng)x

時，

y隨x的增大而減小.例13已知點A（2，），B（4，）在二次函數(shù)的圖像上，則

.【鞏固練習(xí)】1．與拋物線的形狀大小開口方向相同，只有位置不同的拋物線是（

）A． B．

C． D．2．在函數(shù)中，其圖像的對稱軸是y軸的有（

） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．若拋物線的開口向下，頂點是（1，3），y隨x的增大而減小，則x的取值范圍是（）A.

B.

C.

D.4．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖，則點M（b，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=－2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）A．1個

B．2個C．3個

D．4個第4題第5題第6題6．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在“①a＜0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0”中，正確的判斷是（）A.①②③④B.④C.①②③D、①④7.如果函數(shù)y=ax2+4x-的圖像的頂點的橫坐標(biāo)為l，則a的值為.8.已知拋物線y=ax2+12x-19的頂點的橫坐標(biāo)是3，則a=.9.拋物線y=2x2+bx+c的頂點坐標(biāo)為（2，-3)，則b=,c=.10．二次函數(shù)y=3(x-7)+1由y=3(x-5)+3向___平移__個單位，再向____平移___個單位得到.11．二次函數(shù)y=x2－2x－3與x軸兩交點之間的距離為_________.12．若二次函數(shù)y=x2－4x+c的圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c=_____（只要求寫一個）．13．已知點A（2，），B（4，）在二次函數(shù)的圖像上，則

.14．二次函數(shù)與y軸交于B點,與x正半軸交于A點，求點A，B的坐標(biāo).15．二次函數(shù)y=x2-(m+2)x+m2與x軸有交點，求m的取值范圍.題型四：二次函數(shù)圖像的平移例14把函數(shù)的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的二次函數(shù)解析式是.【鞏固練習(xí)】1．拋物線的圖象可由拋物線向平移個單位得到，它的頂點坐標(biāo)是，對稱軸是.2．拋物線的圖象可由拋物線的圖象向平移個單位得到，它的頂點坐標(biāo)是，對稱軸是.3．直角坐標(biāo)平面上將二次函數(shù)y＝-2(x－1)2－2的圖象向左平移１個單位，再向上平移１個單位，則其頂點為（）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)★易錯點★題目1：如果函數(shù)y=(k-3)+kx+1是二次函數(shù),則k的值一定是_______.題目2：下列函數(shù)中，二次函數(shù)有個.； ②； ③； ④；⑤ ⑥；題目3：函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)為.題目4：已知點A（－2，），B（4，）在二次函數(shù)的圖像上，則

.題目5：將函數(shù)向左平移兩個單位，得到函數(shù).課后作業(yè)填空題：1．函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象是________，它的對稱軸是________，它的頂點坐標(biāo)是________．當(dāng)a>0時，開口向________，具有性質(zhì)：當(dāng)x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而_______，當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而________，當(dāng)x=0時，函數(shù)取最______值為________．當(dāng)a<0時，開口向______，具有性質(zhì)：當(dāng)x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而_____，當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而________，當(dāng)x=0時，函數(shù)值取最________值為________．2.若函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為.3.函數(shù)y=ax2（a≠0）的函數(shù)值恒大于或等于零的條件是_________．4.若拋物線y=（m-1）開口向下，則m=______．5.已知y與x2成正比例，且當(dāng)x=1時，y=2，則當(dāng)x=-3時，y=_______；當(dāng)y=8時，x=_______．6．把拋物線y=4（x-2）2向______平移_______個單位，就得到函數(shù)y=4（x+2）2的圖象．7.把拋物線的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的解析式是，則a+b+c=__________8.已知拋物線（a＞0）的對稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點(-1,),(2,)，試比較和的大小：

_（填“>”，“<”或“=”）9．拋物線，若其頂點在x軸上，則m=

．10．若拋物線開口向下，則m=選擇題：1．下列函數(shù)不屬于二次函數(shù)的是（）A.y＝(x－1)(x＋2) B.y＝(x+1)2C.y＝1－x2 D.y＝2(x+3)2－2x23．二次函數(shù)的最小值是（

）（A）2（B）1（C）-1（D）-24．二次函數(shù)y＝x2的圖象向右平移3個單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是（

）A.

y＝x2＋3 B.

y＝x2－3C.y＝(x＋3)2 D.y＝(x－3)25．二次函數(shù)經(jīng)過一、二象限，則a

()Aa>0Ba<06．拋物線的對稱軸是直線（

）A．x=1 B．x=-1 C．x=-3 D．x=37．二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，有下列4個結(jié)論：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④；其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．拋物線共有的性質(zhì)是（

） A．開口方向相同 B．開口大小相同 C．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大 D．對稱軸相同9．拋物線不具有的性質(zhì)是（

） A．開口向下； B．對稱軸是y軸； C．當(dāng)x＞

0時，y隨x的增大而減小