論勾股數(shù) Microsoft Word 文檔

PAGEPAGE7 勾股數(shù)列，論勾股數(shù)單位：四川省達(dá)縣黃庭學(xué)校教師：羅昱森完成時(shí)間：2010年5月勾股數(shù)列，論勾股數(shù)(羅昱森四川省達(dá)縣黃庭學(xué)校635014)摘要:根據(jù)無窮勾股數(shù)列前兩項(xiàng)的存在與否,得出該數(shù)列的存在與否,論述在的條件下,滿足取確定奇數(shù)的最簡勾股數(shù)組的無窮性或不存在性.關(guān)鍵詞:數(shù)列,,無窮,不存在,特征方程,不等式=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③同時(shí)有解或無解,代數(shù)環(huán)境.我們要研究一種特殊形式的二次不定方程，在我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》中,已經(jīng)栽有“句廣三，股修四，徑偶五”（即勾三，股四，弦五的原始提法）這個(gè)三邊是整數(shù)的直角三角形，因此已經(jīng)找到了不定方程：（=1\*ROMANI）的一組解：（3，4，5.），劉徽九章注（263）年中又栽有：，，，，由此可知在我國古代已經(jīng)找到（=1\*ROMANI）式的很多組解.在古希臘，畢達(dá)哥拉斯也找到了（=1\*ROMANI）式的很多組整數(shù)解.因此,西方稱這些解為畢達(dá)哥拉斯三元組.今天,借住前人的研究成果,由我和大家繼續(xù)討論(1)式的解的規(guī)律性,論述其解所具有的性質(zhì).當(dāng)然,勾股數(shù)組自然是無窮的,一組勾股數(shù)給出后,總可以將其同時(shí)乘上一整數(shù)而得到另一組勾股數(shù),所以我們只需要找最簡勾股數(shù),即互素的勾股數(shù)組.引理:不定方程(1)的適合條件的一切正整數(shù)解可以用下列公式表出: ,一奇一偶.此引理的證明過程比較簡單,在此我就不給出了.看下面的問題:問題一:求一組勾股數(shù),除上面所列的(3,4,5)和(20,21,29)外,使得.問題二:求一組最簡勾股數(shù),使.……………..像這樣,在滿足一奇一偶的條件下,我們可以任意規(guī)定的間距,這些問題是否有解,有多少解,應(yīng)該如何解,為什么?當(dāng)然,的位置可以交換,問題一就是找適合條件的植,仔細(xì)觀察,絕對(duì)值中所處的代數(shù)環(huán)境很相似,我們分別把它當(dāng)作的一元二次方程來解,解的形式和判別式的形式完全一樣,所以我就大膽地猜想:一個(gè)數(shù)如果可以充當(dāng)滿足的條件的值,那它就也有可能充當(dāng)滿足條件的,這樣就可能會(huì)又有一個(gè)新的值支持該值滿足條件,照這樣繼續(xù)下去,就得到一個(gè)奇偶相間的無窮遞增數(shù)列,問題一中支持(3,4,5)的,支持(20,21,29)的,果然如此,數(shù)字2既可充當(dāng),又可充當(dāng),可能還有一個(gè)大于5的偶數(shù)支持5滿足條件,有嗎?它又是多少呢?是否有規(guī)律可循呢?假設(shè)無窮數(shù)列滿足條件,當(dāng)時(shí),有：(=2\*ROMANII)則必為與的線性組合.我們?cè)O(shè),代入(=2\*ROMANII)式,整理后得到:則有關(guān)于的方程組:數(shù)列{}奇偶相間,所以,有唯一整數(shù)解:可見,有且只有一遞推公式:按照公式可推得支持的數(shù)列為{125122970169…….},將5和12代入公式,得到(119,120.169),經(jīng)檢驗(yàn)有,其實(shí)檢驗(yàn)都是多余的,因?yàn)榇私Y(jié)果是由嚴(yán)密的代數(shù)運(yùn)算得出的.可見,滿足的孿生勾股數(shù)組是無窮的.現(xiàn)在就有一個(gè)新問題產(chǎn)生了:像這樣支持的數(shù)列有多少呢?因?yàn)榇藬?shù)列的遞推公式為,所以數(shù)列的前兩項(xiàng)有著特殊的大小關(guān)系,即:,我們可以利用此關(guān)系來證明很多結(jié)論,現(xiàn)在利用該關(guān)系證明數(shù)列{12512…}的完備性:反證法::假設(shè)另有一組數(shù)列第一項(xiàng)為,第二項(xiàng)為滿足條件,則有0<a<b<2a或b>3a,（1）解關(guān)于b的一元二次方程,得到無正整數(shù)解.（2）也沒有整數(shù)解.所以,假設(shè)不能成立.即：只有唯一數(shù)列滿足條件現(xiàn)在看的情況,同樣的方法有,都無滿足條件的值,所以,不存在相隔整數(shù)3的最簡勾股數(shù)組,即問題二無解.容易證明支持的數(shù)列也不存在,用同樣的方法研究取其它奇數(shù)的情形,支持它的數(shù)列有兩組或者不存在,為什么有兩組呢?其實(shí),一奇數(shù)確定,如果已經(jīng)得到一組支持它的數(shù)列,我們總可以按照遞推公式倒推,便得到另一組正負(fù)相間且奇偶相間的數(shù)列,取其絕對(duì)值重新由小到大排列,便得到另外一組與原數(shù)列效果相同的數(shù)列,這兩組數(shù)列的前兩項(xiàng)就是該奇數(shù)所對(duì)應(yīng)的（1）或（2）的解.現(xiàn)又求得兩組支持的數(shù)列{14922…}和{23819…},因數(shù)列{12512……}倒推所得數(shù)列與它自身相同,所以支持的數(shù)列只有一組,利用該數(shù)列把前十二組等式列出：…………看上去似乎有些神奇,容易看出:其勾股數(shù)發(fā)散速度甚快,這就使得我們?cè)谀壳坝?jì)算機(jī)的計(jì)算能力之下,也不能得到很多組解,但并不能因此否定勾股數(shù)解的無窮性,利用特征方程的根為,取數(shù)列第一項(xiàng)和第二項(xiàng),求得數(shù)列{12512…….}的通項(xiàng)公式為::,我們就把前兩項(xiàng)互素,一奇一偶,且特征根為,的數(shù)列命名為勾股數(shù)列.當(dāng)然，數(shù)列發(fā)散甚快，但是收斂的?，F(xiàn)計(jì)算一下其收斂值：令：，.則:.前面已經(jīng)證明:3和5都沒有與之對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)列,其他奇數(shù)又怎樣呢?我已經(jīng)說過,勾股數(shù)列的前兩項(xiàng)有特殊意義,我們可以利用它證明很多結(jié)論,今利用它得出100以內(nèi)有解的奇數(shù)表,如下:數(shù)列一數(shù)列二1{1,2,5,12…}7{2,3,8,19…}{1,4,9.22…}17{2,7,16,39…}{3,4,11,25…}23{1,6,13,32…}{4,7,18,43…}31{3,10,23,56…}{4,5,14,33…}41{2,9,20,49…}{5,8,2150…}47{1,8,17,42…}{6,11,28,67…}49{4,13,30,73…}{5,6,17,40…}71{5,16,37,90…}{6,7,20,47…}73{2,11,24,59…}{7,12,31,74…}79{1,19,39,97…}{8,15,38,91…}89{4.15,34,83…}{7,10,27,64…}97{6,19,44,107…}{7,8,23,55…}（表一）根據(jù)這張表也不能得出什么結(jié)論,因?yàn)槲覀冎挥懻摿?00以下的情況,也看不出其存在的規(guī)律性,但有一點(diǎn),有解的奇數(shù)并不多.，用二次同余理論得出有解胡奇數(shù)和8的整數(shù)倍數(shù)相鄰,.即:. 我仔細(xì)觀察了上表,在100以下,有解的奇數(shù)除1,和49外,其它的都是素?cái)?shù),而49也只有一個(gè)非平凡因數(shù)7,當(dāng)然,1很特殊,只有自己一個(gè)因數(shù).有解的奇數(shù)分布還具有什么性質(zhì)呢?還有一些問題沒有解決.現(xiàn)在利用上表中每組數(shù)列的前兩項(xiàng)，把其對(duì)應(yīng)的勾股等式列出：等式一等式二71723314147497173798997（表二）下面再利用表中的數(shù)列把相隔7的前十個(gè)勾股等式列出：………此勾股數(shù)發(fā)散速度比前一組慢，因?yàn)橹С炙臄?shù)列有兩組。結(jié)論:(1)在的條件下,滿足取確定奇數(shù)的最簡勾股數(shù)組具有無窮性或不存在性.(2)取一確定不為1的奇數(shù),且,下列三不等式:=1\*GB3①=2\*GB