福建省福州第十八中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

福州??中學(xué)20212022學(xué)年第學(xué)期期末考試??數(shù)學(xué)試題150分120，共8，題5，共40，，只1.設(shè) 為等差數(shù)列 的前項(xiàng)和，若 ，則 的值為（ ）A.14 28 36 D.482.已知拋物線 上?點(diǎn) 到其焦點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）A.4 2 4 D.83.已知過(guò)點(diǎn) 的直線與圓 相切，且與直線 垂直，則 （ ）AD.4.原點(diǎn)到直線的距離的最?值為（ ）A.D.5.已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直拋物線的軸的直線與拋物線 交于兩點(diǎn)，，則，則 （ ）A.4 3 2 D.16.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣?個(gè)問(wèn)題三百七???關(guān)，初?健步不為難，次?腳痛減?半，六朝才得到其關(guān)，要?次???數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還其意思為：有?個(gè)??378?路，第?天健步??，從第?天起腳痛每天?的路程為前?天的?半，?了6天后到達(dá)?的地，請(qǐng)問(wèn)第?天?了（ ）A.192? 96? 48? D.24?7.已知橢圓+y2=1（m＞1）與雙曲線1（n＞0）的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為，的離?率，則A.m＞n且e1e2＞1 m＞n且e1e2＜1 m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜18.已知函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)， 是 時(shí)，則使得 成?的的取值范圍是（ ）A. D.? 45205209.已知 為等?數(shù)列 前n項(xiàng)和，下列結(jié)論?定成?的是（ ）A.若 ＞0，則 ＞0 若 ＞0，則 ＜0若 ＞0，則 ＞0 D.若 ＞0，則 ＞010.已知雙曲線 過(guò)點(diǎn)且漸近線為，點(diǎn) 在雙曲線 的?條漸近線上， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.雙曲線 的離?率為2 雙曲線 的?程是的最?值為2 D.直線與 有兩個(gè)公共點(diǎn)11.已知 是各條棱?均等于1的正三棱柱， 是側(cè)棱 ）A. 與平? 所成的?的正弦值為平? 與平? 所成的?是CD.平? 平?12.，其圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處與 相切，則（ ）A.沒(méi)有最?值函數(shù) 存在兩個(gè)極值D.函數(shù)存 兩個(gè)零點(diǎn)，共4，題5，共20.13.已知兩條直線 若直線與直線平?，則實(shí)數(shù) ．14.設(shè)分別為直線和圓 上 點(diǎn)，則 的最?值 為15.，對(duì)任意的 都有，則 ．16.若直線 和 都相交，交點(diǎn)分別為的最?值為四 ：共6，共70，程17.設(shè)函數(shù) .（1）求 在 處的切線?程；（2）求 的極?值點(diǎn)與極?值點(diǎn)；18.與圓 相交于A，B兩點(diǎn)（1）若，求k（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得當(dāng)k變化時(shí)，總有直線MA，MB的斜率之和為0，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由19.記等?數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n.20.如圖，已知三棱錐 中， ， ，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊邊上，且 ，（1（2）求??? 的正弦值21.已知函數(shù)，（1）若，求a的取值范圍（2）若 時(shí)，?程 （ ）在上恰有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.22.已知橢圓 的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，離?率，的?積為 ．（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)?程；（2）直線與橢圓 相交于點(diǎn) ， ，則直線 ， 的斜率分別為，且，，其中是?零常數(shù)，則直線是否經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn) ？若是，請(qǐng)求出 的坐標(biāo)．福州??中學(xué)20212022學(xué)年第學(xué)期期末考試??數(shù)學(xué)試題150分1201.設(shè) 為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 的值為（）A.14【答案】D2836D.48【解析】，共8，題1.設(shè) 為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 的值為（）A.14【答案】D2836D.48【解析】【分析】利?等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的計(jì)算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)?，屬于較易題.2.已知拋物線 上?點(diǎn) 到其焦點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）A.4 2 4 D.8【答案】C【解析】【分析】?先利?拋物線的定義，將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離解出p，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代?拋物線?程即可解得.M到焦點(diǎn)距離為M到準(zhǔn)線的距離p=8，則拋物線?程為 .將(1,m)代?得： ，因?yàn)?所以 .故選：C.3.已知過(guò)點(diǎn) 的直線與圓 相切，且與直線 垂直，則 （ ）A. D.【答案】B【解析】【分析】?先由點(diǎn) 的坐標(biāo)滿?圓的?程來(lái)確定點(diǎn) 在圓上，然后求出過(guò)點(diǎn) 的圓的切線?程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓 的圓? ，半徑 .因?yàn)?，所以點(diǎn) 在圓 上，所以過(guò)點(diǎn) 的圓 的切線與直線 垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得 .因?yàn)橹本€ 與切線垂直，所以 ，解得.4.原點(diǎn)到直線的距離的最?值為（ ）A.D.【答案】B【解析】【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn) 的坐標(biāo)，由分析可知所求的最?距離即為.【詳解】由可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以原點(diǎn)與點(diǎn)的連線垂直于直線即點(diǎn)為垂?時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最?，所以原點(diǎn)到直線距離最?值為：，5.已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直拋物線的軸的直線與拋物線 交于 兩點(diǎn)，，則，則 （ ）【答案】D【解析】【分析】由題知 為等腰直?三?形，進(jìn)?得，再代??程求解即可.，∴，∴，【詳解】解，∴，∴，∵ ，且 軸，為等腰直?三?形，設(shè) 與軸的交點(diǎn)為 ，∴ ，即，代?得 ，解得 ．故選：D．6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣?個(gè)問(wèn)題三百七???關(guān)，初?健步不為難，次?腳痛減?半，六朝才得到其關(guān)，要?次???數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還其意思為：有?個(gè)??378?路，第?天健步??，從第?天起腳痛每天?的路程為前?天的?半，?了6天后到達(dá)?的地，請(qǐng)問(wèn)第?天?了（ ）A.192? 96? 48? D.24?【答案】B【解析】【分析】由題可得此?每天?的步數(shù)等?數(shù)列，根據(jù)求和公式求出?項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此?每天?的步數(shù)構(gòu)成為公?的等?數(shù)列，由題意和等?數(shù)列的求和公式可得 ，解得 ，第此?第?天??.7.已知橢圓1+y2=1（m＞1）與雙曲線2y2=1（n＞0） 焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為1，的離?率，則A.m＞n且e1e2＞1 m＞n且e1e2＜1 m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意知 ，即 ，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，?=，故 ．故選A．【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單?何性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單?何性質(zhì)．則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．8.已知函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)， 是 時(shí)，則使得 成?的的取值范圍是（ ）A. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)題意可得 的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合 的圖象即可求解．【詳解】解：由題意可知，函數(shù) 是奇函數(shù)，令函數(shù) ，則函數(shù) 為偶函數(shù)，?當(dāng) 時(shí)， ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，根據(jù)對(duì)稱性可知，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，? ，所以 ，所以 ，函數(shù) 的?致圖象如圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，使得 成?的的取值范圍是 ， ， ．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)?，考查構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．? 45205209.的前n項(xiàng)和，下列結(jié)論?定成?的是（ ）A.若 ＞0，則 ＞0 若 ＞0，則 ＜0若 ＞0，則 ＞0 D.若 ＞0，則 ＞0【答案】AC【解析】【分析】利?等?數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式即可判斷出正誤．【詳解】對(duì)于A，若，故A正確；對(duì)于，則?法判斷 的正負(fù)， 的正負(fù)也?法判斷，故B錯(cuò)誤；當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，則，故C正確；對(duì)于D，若，當(dāng)時(shí)，，若，當(dāng) 時(shí)， ，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知雙曲線 過(guò)點(diǎn)且漸近線為，點(diǎn) 在雙曲線 的?條漸近線上， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.雙曲線 的離?率為2 雙曲線 的?程是的最?值為2 D.直線與 有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】設(shè)雙曲線的?程為 ，由雙曲線 求出 ，判斷公式判斷A；聯(lián)?直線和雙曲線?程判斷D.過(guò)點(diǎn)可得雙曲線 的?程是 ，故B正確；可化為 A正確；由題意可得，當(dāng)直線 與漸近線 垂直時(shí)， 取最?值，且最?值，故C錯(cuò)誤；故選：AB11.已知 是各條棱?均等于1的正三棱柱， 是側(cè)棱 ）A. 與平? 所成的?的正弦值為平? 與平? 所成的?是D.平? 平?【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合空間線?的關(guān)系，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)A，設(shè)點(diǎn) 到平? 的距離為，易知 到平? 為底?的?為，由，可得 ，所以 ，由 ，解得 ，與平? 所成的?的正弦值為 ，故A正確；如圖，延? 交于點(diǎn) ，連接 ，由知 為 中點(diǎn)，由 為等邊三?形，所以 ，所以 為???的平??，易知，故B錯(cuò)誤；對(duì)，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可得 平? ，所以 ，? ，所以 平? ，所以 ，故C正確；對(duì)D，由C答案的分析可知， 平? ，平? ，? 平? ，所以平? 平? ，故D正確.故選：ACD12.，其圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處與 相切，則（ ）A.沒(méi)有最?值函數(shù)存在兩個(gè)極值D.函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【解析】的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的最值以及函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)．【詳解】由題意可得，且，所以 ，所以 ，，令 ，則 ，設(shè)， ，兩個(gè)函數(shù)只有?個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： ，則 ，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)是增函數(shù)，所以 是函數(shù)極?值點(diǎn)， 是函數(shù)最?值，因?yàn)楹瘮?shù) 過(guò)，，所以函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，故選：AD，共4，題5，共20.13.已知兩條直線 若直線與直線平?，則實(shí)數(shù) ．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由直線?程分析可知 斜率必存在,由直線 與直線 平?可得 .則有,解得 .考點(diǎn)：兩直線平?.14.設(shè)分別為直線 和圓 上的點(diǎn)，則 的最?值為【答案】【解析】【分析】易知的最?值為圓?到直線的距離減去半徑.【詳解】圓? 到直線 的距離為，所以的最?值為.故答案為： ..15.，對(duì)任意的 都有，則 ．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得 ，利?累加法可得，再裂項(xiàng)相消即可得解.【詳解】由，所以：，由 解得，所以，所以 .故答案為： .16.若直線 和 都相交，交點(diǎn)分別為的最?值為【答案】【解析】【分析】令，利?導(dǎo)數(shù)求得最?值即可.【詳解】由題意，令，則，由 ，得 ，由 ，得 ，在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，則即則即的最?值為.故答案為：.四 ：共6，共70，程17.設(shè)函數(shù) .（1）求 在 處 切線?程；（2）求 的極?值點(diǎn)與極?值點(diǎn)；【答案（1） ；（2）極?值點(diǎn)為，極?值點(diǎn)為1.【解析】）根據(jù)題意求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利?導(dǎo)數(shù)的?何意義求出切線?程的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式?程即可得出結(jié)果；的定義即可得出結(jié)果.【?問(wèn)1詳解】由題意知，，即切點(diǎn)為 ，? ，所以 ，所以 在 處的切線?程為： ，即 ；【?問(wèn)2詳解】，令 得；令 得 或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為 ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極?值，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有極?值，故函數(shù)有極?值點(diǎn)為，極?值點(diǎn)為1.18.相交于A，B兩點(diǎn)（1）若，求k（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得當(dāng)k變化時(shí)，總有直線MA，MB的斜率之和為0，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由【答案（1）（2）存在，【解析】【分析（1）由圓的?程求得圓?坐標(biāo)與半徑，再由垂徑定理列式求得；（2）設(shè)，聯(lián)?直線?程與圓的?程，利?根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率的和為0列式求得 值，則 點(diǎn)的坐標(biāo)可求.由圓 ，得 ，圓?坐標(biāo)為 ，半徑為2，到 的距離為 ，由點(diǎn)到直線的距離公式可得:，解得 ；【?問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)?，得 ，，，設(shè)存在點(diǎn) 滿?題意，即 ，，，即，解得 .存在點(diǎn) 符合題意.19.記等?數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案（1） （2） .【解析】【分析】（1）利?作差思想可得，進(jìn)?可得的通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)（1）求出的通項(xiàng)公式，利?錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和即可.【詳解（1）當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)， ，即 ，所以等?數(shù)列的公?是3，所以，即，得，故數(shù)列是?項(xiàng)為1，公?為3的等?數(shù)列， .（2）由（1）知，，故.則 ，，兩式相減得，，故，故【點(diǎn)睛】?般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等?數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采?錯(cuò)位相減法求和，?般是和式兩邊同乘以等?數(shù)列的公?，然后作差求解.20.如圖，已知三棱錐 中， ， ，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊邊上，且 ，（1（2）求??? 的正弦值【答案（1）證明?解析（2）【解析】【分析（1）只需證明 及 即可；（2）建?空間直?坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平? 法向量，利?向量公式求解即可.【?問(wèn)1詳解】連接 ，在 中:，則 .在 中:為 的中點(diǎn)，則 .在 中:，則 ，所以 ，? 平? ，故 平? ；【?問(wèn)2詳解】由（1）可知 兩兩垂直，建?空間直?坐標(biāo)系 ，如圖所示.因?yàn)?，則，由所以， ，設(shè)平? 的法向量為 ，則 ，令，因?yàn)?平? ，所以 為平? 的法向量，所以 與 所成?的余弦為.所以???的正弦值為 .21.已知函數(shù)，（1）若，求a的取值范圍（2）若 時(shí)，?程 （ ）在 上恰有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案（1）（2）【解析】【分析（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，