高中數(shù)列知識總結(jié)題型精練

頁知識要點一、數(shù)列綜合問題中應用的數(shù)學思想1．用函數(shù)的觀點與思想認識數(shù)列，將數(shù)列的通項公式和求和公式視為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)；2．用方程的思想處理數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程；3．用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的研究；4．數(shù)列綜合問題常常應用分類討論思想，特殊與一般思想，類比聯(lián)想思想，歸納猜想思想等。二、解決問題的主要思路有1．把綜合問題分解成幾個簡單的問題2．把綜合問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題3．通過觀察，探索問題的一般規(guī)律性4．建立數(shù)列模型，使用模型解決問題三、實際問題的數(shù)列模型依據(jù)實際問題的遞推、等差、等比情境，將問題轉(zhuǎn)換為遞推數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列，建立數(shù)列模型探究和解決實際應用問題。課前熱身某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…，按此規(guī)律，6小時后細胞成活的個數(shù)是（B）A．63B．65C．67D．71根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果、預測某種家用商品從年初開始的幾個月內(nèi)積累的需求量（萬件）近似的滿足：按此預測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是（C）A．5月，6月B．6月，7月C．7月，8月D．8月，9月解：，，所以=7或8，選C過圓內(nèi)一點(5，3)有條弦,其長度組成等差數(shù)列,且最小弦長為數(shù)列的首項，最大弦長為m末項，若公差，則最大值為（B）A．5B．6C．7D．8解：因為圓內(nèi)過點（5，3）的最小的弦長為以（5，3）為中點的弦長為8，即=8，又最大的弦為直徑，所以=10已知一個運算程序如下：某工廠2003年至2006年的產(chǎn)量和為100噸，2005年至2008年的產(chǎn)量和為121噸，則該工廠從2003年到2008年平均增長率為10﹪解：設年平均增長率為，則各年的年產(chǎn)量依次成等比數(shù)列，公比為1+，典例精析函數(shù)與數(shù)列的綜合問題=1\*GB3①設是常數(shù)，求證：成等差數(shù)列；=2\*GB3②若，的前項和是，當時，求解：=1\*GB3①，=2\*GB3②點撥：本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關系，通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項公式，從而問題得到求解。二、數(shù)列模型實際應用問題例2：某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2007年底全縣的綠化率已達30﹪，從2008年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：即原有沙漠面積的16﹪將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4﹪又被沙化。=1\*GB3①設全縣面積為1，2007年底綠化面積為，經(jīng)過年綠化面積為，求證：=2\*GB3②至少需要多少年（取整數(shù)）的努力，才能使全縣的綠化率達到60﹪？解：=1\*GB3①證明：由已知可得確定后，表示如下：=(1－4﹪)＋(1－)16﹪即=2\*GB3②由∴最小整數(shù)為5，故至少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60﹪.點撥：解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過反復讀題，列出有關信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關問題。三、數(shù)列中的探索性問題例3：已知點（）順次為直線上的點，點順次在軸上的點，其中，對于任意正整數(shù)，點為頂點的等腰三角形，=1\*GB3①求數(shù)列的通項公式，并證明它為等差數(shù)列；=2\*GB3②求證：的通項公式；=3\*GB3③上述等腰三角形中是否可能存在直角三角形，若可能求此時的值，若不可能，請說明理由。解：=1\*GB3①為定值，所以為等差數(shù)列。=2\*GB3②由題意得：=3\*GB3③當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時點撥：本題關鍵依據(jù)幾何性質(zhì)及題設獲取題目信息，找出數(shù)列的遞推關系式或變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為比較直接的數(shù)列問題來解。數(shù)學門診從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加。=1\*GB3①設第年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為，寫出、的表達式。=2\*GB3②至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？錯解：=1\*GB3①第一年投入=800=2\*GB3②所以≥3正解:=1\*GB3①第一年投入800萬元，同理，第一年收入400萬元，=2\*GB3②所以故至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?？偨Y(jié)提高數(shù)列模型應用問題的求解策略=1\*GB3①認真審題，準確理解題意；=2\*GB3②依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應用通項公式，前項和公式以及性質(zhì)求解，或通過探索、歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解。=3\*GB3③驗證、反思結(jié)果與實際是否相符。數(shù)列綜合問題的求解策略=1\*GB3①數(shù)列與函數(shù)綜合問題或應用數(shù)學思想解決數(shù)列問題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應用數(shù)列的知識求解；=2\*GB3②數(shù)列的幾何型綜合問題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征建立數(shù)列的遞推關系式，然后求解問題。課堂演練一張報紙，其厚度為，面積為，現(xiàn)將紙對折7次，這時報紙的厚度和面積分別為（C）東北農(nóng)場年初有森林木材存量，木材以每年25%的增長率增長，而每年末要砍伐固定的木材量，為實現(xiàn)經(jīng)過2次砍伐后木材的存量增加50%，則的值是（C）設，則光線通過一塊玻璃板，其強度要失掉10%，若使光強度減弱為原來的，則重疊以上相同的玻璃板的塊數(shù)是11。某市2003年共有1萬輛燃油型公交車，有關部門計劃于2004年投入128輛電力型輛公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問：=1\*GB2⑴該市在2010年應該投入多少輛電力型公交車？=2\*GB2⑵到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車的總量？解：=1\*GB2⑴該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列，其中=128，=1.5，則在2010年應該投入的電力型公交車為=2\*GB2⑵記，因此≥8，所以到2011年底電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的。已知數(shù)列的等差數(shù)列，且=1\*GB3①求數(shù)列的通項公式；=2\*GB3②若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，試證明：對恒成立。解：=1\*GB3①設等差數(shù)列的公差為，=2\*GB3②對恒成立。課外練習等差數(shù)列共有2+1項，所有奇數(shù)項之和為132，所有偶數(shù)項之和為120，則等于（B）A．9B．10C．11D．12設是等差數(shù)列的前項和，若A．1B．－1C．2D．在等比數(shù)列中，是前項和，若，則公比等于（C）A．1B．－1C．3D．－3一正項等比數(shù)列前11項的幾何平均值為32，從這11項中抽出一項后余下的10項的幾何平均值為32，那么，抽出的這一項是（A）A．第6項B．第7項C．第9項D．第11項已知整數(shù)對的數(shù)列如下：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）（1，5）（2，4）…，則第60個數(shù)對是（5，7）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且△ABC內(nèi)有任意不公線的2010個點，加上A.B.C三個點,共2013個點,把這2013個點連線形成互不重疊的小三角形,則一共可形成小三角形的個數(shù)為4021已知正項數(shù)列的前項和為，的等比中項，=1\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；=2\*GB3②若，數(shù)列的前項和為，求=3\*GB3③在=2\*GB3②的條件下，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出；若不存在，說明理由。解：=1\*GB3①的等比中項，所以數(shù)列是等差數(shù)列。=2\*GB3②所以當且僅當3+=0，即=－3時，數(shù)列為等比數(shù)列。已知在正項數(shù)列中，=2，且在雙曲線上，數(shù)列中，點（，）在直線上，其中是數(shù)列的前項和，=1\*GB3①求數(shù)列的通項公式；=2\*GB3②求證：數(shù)列是等比數(shù)列。=3\*GB3③若。解：=1\*GB3①由已知帶點在上知，－＝１，所以數(shù)列是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列。所以=2\*GB3②因為點（,）在直線上，=3\*GB3③10．在數(shù)列中，