奧數(shù)-裂項法一含答案

奧數(shù)專題一一裂項法（一）

同學們知道：在計算分數(shù)加減法時，兩個分母不同的分數(shù)相加減，要先通分化成

同分母分數(shù)后再計算。

（一）閱讀思考

例如工―這里分母3、4是相鄰的兩個自然數(shù)，公分母正好是它們的乘積,

3412

把這個例題推廣到一般情況，就有一個很有用的等式：

G|J--一匚=—]—

nn+1〃（〃+1）

-111

+n1

下面利用這個等式，巧妙地計算一些分數(shù)求和的問題。

【典型例題】

例1.計算：---------+---------+---------+....+---------

1985x19861986x19871987x19881994x1995

分析與解答：

上面12個式子的右面相加時，很容易看出有許多項一加一減正好相互抵消變?yōu)?/p>

0,這一來問題解起來就十分方便了。

像這樣在計算分數(shù)的加、減時;先將其中的一些分數(shù)做適當?shù)牟鸱郑沟闷渲幸?/p>

部分分數(shù)可以相互抵消，從而使計算簡化的方法，我們稱為裂項法。

例2.計算：-+—^―+——-——+…+-------------

11+21+2+31+2+3+—+100

公式的變式

當〃分別取1,2,3,……,100時,就有

例3.設(shè)符號（）、<>代表不同的自然數(shù)，問算式，=」一+—匚中這兩

6（）<>

個符號所代表的數(shù)的數(shù)的積是多少?

分析與解：減法是加法的逆運算，!=」-+」-就變成!--,與前

6()<>6()<>

面提到的等式工-一匚=」一相聯(lián)系，便可找到一組解，即4=工+-1

n〃+1n{n+1)6742

另外一種方法

設(shè)〃、x、y都是自然數(shù)，且x/y,當工='+_1時，利用上面的變加為減的想法，

nxy

得算式==」。

nxy

這里L是個單位分數(shù)，所以X-〃一定大于零，假定％-〃="(),則》=〃+九代

y

入上式得—--=—,BPy=—+no

yi

又因為y是自然數(shù)，所以，一定能整除〃2,即f是/的約數(shù)，有〃個，就有〃個門

這一來我們便得到一個比,-一匚=—^更廣泛的等式，即當x=〃+r,y=—^n,

n〃+1n{n+1)t

，是〃2的約數(shù)時，一定有1_=_1+工，即

nxy

上面指出當x=〃+r,>=或+〃，r是〃2的約數(shù)時，一定有_L=工+工，這里

tnxy

〃=6,/=36,36共有1,2,3,4,6,9,12,18,36九個約數(shù)。

當7=1時，*=7,y=42

當f=2時，x=8,y=24

當r=3時，x=9,y=18

當,=4時，x=l(),y=I5

當r=6時，x=12,y=io

當，=9時，x=15,y=IO

當r=12時，x=18,y=9

當r=18時，x=24,y=8

當f=36時，x=42,y=7

故（）和〈＞所代表的兩數(shù)和分別為49,32,27,25。

【模擬試題】（答題時間：20分鐘）

二.嘗試體驗：

1.計算:

111111111111

2.計算:4---1---1---1---1----1----1---1---1----1----1---1----1----

3610152128364555667891105120

3.已知x、y是互不相等的自然數(shù)，當,=」+工時，求x+y。

18xy

【試題答案】

1.計算:

111111111111

2.計算:3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91+105+120

3.已知x、y是互不相等的自然數(shù)，當，=工+工時，求x+y。

ISxy

x+y