測控系統(tǒng)仿真技術(shù)課件

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1微分方程控制系統(tǒng)的數(shù)學模型通常是指動態(tài)數(shù)學模型。最基本、最重要的數(shù)學模型是微分方程，它反映了元部件或系統(tǒng)動態(tài)運行的規(guī)律。建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，一般是根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)、參數(shù)及計算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系統(tǒng)的數(shù)學模型既能準確地反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì)，又能簡化分析計算的工作。建立數(shù)學模型比較常見的方法是解析法和實驗法。

解析法是根據(jù)系統(tǒng)及元部件中各變數(shù)之間所遵循的物理、化學定律，列出系統(tǒng)各變數(shù)之間數(shù)學運算式，然後建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型；實驗法是採用某些檢測儀器，在現(xiàn)場對控制系統(tǒng)加入特定信號，對輸出回應進行測量和分析，得到實驗數(shù)據(jù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。2.1.1微分方程的建立1.微分方程建立的一般步驟採用解析法來建立系統(tǒng)或元部件的微分方程所遵循的一般步驟是：（1）確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變數(shù)。（2）根據(jù)物理和化學定律（比如：牛頓運動定律、能量守恆定律、克?；舴蚨傻龋┝谐鱿到y(tǒng)或元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中間變數(shù)與其它因素的關(guān)係式。（4）消去原始方程式的中間變數(shù)，得到一個關(guān)於輸入、輸出的微分方程式。（5）進行標準化處理，將輸出各項放在等號左端，輸入各項放在等號右端，並且按照微分方程的階次降冪排列，同時將各係數(shù)化為具有一定物理意義的形式。例2.1

R—L—C串聯(lián)電路，建立該系統(tǒng)的微分方程。

解：在R—L—C串聯(lián)電路中，輸入電壓Ur為系統(tǒng)的輸入量，輸出電壓Ｕc為系統(tǒng)的輸出量。根據(jù)克希霍夫定律，可以得到回路的電壓方程如下：電容Ｃ兩端的電壓為：中間變數(shù)為：

帶入原始方程中，消去中間變數(shù)，並移項整理得：

該式即為R—L—C串聯(lián)電路的微分方程。

2.1.2線性微分方程的求解採用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟（1）將系統(tǒng)的微分方程進行拉普拉斯變換，得到以S為變數(shù)的代數(shù)方程，也稱為變換方程。（2）求解變換方程，得到系統(tǒng)輸出變數(shù)的象函數(shù)運算式。（3）將輸出的象函數(shù)運算式展開成部分分式。（4）對部分分式進行拉普拉斯反變換，即可得到系統(tǒng)微分方程的解。2.1.3非線性數(shù)學模型的線性化處理

1.線性化的基本概念所謂非線性數(shù)學模型的線性化就是對一個非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型找出其穩(wěn)定的平衡點，如果在工作過程中，代表系統(tǒng)屬性的各物理量只在該平衡點附近產(chǎn)生微小的變化，非線性系統(tǒng)模型就能夠以此平衡點為基礎，表示成一個線性模型，關(guān)於線性系統(tǒng)的控制理論都能適用於該模型。這便是自動控制理論裏關(guān)於小偏差線性化方法或稱增量線性化方法的概念。2.非線性數(shù)學模型的線性化的基本方法對於非線性系統(tǒng)，當系統(tǒng)變數(shù)偏離工作點的偏差值很小時，由級數(shù)理論可知，若變數(shù)在給定的工作區(qū)間內(nèi)其各階導數(shù)存在，便可在給定工作點的鄰域內(nèi)將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，當偏差的範圍很小時，可以忽略級數(shù)中偏差的高次項，得到只包含偏差的一次項的線性方程。3.求線性化微分方程的步驟（1）按物理和化學定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點處各變數(shù)的數(shù)值。（2）找出原始方程式中間變數(shù)與其它因素的關(guān)係，若為非線性函數(shù)，在原平衡點鄰域內(nèi)，各階導數(shù)存在並且是唯一的，則可進行線性化處理。（3）將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，忽略偏差量的高次項，留下一次項，求出它的係數(shù)值。（4）消去中間變數(shù)，在原始方程式中，將各變數(shù)用平衡點的值加偏差量來表示。

2.2傳遞函數(shù)

2.2.1.傳遞函數(shù)的概念1.傳遞函數(shù)的定義對於一個線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零時，系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。表示為：2.傳遞函數(shù)的求取按照傳遞函數(shù)的定義，利用系統(tǒng)的微分方程進行相應的拉氏變換，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例LRC電路的傳函：3.傳遞函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)運算式的分析，傳遞函數(shù)具備下列性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)或元部件動態(tài)特性的一種數(shù)學模型，在形式上與系統(tǒng)的微分方程一一對應。（2）傳遞函數(shù)只表明輸入變數(shù)與輸出變數(shù)之間的動態(tài)關(guān)係，不能夠反映出系統(tǒng)內(nèi)部的資訊。（3）傳遞函數(shù)只能直接反映系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動態(tài)特性，即在零時刻之前，系統(tǒng)在給定工作點處是相對靜止的；若系統(tǒng)處於非零初始狀態(tài)下，則傳遞函數(shù)無法反映系統(tǒng)的特性和運動規(guī)律，需要作其他方面的處理。（4）傳遞函數(shù)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)確定，而與輸入信號的形式無關(guān)，它反映了系統(tǒng)本身的動態(tài)特點。對於同一系統(tǒng)，當選取不同的輸入量和輸出量時其傳遞函數(shù)是不同的。（5）同一個系統(tǒng)，對於不同作用點的輸入信號和不同觀測點的輸出信號之間，傳遞函數(shù)具有相同的分母多項式，所不同的是分子多項式。在分析系統(tǒng)性能時，常將傳遞函數(shù)的分母多項式稱為特徵多項式，它決定著系統(tǒng)回應的基本特點和動態(tài)本質(zhì)。（6）實際系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)的分母多項式階次n總是大於分子多項式階次m，這是因為控制系統(tǒng)總是存在“慣性”，且外部提供的能量是有限的。（7）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學抽象，無法直接由它看出實際系統(tǒng)的物理構(gòu)造，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)表示。

2.2.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)通常，控制系統(tǒng)是由若干元部件有機組合而成的，從結(jié)構(gòu)和作用原理來看，可以有各種各樣的不同元部件，但是從動態(tài)性能和數(shù)學模型來看，可以分為幾個基本的典型環(huán)節(jié)。不管元部件是機械式、電氣式、液壓式等，只要其數(shù)學模型一樣，它們就可以歸納為同一個環(huán)節(jié)，這樣給分析、研究系統(tǒng)性能帶來很多方便。常用的典型環(huán)節(jié)主要有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振盪環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等6種形式。1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)也稱為放大環(huán)節(jié)，其特點是環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比。傳遞函數(shù)為：

其中k為放大係數(shù)。2.慣性環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為：

k為傳遞係數(shù)；T為慣性時間常數(shù)

3.一階微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為：

為微分時間常數(shù)

理想的微分環(huán)節(jié)(純微分)傳遞函數(shù)為：4.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：式中，稱為積分時間常數(shù)。

5.振盪環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：其中T為時間常數(shù)，為阻尼係數(shù)，也稱為阻尼比，稱為無阻尼自然振盪頻率。

6.延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的特點是具有時間上的延遲效應，當輸入量作用後，在給定一段時間之前，延遲環(huán)節(jié)的輸出量一直未變化，只有到達延遲時間以後，環(huán)節(jié)的輸出量才無偏差的複現(xiàn)原信號。延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

通過上述分析，我們要明確以下幾點：（1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按照數(shù)學模型的共性來建立的，它與系統(tǒng)中使用的元部件不是一一對應的，一個系統(tǒng)可能是一個典型環(huán)節(jié)，也可能由幾個典型環(huán)節(jié)組合而成。（2）按照數(shù)學模型對元部件和系統(tǒng)進行分類，產(chǎn)生出若干典型環(huán)節(jié)，將有助於系統(tǒng)動態(tài)特性的研究和分析。（3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用於能夠用線性定常系統(tǒng)來描述的場合。

2.2.3自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

如下圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，採用疊加原理可分別求出在輸入信號和擾動信號作用下的系統(tǒng)各類傳遞函數(shù)。

其中各類信號和裝置分別定義為：輸入信號：R（S）輸出信號：C（S）主回饋信號：B（S）偏差信號：E（S）干擾信號：N（S）控制器：G1（S）被控對象：G2（S）回饋環(huán)節(jié)：H（S）輸入信號主回饋信號干擾信號被控對象輸出信號偏差信號控制器回饋環(huán)節(jié)1.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這是指當系統(tǒng)主回饋通路斷開以後，回饋信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)。表示為：

從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等於前向通道的傳遞函數(shù)與回饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

令干擾信號為0，系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。表示為：

3.干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)令輸入信號為0，系統(tǒng)輸出信號與干擾信號之間的傳遞函數(shù)即為干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。

表示為：

4.閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

輸入信號作用下的誤差傳遞函數(shù)：令干擾信號，誤差信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。表示為：

2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成及繪製1.結(jié)構(gòu)圖的組成符號、名稱及功能系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成符號主要有以下4種：（1）信號線：表示系統(tǒng)中信號的流通方向，並標明信號對應的變數(shù)。（2）引出點：表示信號從該點取出，從同一信號線上取出的信號，其大小、性質(zhì)完全相同。（3）比較點：表示兩個或兩個以上的信號在該點進行疊加。（4）方框：表示輸入、輸出信號之間的動態(tài)傳遞關(guān)係。

結(jié)構(gòu)圖的繪製步驟（1）列出系統(tǒng)中各元部件的微分方程，確定輸入、輸出變數(shù)。（2）以典型環(huán)節(jié)或典型環(huán)節(jié)的組合來取代系統(tǒng)中的具體元部件，將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方框中，標出信號及其流向。（3）按系統(tǒng)中信號的流向，把代表各環(huán)節(jié)的方框連接起來，即構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。方框圖中給出了資訊傳遞的方向，又標出了輸入、輸出的定量關(guān)係。2.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換控制系統(tǒng)通常是由不同的典型環(huán)節(jié)按照各自相互關(guān)係有機地連接起來，這種連接可以分為以下3種形式：1.串聯(lián)連接環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的特點是：前一環(huán)節(jié)的輸出量是後一環(huán)節(jié)的輸入量。一般情況下，當n個環(huán)節(jié)串聯(lián)時，忽略負載效應後，其等效傳遞函數(shù)為：

可見，串聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等於各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。

並聯(lián)連接其特點是：各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出在相加點進行疊加。一般情況下，當n個環(huán)節(jié)並聯(lián)時，其等效傳遞函數(shù)為：

可見，並聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等於各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。3.回饋連接回饋連接的特點是：環(huán)節(jié)的輸出信號回饋到輸入端與輸入信號進行比較。則負回饋連接的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

若稱為單位負回饋系統(tǒng)。

2.4狀態(tài)空間描述

狀態(tài)空間運算式：根據(jù)分析，對於某一特定系統(tǒng)（可以是線性或非線性的、定常或時變的），當引入n個狀態(tài)變數(shù)(系統(tǒng)的內(nèi)部變數(shù))，將其化為n個一階微分方程組的形式，再對其採用矩陣描述，可以得到如下運算式：

.X=AX+BU,狀態(tài)方程，描述狀態(tài)變數(shù)與輸入量間的一階微分方程

Y=CX

,輸出方程，輸出量與狀態(tài)變數(shù)間的函數(shù)關(guān)係式

其中：

A——狀態(tài)變數(shù)係數(shù)矩陣,系統(tǒng)矩陣

B——輸入變數(shù)係數(shù)矩陣，控制矩陣

C——輸出變數(shù)係數(shù)矩陣，輸出矩陣

例，對於RLC電路通常取儲能元件上的參數(shù)為狀態(tài)變數(shù)：

X1=Uc,X2=i

代入上式就可得：通常輸出信號記為y,有y=Uc=X1,寫成向量矩陣形式：2.5數(shù)學模型的相互轉(zhuǎn)換

在實際工程中，由於要解決自動控制問題所需要的數(shù)學模型與該問題所給定的已知數(shù)學模型往往是不一致的，也可能是要解決問題最簡單而又最方便的方法所用到的數(shù)學模型與該問題所給定的已知數(shù)學模型不同，此時，就需要對控制系統(tǒng)的數(shù)學模型進行轉(zhuǎn)換。另外，在不同的應用場合，由於實際系統(tǒng)所給定的數(shù)學模型形式各異，在仿真時要進行模型的轉(zhuǎn)換，即將給定模型轉(zhuǎn)換為仿真程式能夠處理的模型形式。通常，系統(tǒng)的微分方程作為描述動態(tài)性能的基本形式，當作為共性的內(nèi)容進行分析時，又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，而在電腦中，利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述最方便。所以，討論系統(tǒng)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換具有實際的指導意義。

本章小結(jié)

本章介紹了幾種控制系統(tǒng)中常用的數(shù)學模型形式，其中，系統(tǒng)的微分方程是最基本、最常用的；通過拉氏變換得到的傳遞函數(shù)也是表達系統(tǒng)性能的常見數(shù)學模型；若系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)較複雜，又要表示出各變數(shù)之間的信號傳遞關(guān)係，就可以採用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖來描述；此外，為了反映出系統(tǒng)中變數(shù)的初始狀態(tài)，還可以用狀態(tài)變數(shù)來描述系統(tǒng)的數(shù)學模型。要明確各類數(shù)學模型的定義、特點、表示方法，掌握數(shù)學模型的建立過程，為後面的實際應用打下良好的基礎。在實際應用中，可以根據(jù)系統(tǒng)的性能和表達方式來合理地選擇數(shù)學模型的類別，也可以將各種不同模型進行轉(zhuǎn)換，以得到一個最適合的模型，用於控制系統(tǒng)的分析和討論。

控制系統(tǒng)的分析方法3.1典型輸入信號及其回應

3.1.1概述系統(tǒng)的回應是指在給定信號作用下，系統(tǒng)的輸出信號隨時間變化的狀況，也是系統(tǒng)微分方程的解。我們將系統(tǒng)在穩(wěn)定之前的回應稱為暫態(tài)回應，它提供系統(tǒng)在過渡過程中各項動態(tài)性能指標；系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)後的回應稱為穩(wěn)態(tài)回應，它反映出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標，也即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的大小。為了便於研究和分析控制系統(tǒng)，通常選用幾種確定的函數(shù)來作為典型的外部輸入信號，其具備的基本特點是：在實際工作現(xiàn)場或?qū)嶒炇抑?，這種外作用信號容易產(chǎn)生。在典型的外部信號作用下，系統(tǒng)的回應能夠反映出該控制系統(tǒng)在實際工作中的確定性能。選擇的外部作用信號其數(shù)學運算式簡單，便於進行理論計算。

3.1.2典型輸入信號

目前，在工程設計中比較常見的典型外部作用信號主要有以下5種：1.階躍函數(shù)信號階躍函數(shù)信號是控制系統(tǒng)在實際工作條件下經(jīng)常遇到的一種外作用信號，例如，給系統(tǒng)加重和卸載；電源電壓的突然跳動，表現(xiàn)出來的即為階躍函數(shù)信號。2.斜坡函數(shù)信號斜坡函數(shù)信號也稱為速度函數(shù)信號，例如，運算放大器輸入為恒值電壓時，輸出即為斜坡函數(shù)。3.拋物線函數(shù)信號拋物線函數(shù)信號也稱為加速度函數(shù)信號，在隨動系統(tǒng)中是最常見的作用信號。4.脈衝函數(shù)信號脈衝函數(shù)信號也稱為衝擊函數(shù)信號，單位脈衝函數(shù)信號為數(shù)學上的一種抽象，在實際系統(tǒng)中難以產(chǎn)生。5.正弦函數(shù)信號正弦函數(shù)信號是在頻率法中採用的外作用信號，用正弦函數(shù)作為系統(tǒng)的外作用信號，可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)回應，稱之為頻率回應。3.1.3典型信號的回應

對於一個控制系統(tǒng)來講，設其各變數(shù)的初始狀態(tài)為零，在輸入典型外作用信號時，系統(tǒng)的輸出稱為典型信號的回應。（1）單位階躍回應：系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)信號作用下的輸出稱為單位階躍回應。（2）單位斜坡回應：系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)信號作用下的輸出稱為單位斜坡回應。（3）單位脈衝回應：系統(tǒng)在單位脈衝函數(shù)信號作用下的輸出稱為單位脈衝回應，也稱為脈衝過渡函數(shù)。3.2時域分析法控制系統(tǒng)對非週期性信號的回應稱為時域回應。在經(jīng)典控制理論中，時域分析法是一種最常見的分析方法，表現(xiàn)出直接、準確的特點，可以提供系統(tǒng)時間回應的全部資訊。3.2.1一階系統(tǒng)的時域回應可以採用一階微分方程來描述其暫態(tài)過程的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的微分方程一般形式為：其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：T為系統(tǒng)的時間常數(shù)，下麵討論在系統(tǒng)初始條件為零時，一階系統(tǒng)對典型輸入信號的回應。

一階系統(tǒng)的單位階躍回應分析對一階系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)信號：其拉氏變換為：系統(tǒng)的輸出回應：將上式進行拉氏反變換，可以得到系統(tǒng)輸出的過渡過程運算式：

在單位階躍輸入信號作用下，一階系統(tǒng)的輸出量隨時間變化的規(guī)律是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，回應的最終值為1，時間常數(shù)T是描述回應速度的唯一參數(shù)，Ｔ越小，暫態(tài)過程進行得越快，即速度越快。

結(jié)論：一階系統(tǒng)的階躍回應曲線是一個單調(diào)的非週期回應，沒有超調(diào)量，系統(tǒng)過渡過程的快慢是其主要性能指標，通常稱之為調(diào)節(jié)時間。一般有：ts=3T（對應5%的誤差帶）

ts=4T（對應2%的誤差帶）從上式中可以看出，系統(tǒng)的時間常數(shù)越小，調(diào)節(jié)時間就越小，系統(tǒng)回應的過渡過程時間就越短，回應過程的快速性就越好。

【例3.1】已知一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求其單位階躍回應運算式，計算系統(tǒng)的過渡過程調(diào)節(jié)時間，分析系統(tǒng)的性能特點。解：（1）將一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)化為標準式並找出系統(tǒng)的特徵參數(shù)即：；放大係數(shù)K=5，時間常數(shù)T=0.5按公式可得加入放大器後系統(tǒng)的單位階躍回應運算式為：

（2）計算系統(tǒng)的過渡過程調(diào)節(jié)時間取5%的誤差帶：ts=3T=3×0.5=1.5（秒）取2%的誤差帶：ts=4T=4×0.5=2（秒）（3）從上述計算結(jié)果分析該系統(tǒng)的性能特點該系統(tǒng)中加入了1個放大器，系統(tǒng)的單位階躍回應是一條從零開始，按指數(shù)規(guī)律變化，最終穩(wěn)態(tài)值為5的非週期性曲線，動態(tài)過程無振盪；由於時間常數(shù)為0.5，使得調(diào)節(jié)時間稍長，快速性較差；系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

3.2.2二階系統(tǒng)的時域回應

如果系統(tǒng)的數(shù)學模型可採用二階微分方程來描述，則該系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

T為時間常數(shù)，為阻尼比，為無阻尼自然振盪頻率。二階系統(tǒng)的閉環(huán)特徵方程為方程的特徵根為：當方程特徵根中的阻尼比取值不同時，系統(tǒng)的特徵根和回應狀態(tài)均不相同，其對應關(guān)係見表3-1所示。。

1.二階系統(tǒng)的單位階躍回應分析下麵重點分析在欠阻尼狀態(tài)下的二階系統(tǒng)的單位階躍回應。由於欠阻尼狀態(tài)下，阻尼比取值為0＜＜1，此時系統(tǒng)的特徵根為一對實部為負的共軛複根，可變?yōu)椋?/p>

是特徵根實部的模值；稱為阻尼振盪角頻率，對二階系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)信號：拉氏變換為：系統(tǒng)的輸出回應為：將上式進行拉氏反變換，可以得到系統(tǒng)輸出的過渡過程運算式：

這就是二階系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)下單位階躍回應的過渡過程。

2．二階系統(tǒng)的性能指標計算及其參數(shù)對應關(guān)係

通常，在欠阻尼狀態(tài)下，如上圖所示，描述系統(tǒng)的動態(tài)性能指標有以下5個方面：

（1）延遲時間：

這是系統(tǒng)的單位階躍回應到達其穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。增大自然頻率或是減少阻尼比，都可以使系統(tǒng)回應的延遲時間減少，從而使回應的初始段時間短，跟蹤迅速。

（2）上升時間：其中，這是系統(tǒng)的回應從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。表徵了系統(tǒng)的回應速度，上升時間越小，回應越快。當阻尼比不變時，角就不變，則增大自然頻率會使上升時間縮短，可加快系統(tǒng)的回應速度；當阻尼振盪頻率不變時，阻尼比越小，上升時間就越短。（3）峰值時間：這是指系統(tǒng)回應超過穩(wěn)態(tài)值，到達第一個峰值所需的時間。其值與阻尼振盪頻率成反比。（4）超調(diào)量：這是系統(tǒng)回應在過渡過程中，輸出量的最大值與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差。超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)，阻尼比越大，超調(diào)量越小，系統(tǒng)的動態(tài)回應越平穩(wěn)。（5）調(diào)節(jié)時間：

；對應5%的誤差帶，這是指系統(tǒng)回應到達穩(wěn)態(tài)值的±5%所需的時間。

；對應2%的誤差帶，這是指系統(tǒng)回應到達穩(wěn)態(tài)值的±2%所需的時間。

調(diào)節(jié)時間與阻尼比和阻尼振盪頻率的乘積成反比。調(diào)節(jié)時間越短，說明系統(tǒng)的動態(tài)回應速度越快。上述5個動態(tài)性能指標基本上可以體現(xiàn)出控制系統(tǒng)過渡過程的總體特徵。在實際應用中，經(jīng)常使用的動態(tài)性能指標為系統(tǒng)的上升時間、調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量。3.2.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定的基本概念系統(tǒng)是否穩(wěn)定是決定系統(tǒng)能否正常工作的前提條件，系統(tǒng)的穩(wěn)定性反映在干擾消失後的過渡過程性質(zhì)上。若系統(tǒng)受到擾動偏離原來的平衡狀態(tài)後，去掉擾動量，系統(tǒng)能夠按照一定精度恢復到原始狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)我們稱之為穩(wěn)定的系統(tǒng)。反之，如果去掉擾動，系統(tǒng)不能回到原始狀態(tài)，或者偏離量隨時間增長而增加，則稱之為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

2.控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：——特徵方程式的係數(shù)具有相同的符號，且均不為零，也即特徵方程不缺項?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：——特徵根均為負實數(shù)或者具有負的實數(shù)部分；或者說特徵方程所有根均在根平面的左半部分；也可以說系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位於[S]平面的左半部分。

3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)英國人E.J.勞斯提出一種代數(shù)判據(jù)，它是根據(jù)系統(tǒng)特徵方程式的係數(shù)來直接判斷特徵根的實數(shù)部分的符號，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯穩(wěn)定判據(jù)為：控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯陣列表中第一列所有元素的計算值均大於零。檢查勞斯陣列表中第一列所有元素的符號：若第一列各元素均為正值，說明特徵根具備負的實數(shù)部分，即所有閉環(huán)極點都在[S]平面的左半部分，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果第一列元素值出現(xiàn)負號，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，符號改變的次數(shù)等於特徵右根的個數(shù)。

3.2.4系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析前面所討論的系統(tǒng)過渡過程表徵了系統(tǒng)的動態(tài)性能，這是控制系統(tǒng)的重要特徵之一。控制系統(tǒng)的另一個特徵是穩(wěn)態(tài)性能，對於穩(wěn)定的系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)性能一般是根據(jù)系統(tǒng)在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)等輸入信號作用下引起的穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。1.穩(wěn)態(tài)誤差的概念我們將穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，記為：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決於系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)（包括系統(tǒng)的類型及參數(shù)）和外部輸入信號的性質(zhì)。

在典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)型號、靜態(tài)誤差係數(shù)的對應關(guān)係參見表3-4。

2.穩(wěn)態(tài)誤差的計算我們採用靜態(tài)誤差係數(shù)法來分析討論系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算，這是給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的一種計算方法。

對於單位回饋系統(tǒng)來講，穩(wěn)態(tài)誤差係數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)有直接的關(guān)係。對於穩(wěn)定的系統(tǒng)，靜態(tài)誤差係數(shù)反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，係數(shù)越大，穩(wěn)態(tài)誤差越?。幌到y(tǒng)的類型號越高，則限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力越強。

3.關(guān)於穩(wěn)態(tài)誤差計算時的幾點說明（1）只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才能計算其穩(wěn)態(tài)誤差，否則無意義，如果系統(tǒng)的穩(wěn)定性事先沒有確定，要按照穩(wěn)定的條件和判斷方法確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，然後才能計算穩(wěn)態(tài)誤差。（2）前面的分析和計算公式的推導是在輸入信號作用下，單位負回饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差處理，如果是非單位回饋系統(tǒng)，應該將其轉(zhuǎn)換為單位回饋，再利用公式處理。（3）公式中的K值，是根據(jù)式（3-19）所表示的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)得到的，如果給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)運算式不是標準式，則應先將其轉(zhuǎn)換為式（3-19）所示的形式。

4.減少穩(wěn)態(tài)誤差的措施（1）組成控制系統(tǒng)的元器件參數(shù)應具備相應的精度和穩(wěn)定性。（2）提高系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)可以降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，通常是在系統(tǒng)的前向通道中串聯(lián)放大環(huán)節(jié)。但是，單純提高K值會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，解決的辦法是可以進行相應的校正，如引入局部速度負回饋等。（3）提高系統(tǒng)的型號，可以增強系統(tǒng)跟隨輸入信號的能力，通常是在系統(tǒng)的前向通道中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)增加以後，會改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點，將使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降。3.3頻域分析法

頻域分析法採用自動控制中的另一種數(shù)學工具——頻率特性，可以研究系統(tǒng)控制過程的性能，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)精度。這種方法不必直接求解系統(tǒng)的微分方程，而是間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線，分析閉環(huán)系統(tǒng)的回應，因此它是一種圖解的方法。3.3.1頻率特性的概念頻率特性的定義線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率變化的特性稱為頻率特性，它等於輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的複數(shù)比。頻率特性的運算式為：3.3.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.頻率特性的3種圖示法及其應用場合（1）幅頻、相頻特性曲線這種方法主要用於分析系統(tǒng)性能，推算系統(tǒng)的數(shù)學模型和參數(shù)。（2）對數(shù)幅頻、對數(shù)相頻特性曲線對數(shù)頻率特性曲線也稱為伯德圖（Bode圖），主要用於系統(tǒng)性能的分析和討論，包括穩(wěn)定性、動態(tài)性能、抗干擾能力和性能的改善等。（3）福相特性曲線畫有福相特性曲線的圖稱為極座標圖，福相特性曲線也稱為奈奎斯特曲線（Nyquist曲線），主要用於判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性在系統(tǒng)頻率特性的表示方法中，採用對數(shù)座標圖表示的伯德圖具有下述特點：可以將頻率特性幅值的乘除化為對數(shù)座標中的加減運算，便於進行疊加處理?？梢杂帽容^簡便的方法來繪製環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線，即漸近線表示。通過實驗獲得的數(shù)據(jù)畫成伯德圖，可以方便地確定系統(tǒng)的頻率特性表示式。由於開環(huán)系統(tǒng)是由各種典型環(huán)節(jié)組合而成的，可以通過典型環(huán)節(jié)的疊加後形成系統(tǒng)的開環(huán)特性。3.3.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為方便討論，我們通過開環(huán)對數(shù)頻率特性來分析系統(tǒng)的性能。為此就要繪製出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線，其基本思路是：（1）將化為標準形式，分解為各典型環(huán)節(jié)的組合。（2）按典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的特點，從小到大找出系統(tǒng)特性曲線在轉(zhuǎn)捩點處的頻率和每段的斜率變化規(guī)律。（3）選定繪製系統(tǒng)特性曲線所採用的坐標軸比例尺和頻率範圍。（4）按各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性漸近線，在轉(zhuǎn)折頻率處依次疊加而得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。

3.3.4系統(tǒng)性能的分析1.三頻段的定義及其與系統(tǒng)性能的對應關(guān)係在頻率法中，為了分析和討論系統(tǒng)的性能，我們提出開環(huán)對數(shù)幅頻特性的三頻段概念。運用三頻段的原理，可以分析控制系統(tǒng)的性能、討論系統(tǒng)參數(shù)對性能的影響、對系統(tǒng)進行合理的設計。一個具有較好的動態(tài)回應、較高的穩(wěn)態(tài)精度、理想的跟蹤能力、滿意的抗干擾性能的控制系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線中三頻段的設置是很明確的。如下圖所示的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性：（1）低頻段：由比例＋積分環(huán)節(jié)組合而成，，其中的開環(huán)增益K和控制系統(tǒng)的型號都與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān)。通常，其斜率應取，而且其曲線要保持足夠的高度，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求。（2）中頻段：在系統(tǒng)開環(huán)截止頻率的兩端區(qū)間內(nèi)，主要與微分、慣性等環(huán)節(jié)有關(guān)，反映出系統(tǒng)的動態(tài)性能。此段中的開環(huán)截止頻率不能過低，而且其附近應該具備的斜率段，以便滿足系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性的要求。斜率段所占的頻帶寬度越大，則系統(tǒng)時域回應的震盪傾向和超調(diào)量越小，平穩(wěn)性越好；越大，系統(tǒng)的快速性越好。

（3）高頻段：系統(tǒng)最後1個轉(zhuǎn)折頻率以後的區(qū)域，反映出控制系統(tǒng)工作在高頻區(qū)域時的特點，與系統(tǒng)的抗干擾能力相對應。要求高頻段的幅頻特性斜率儘量低，衰減幅值大，這樣可保證系統(tǒng)的抗高頻干擾性好。

4.穩(wěn)定性分析

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：當由由變化時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線繞點轉(zhuǎn)角，系統(tǒng)則穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。其中，P是系統(tǒng)開環(huán)特徵右根的個數(shù)。若P=0，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，曲線不包圍點，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。若P≠0，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，當曲線繞點轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。在繪製系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線時，規(guī)定逆時針方向包圍為正，順時針方向包圍為負。

數(shù)值積分法仿真

4.1數(shù)值積分法

4.1.1概述數(shù)字仿真模型、演算法及仿真工具控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真是利用數(shù)字電腦作為仿真工具，採用數(shù)學上的各種數(shù)值演算法求解控制系統(tǒng)運動的微分方程，得到被控物理量的運動規(guī)律。通常，電腦模擬被控對象是用一定的仿真演算法來實現(xiàn)被控對象的運動規(guī)律，這是基於被控對象的數(shù)學模型來完成的?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型經(jīng)過合理的近似及簡化，大多數(shù)建立為常微分方程的表達形式。由於數(shù)學計算的難度和實際系統(tǒng)的複雜程度，在實際中遇到的大部分微分方程難以得到其解析解，通常都是通過數(shù)字電腦採用數(shù)值計算的方法來求取其數(shù)值解。在高級仿真軟體（例如MATLAB）環(huán)境下，已提供了功能十分強大、且能保證相應精度的數(shù)值求解的功能函數(shù)或程式段，使用者僅需要按規(guī)定的語言規(guī)格調(diào)用即可，而無需從數(shù)值演算法的底層考慮其編程實現(xiàn)過程。4.1.2離散化原理在數(shù)字電腦上對連續(xù)系統(tǒng)進行仿真時，首先遇到的問題是，數(shù)字電腦的數(shù)值及時間都是離散的（計算精度，指令執(zhí)行時間），而被仿真系統(tǒng)的數(shù)值和時間是連續(xù)的，後者如何用前者來實現(xiàn)？設系統(tǒng)模型為：,共中u(t)為輸入變數(shù)，y(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變數(shù)。令仿真時間間隔為h,離散化後的輸入變數(shù)為u’(tk),其中tk表示t=kh。如果u’(tk)≈u(tk),y’(tk)≈y(tk)，則認為兩模型等價，稱為相似原理。對仿真建模方法有三個基本要求：

1、穩(wěn)定性，若原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化後的仿真模型也得是穩(wěn)定的2、準確性，絕對或相對誤差小於規(guī)定誤差3、快速性，數(shù)字仿真是一步步推進的，由某個初始值y0出發(fā)，依次計算出y1、y2…yk，每一步計算所需時間決定了仿真速度。

4.1.3數(shù)值積分法一般情況下，在控制系統(tǒng)仿真中最常用、最基本的求解常微分方程數(shù)值解的方法主要是數(shù)值積分法。對於形如的系統(tǒng)，已知系統(tǒng)狀態(tài)變數(shù)y的初值y0,現(xiàn)要計算y隨時間變化的過程y(t)，對微分方程的積分可以寫作：右圖所示曲線下的面積就是y(t),由於難以得到積分的數(shù)值運算式，所以採用近似的方法，常用有三種形式：歐拉法梯形法龍格一庫塔法歐拉公式,採用矩形面積近似積分結(jié)果，即當t=tk+1時hk=tk+1-tk,若步距不變，則hk=h.為了提高精度，人們提出了“梯形法”，其中最簡單的是亞當姆斯預報—校正公式，先用歐拉法估計近似值，然後用梯形法進行校正：龍格-庫塔法的基本原理在連續(xù)系統(tǒng)仿真中，主要的數(shù)值計算工作是求解一階微分方程：若已知y的初值y0,再按離散化原理，對上式我們可以寫成：再對上式的右端函數(shù)f(t,y)(為任意非線性函數(shù))在tk附近展開成泰勒級數(shù)，依照展開的階次不同我們就構(gòu)成了不同的龍格-庫塔公式。二階龍格—庫塔公式,記在tk時刻的狀態(tài)變數(shù)為yk,並定義兩個附加向量型變數(shù)

:四階龍格—庫塔公式：不論幾階RK法，它們的計算公式都是由兩部分組成，即上一步的結(jié)果yk和步長h乖以tk至tk+1時間間隔間各外推點的導數(shù)ki的加權(quán)平均和·有了上面的數(shù)學演算法，就可以用MATLA編寫出該演算法的函數(shù)：

function[tout,yout]=rk4(odefile,tspan,y0)t0=tspan(1);th=tspan(2);iflength(tspan)<=3,h=tspan(3)else,h=tspan(2)-tspan(1);th=tspan(2);endtout=[t0:h:th]’;yout=[];fort=tout’k1=eval([odefile’(t,y0)’]);k2=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k1)’]);k3=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k2)’]);k4=eval([odefile’t+h,y0+k3’]);yout=[yout;y0’];end其中，tspan可以有兩種構(gòu)成方法：一是可以是一個等間距的時間向量；二是tspan=[t0,th,h],t0和th為計算的初始及終止值，h為計算步長，odefile是一個字串變數(shù)，表示微分方程的檔案名，y0是初值列向量，函數(shù)調(diào)用完成後，時間向量與各個時刻狀態(tài)變數(shù)構(gòu)成的矩陣分別由tout和yout返回.MATLAB提供了兩個RK法函數(shù)ode23()和ode45()，一個採用二階三級公式，一個採用四階五級RK法，並採用了自適應變步長的求解方法，即當解的變化較慢時採用較大的計算步長，以加快計算速度；當方程的解變化得較快時，積分步長自動變小，以得到較高的計算精度。4.2仿真精度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.2.1仿真過程的三類誤差通常，系統(tǒng)仿真的最終精度與現(xiàn)場原始數(shù)據(jù)的採集、使用的電腦設備檔次、仿真計算時的數(shù)值積分公式等均有相應的關(guān)係，可以分為以下3種情況。1.初始誤差

在對系統(tǒng)仿真時，要採集現(xiàn)場的原始數(shù)據(jù)，而計算時要提供初始條件，這樣由於數(shù)據(jù)的採集不一定很準，會造成仿真過程中產(chǎn)生一定的誤差，此類誤差稱為初始誤差。

要消除或減小初始誤差，就應對現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行準確的檢測，也可以多次採集，以其平均值作為參考初始數(shù)據(jù)。

2.舍入誤差目前，系統(tǒng)仿真大都採用電腦程式處理和數(shù)值計算，由於電腦的字長有限，不同檔次的電腦其計算結(jié)果的有效值不一致，導致仿真過程出現(xiàn)舍入誤差。一般情況下，要降低舍入誤差應選擇擋次高些的電腦，其字長越長，仿真數(shù)值結(jié)果尾數(shù)的舍入誤差就越小。3.截斷誤差當仿真步距確定後，採用的數(shù)值積分公式的階次將導致系統(tǒng)仿真時產(chǎn)生截斷誤差，階次越高，截斷誤差越小。通常仿真時多採用四階龍格—庫塔法，其原因就是這種計算公式的截斷誤差較小。4.2.2穩(wěn)定性分析

由於系統(tǒng)仿真時存在誤差，對仿真結(jié)果產(chǎn)生會影響。若計算結(jié)果對系統(tǒng)仿真的計算誤差反應不敏感，那麼稱之為演算法穩(wěn)定，否則稱演算法不穩(wěn)定。對於不穩(wěn)定的演算法，誤差會不斷積累，最終可能導致仿真計算達不到系統(tǒng)要求而失敗。

1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與仿真步長的關(guān)係一個數(shù)值解是否穩(wěn)定，取決於該系統(tǒng)微分方程的特徵根是否滿足穩(wěn)定性要求，而不同的數(shù)值積分公式具有不同的穩(wěn)定區(qū)域，在仿真時要保證穩(wěn)定就要合理選擇仿真步長，使微分方程的解處於穩(wěn)定區(qū)域之中。

2.積分步長的選擇由於積分步長直接與系統(tǒng)的仿真精度和穩(wěn)定性密切相關(guān)，所以，應合理地選擇積分步長h的值，以保證仿真結(jié)果符合用戶要求。通常，積分步長h的選擇要遵循以下兩個原則：（1）保證仿真系統(tǒng)的演算法穩(wěn)定（2）保證仿真系統(tǒng)具備一定的計算精度一般情況下，仿真中的初始誤差及舍入誤差對仿真過程影響不是很大，而截斷誤差將隨積分步長h的加大而增加，會導致系統(tǒng)仿真的精度下降。在仿真計算中，h值不宜選的太小，因為這樣會加大計算量；也不能選的過大，否則會導致仿真系統(tǒng)不穩(wěn)定或誤差積累過大。通常掌握的原則是：在保證計算穩(wěn)定性及計算精度的要求下，盡可能選較大的仿真步長。對於一般工程系統(tǒng)的仿真處理，採用四階龍格—庫塔法居多。龍格-庫塔法的步長控制策略控制策略由誤差估計和步長控制兩方面組成，其基本思想如下圖所示:步長控制積分演算法誤差估計改變下一步計算步長本步計算允許誤差E2、誤差估計通常採用的方法是設法找到一個比目前使用的龍格-庫塔公式低一階的R-K公式，將兩式計算結(jié)果之差視為誤差估計值。例如：現(xiàn)以RKM4-5為計算公式再推出一個3階4級公式需要說明的是：兩個RK公式的導數(shù)Ki是相同的3、最優(yōu)步長法基本方法是根據(jù)本步的誤差估計來近似地確定下一步可能的最大步長，步驟如下:1)給定允許的相對誤差ε0，設本步步長為hk,本步相對估計誤差為ek，ek由下式求得:若採用的RK公式是m階，則上式中的Ek可以表示為通常取ζ=tk,則有:則表示本步積分成功，可以用ek來確定下一步的最大步長hk+1了。2）假定hk+1足夠小，即認為3)若ek>ε0,本步失敗，但仍採用上式，重新進行積分。4.3面向微分方程的仿真程式設計4.3.1通用仿真程式的一般結(jié)構(gòu)及工作原理1.通用仿真程式的基本結(jié)構(gòu)以數(shù)字電腦作為仿真工具，使用適當?shù)难菟惴ㄕZ言來編制通用的仿真程式，可以針對不同的系統(tǒng)進行相應的仿真處理。按常規(guī)組成結(jié)構(gòu)，通用仿真程式可分為3個層次，即主程序塊、功能程式塊、基本副程式塊。各模組功分析能如下：（1）主程序：完成仿真邏輯控制，實現(xiàn)各功能模組的調(diào)用、模型的轉(zhuǎn)換、系統(tǒng)運行、輸入輸出的控制等。（2）初始化程式：完成各類初始數(shù)據(jù)的準備工作，如設置工作單元、給定變數(shù)初值和系統(tǒng)仿真參數(shù)等。（3）運行程式：實現(xiàn)系統(tǒng)運行的控制，調(diào)用數(shù)值積分法完成仿真演算法處理，得出系統(tǒng)的回應結(jié)果。（4）輸出程式：按用戶指定的輸出形式，可以在顯示器、印表機、繪圖儀等設備上將仿真的結(jié)果以數(shù)據(jù)、動態(tài)曲線、圖形等方式輸出。

2.仿真的基本原理根據(jù)上面的討論，在給定的圖5-4系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)基礎上，編制相應的仿真計算程式，將傳遞函數(shù)中的分子和分母多項式係數(shù)、輸入輸出變數(shù)初始值送入程式中，完成模型由傳遞函數(shù)向狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換；根據(jù)系統(tǒng)仿真的要求，分別輸入仿真步長、列印間隔和次數(shù)、外部輸入信號幅值等，然後，調(diào)用數(shù)字積分副程式完成仿真計算，最後將仿真結(jié)果送到指定的設備輸出。

4.3.2仿真根源程式及其特點1.面向微分方程的仿真程式特點根據(jù)圖5-4系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)，所設計的面向微分方程的仿真程式具備以下特點：（1）該仿真程式針對線性連續(xù)系統(tǒng)單輸入、單輸出信號的處理過程進行仿真。（2）可以將用戶輸入的系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為仿真計算模型。（3）在數(shù)值積分法中採用四階龍格－庫塔法，可保證系統(tǒng)仿真過程中具備一定的精度和性能指標要求。（4）在參考輸入r(t)的作用下，系統(tǒng)輸出y(t)隨時間變化，仿真程式能按照給定的計算步長，採用已確定的數(shù)值演算法，對系統(tǒng)中各狀態(tài)變數(shù)和輸出逐點變化情況進行求解運算。（5）可實現(xiàn)重複運行，便於研究參數(shù)的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。（6）

採用人機對話形式輸入各變數(shù)參數(shù)，運行過程直觀、形象，修改參數(shù)容易。

2.仿真程式流程框圖

MATLAB提供了兩個常微分方程求解的函數(shù)ode23()、ode45(),分別採用了二階三級的RKF方法和四階五級的RKF法，並採用自適應變步長的求解方法，即當解的變化較慢時採用較大的計算步長，從而使得計算速度很快；當解的變化較快時，步長會自動變小，從而使計算精度提高。Syntax[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)wheresolverisoneofode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,orode23tb.ArgumentsodefunAfunctionthatevaluatestheright-handsideofthedifferentialequations.Allsolverssolvesystemsofequationsintheformorproblemsthatinvolveamassmatrix,.Theode23ssolvercansolveonlyequationswithconstantmassmatrices.ode15sandode23tcansolveproblemswithamassmatrixthatissingular,i.e.,differential-algebraicequations(DAEs).tspanAvectorspecifyingtheintervalofintegration,[t0,tf].Toobtainsolutionsatspecifictimes(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].y0Avectorofinitialconditions.optionsOptionalintegrationargumentcreatedusingtheodesetfunction.Seeodesetfordetails.p1,p2...OptionalparametersthatthesolverpassestoodefunandallthefunctionsspecifiedinoptionsDescription[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)withtspan=[t0tf]integratesthesystemofdifferentialequationsfromtimet0totfwithinitialconditionsy0.Functionf=odefun(t,y),forascalartandacolumnvectory,mustreturnacolumnvectorfcorrespondingto.EachrowinthesolutionarrayYcorrespondstoatimereturnedincolumnvectorT.Toobtainsolutionsatthespecifictimest0,t1,...,tf(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)solvesasabovewithdefaultintegrationparametersreplacedbypropertyvaluesspecifiedinoptions,anargumentcreatedwiththeodesetfunction.CommonlyusedpropertiesincludeascalarrelativeerrortoleranceRelTol(1e-3bydefault)andavectorofabsoluteerrortolerancesAbsTol(allcomponentsare1e-6bydefault).Seeodesetfordetails.Example1.Anexampleofanonstiffsystemisthesystemofequationsdescribingthemotionofarigidbodywithoutexternalforces.

Tosimulatethissystem,createafunctionrigidcontainingtheequationsfunctiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);%acolumnvectordy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);Inthisexamplewechangetheerrortolerancesusingtheodesetcommandandsolveonatimeinterval[012]withaninitialconditionvector[011]attime0.options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-41e-41e-5]);[T,Y]=ode45(@rigid,[012],[011],options);PlottingthecolumnsofthereturnedarrayYversusTshowsthesolution

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')Example2.AnexampleofastiffsystemisprovidedbythevanderPolequationsinrelaxationoscillation.Thelimitcyclehasportionswherethesolutioncomponentschangeslowlyandtheproblemisquitestiff,alternatingwithregionsofverysharpchangewhereitisnotstiff.Tosimulatethissystem,createafunctionvdp1000containingtheequationsfunctiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);%acolumnvectordy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);Forthisproblem,wewillusethedefaultrelativeandabsolutetolerances(1e-3and1e-6,respectively)andsolveonatimeintervalof[03000]withinitialconditionvector[20]attime0.[T,Y]=ode15s(@vdp1000,[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-o')Plot(t,y(:,2))4.4面向結(jié)構(gòu)圖的仿真程式設計面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)仿真基本思想為：（1）把一個複雜的高階線性系統(tǒng)化成由若干典型環(huán)節(jié)組成的模擬結(jié)構(gòu)圖表示。（2）將各典型環(huán)節(jié)參數(shù)以及系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的連接關(guān)係輸入電腦。（3）仿真程式將輸入的系統(tǒng)模型自動轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間描述，即狀態(tài)方程形式。（4）

調(diào)用數(shù)值積分法求解，並輸出仿真結(jié)果。

典型環(huán)節(jié)的確定及演算法描述典型環(huán)節(jié)的選擇是重要的一個步驟，它應具備下述兩個原則：（1）典型性——由它可方便地組成其他任何形式的動態(tài)環(huán)節(jié)。（2）簡易性——由它組成的系統(tǒng)簡便，電腦編程容易實現(xiàn)。常見的動態(tài)環(huán)節(jié)根據(jù)控制理論可知，在實際控制系統(tǒng)中比較常見的動態(tài)環(huán)節(jié)主要有以下五種：（1）積分環(huán)節(jié)（2）比例積分環(huán)節(jié)（3）慣性環(huán)節(jié)（4）一階超前（或滯後）環(huán)節(jié)（5）

二階振盪環(huán)節(jié)

4.5快速仿真演算法在對系統(tǒng)進行仿真時，會碰到較高階次的控制系統(tǒng)，由於採用的電腦檔次不高會影響到仿真計算速度，佔用較長的機時；在參數(shù)尋優(yōu)時往往需要對控制系統(tǒng)進行反復的仿真計算，也將使計算過程加長；此外，系統(tǒng)的即時仿真也會對仿真的快速性提出較高的要求。對於前面所討論的數(shù)值積分法由於有相應的計算工作量，單純加大仿真步長會影響到系統(tǒng)仿真的精度和穩(wěn)定性問題。本節(jié)介紹幾種常用的快速仿真方法，採用這些方法來編制仿真計算副程式，可以彌補數(shù)值積分法仿真在速度上的缺陷，便於在實際工程中系統(tǒng)仿真時合理地加以選擇，達到提高系統(tǒng)仿真速度的最終目的。4.5.1時域矩陣法

時域矩陣法是一種在時域內(nèi)採用無窮矩陣進行系統(tǒng)仿真的演算法，它每一步的計算量較小，而且與系統(tǒng)階次無關(guān)，適合於系統(tǒng)的快速仿真。

採用時域矩陣法來分析和討論系統(tǒng)的動態(tài)性能具備下述特點：（1）時域矩陣法多用於採樣控制系統(tǒng)，由於採用脈衝過程函數(shù)g（t）來計算系統(tǒng)的閉環(huán)回應，不會因系統(tǒng)階次的增加而加大計算工作量，從而提高了仿真速度；但有時求解高階系統(tǒng)的脈衝過程函數(shù)g（t）會有一定的難度。（2）由於每個採樣時刻的g（k）是準確計算出來的，所以採用時域矩陣法仿真時系統(tǒng)的採樣週期（或仿真步距）可以選得大些。（3）時域矩陣法可推廣到非線性系統(tǒng)的快速仿真。

4.5.2增廣矩陣法增廣矩陣法是將系統(tǒng)的控制量增廣到狀態(tài)變數(shù)中，使原來的非奇次常微分方程變?yōu)橐粋€齊次方程。4.5.3替換法快速仿真的系統(tǒng)通常比較關(guān)注系統(tǒng)仿真的速度應該達到規(guī)定的要求，而對精度一般不做太高的要求。對於一個高階系統(tǒng)，如果能從它的傳遞函數(shù)G（s）直接推導出與之相匹配的並且允許較大採樣週期T的脈衝傳遞函數(shù)G（z），然後由G（z）獲得仿真模型，這將對提高仿真速度十分有利。相匹配的含義是指若G（s）是穩(wěn)定的，那麼G（z）也是穩(wěn)定的，同時，當輸入相同外作用信號時，由G（z）求出的回應和由G（s）求出的回應具有相同的特徵。要設法找出s與z的對應公式，將G（s）中的s替換為z，求得G（z）的運算式，這種方法稱為替換法。

4.5.4根匹配法為了實現(xiàn)對控制系統(tǒng)進行快速仿真，應構(gòu)造一個G（z），它允許較大的採樣週期T，且能保證G（z）在零、極點分佈上與G（s）一致，動態(tài)回應也一致，這種方法稱為根匹配法。

根匹配法的一般步驟按照前面的分析，採用根匹配法構(gòu)造G（z）應滿足以下條件：（1）G（z）與G（s）具有相同數(shù)目的零、極點。（2）G（z）與G（s）的零、極點相互匹配。（3）G（z）與G（s）的終值應相等。（4）G（z）與G（s）具有相同的動態(tài)回應。

本章小結(jié)

本章主要介紹了數(shù)值積分法的仿真原理和特點；採用數(shù)值積分法面向微分方程、結(jié)構(gòu)圖進行仿真的基本思路和程式設計；仿真的精度與系統(tǒng)穩(wěn)定性討論；快速仿真演算法等內(nèi)容。在數(shù)值積分法中，要熟悉典型環(huán)節(jié)的選擇，確定系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的連接關(guān)係；能根據(jù)特定的仿真系統(tǒng)，選擇合適的仿真變數(shù)及參數(shù)，確定正確的係數(shù)矩陣；掌握CSS1、CSS2程式的結(jié)構(gòu)、各變數(shù)含義以及程式的運行特點；熟悉程式的輸入、調(diào)試，仿真結(jié)果的分析和系統(tǒng)性能的討論。此外，對於仿真系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性問題也是非常重要的，要理解仿真過程中的3類誤差產(chǎn)生的原因，制定消除誤差的方法，合理地選擇仿真步長，保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，儘量提高系統(tǒng)仿真的精度和速度。為了提高系統(tǒng)仿真的速度，可以合理地選擇4種常用的快速仿真方法。

離散相似法仿真5.1離散相似法原理5.1.1仿真演算法描述所謂離散相似法，就是將一個連續(xù)系統(tǒng)進行離散化處理，從而得到等價的系統(tǒng)離散模型，此種方法按系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立仿真模型。在計算過程中，按各典型環(huán)節(jié)離散相似模型，根據(jù)環(huán)節(jié)的輸入來計算環(huán)節(jié)的輸出。

1.環(huán)節(jié)的離散化模型

將連續(xù)系統(tǒng)按圖5-1所示對其進行離散化處理，在系統(tǒng)的輸入、輸出端加上虛擬採樣開關(guān)，T為採樣週期。為保證輸入信號複現(xiàn)原信號，在輸入端加上一個保持器。

圖5-1連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化

使用零階保持器，可得到離散化狀態(tài)方程的解：

若使用三角保持器，離散化狀態(tài)方程解的形式為：上式稱為環(huán)節(jié)的離散係數(shù)

2.仿真演算法實現(xiàn)過程當給定連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖後，將其等效為各典型環(huán)節(jié)的組合，按前面討論的典型環(huán)節(jié)離散係數(shù)運算式，經(jīng)程式處理，事先將各環(huán)節(jié)的類型、參數(shù)、初始條件、各環(huán)節(jié)連接關(guān)係矩陣、輸入輸出連接矩陣等參量送入程式中，既可通過離散相似的模型求出在特定信號作用下，系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)輸出變數(shù)的變化情況，從而得到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。5.1.2離散模型的精度及穩(wěn)定性離散化模型近似等效於原來的連續(xù)系統(tǒng)模型，要考慮仿真精度與哪些因素有關(guān)；還要考慮引入保持器後，其相位滯後帶來的使離散化模型的穩(wěn)定性變差等問題。1.採樣週期對仿真精度的影響引入了虛擬採樣開關(guān)後，其採樣週期原則上應該滿足香農(nóng)採樣定理：

，而採樣週期TS通常是按照系統(tǒng)的動態(tài)回應的時間關(guān)係來選擇的。按經(jīng)驗公式，一般情況下，採樣週期TS按照系統(tǒng)的最小時間常數(shù)T的十分之一來加以選擇，即:

如果給定系統(tǒng)開環(huán)截止頻率時，系統(tǒng)的採樣週期也可以按下式進行選擇：保持器特性對仿真精度的影

為使經(jīng)採樣後的信號無失真地複現(xiàn)，要在系統(tǒng)中加入保持器。雖然零階保持器比較容易實現(xiàn)，但其精度較低。為了提高控制精度，可以採用三角保持器，它複現(xiàn)信號的高頻部分失真較小，並且無相位滯後，可以得到比較滿意的結(jié)果。

此外，為了提高精度還可以採用校正補償措施，在離散模型中加入一個確定的校正環(huán)節(jié)，適當調(diào)整參數(shù)，可使離散模型盡可能地接近原型。3.離散化模型的穩(wěn)定性離散化模型與原系統(tǒng)相比較，除了信號是離散的以外，還多了一個保持器。由於保持器本身具有的特性，對離散化模型會帶來一定的影響。比如，零階保持器具有相位滯後，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響，尤其是當系統(tǒng)由多個離散化模型組成時，這種相位滯後的影響更為嚴重。而三角保持器的特性對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響不大，故常使用三角保持器。

5.2典型環(huán)節(jié)的離散模型按照前面的討論，我們將常見的典型環(huán)節(jié)由傳遞函數(shù)運算式推導出其離散係數(shù)及離散狀態(tài)方程，分別處理如下。1.積分環(huán)節(jié)的離散方程為

:

2.比例積分環(huán)節(jié)離散方程為：

3.慣性環(huán)節(jié)的離散方程為：

比例慣性環(huán)節(jié)的離散方程為：

5.3線性系統(tǒng)離散相似法仿真

仿真根源程式設計

面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)離散相似法仿真程式具備以下特點：（1）面向控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖仿真。（2）按控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)離散相似原則建立仿真模型。（3）系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的關(guān)係由連接矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣表示。（4）程式中規(guī)定採用四種典型環(huán)節(jié)：

H=0積分環(huán)節(jié)；H=1比例積分環(huán)節(jié)

H=2慣性環(huán)節(jié)；H=3比例慣性環(huán)節(jié)其餘環(huán)節(jié)可經(jīng)過轉(zhuǎn)換得到上述四種典型描述。（5）輸入各環(huán)節(jié)類型、參數(shù)、初值、連接矩陣等，可求出特定信號作用下各環(huán)節(jié)的輸出結(jié)果。（5）採用人機對話形式輸入仿真參數(shù)，容易調(diào)整參數(shù)和重複運行。

5.4非線性系統(tǒng)離散相似法仿真5.4.1典型非線性特性

實際的控制系統(tǒng)中常含有一些非線性元件，呈現(xiàn)出特定的非線性特性，當其作用不明顯時，可採用控制理論中提供的小偏差方法將非線性特性進行線性化處理，轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)。對於大多數(shù)典型的非線性特性，例如飽和、限幅、死區(qū)、齒輪間隙、磁滯回環(huán)、繼電、磨擦等，其影響是顯而易見的，既不能忽略，也不能作線性化處理。此外，為了獲得優(yōu)良的靜、動態(tài)特性，控制系統(tǒng)中常常需要引入某些特定的非線性特性，來改善原有系統(tǒng)的性能，這些都需要採用非線性系統(tǒng)仿真的處理方法。

在本節(jié)中，我們主要討論3種典型的非線性特性，即飽和非線性、死區(qū)非線性、滯環(huán)非線性，並分析其對控制系統(tǒng)性能的影響和仿真處理方法。

1.飽和非線性特性對系統(tǒng)過渡過程的影響主要有：

（1）使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變好；

（2）過渡過程時間增長，快速性能降低；

（3）超調(diào)量下降，動態(tài)的平衡性有所改善。2.死區(qū)非線性對系統(tǒng)性能的影響主要有：

（1）

增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度；（2）延長過渡過程時間，使動態(tài)性能下降。3.滯環(huán)非線性特性對系統(tǒng)的性能影響主要有：

（1）

增加系統(tǒng)靜差，降低定位精度（2）在穩(wěn)態(tài)值附近以某一幅度進行振盪，會產(chǎn)生自振，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響。

5.5採樣系統(tǒng)仿真分析在實際控制系統(tǒng)中，許多場合都要用到電腦作為控制裝置。這類系統(tǒng)事先要將被控的有關(guān)信號進行採樣，通過輸入通道把模擬量變?yōu)閿?shù)字量（即

A/D轉(zhuǎn)換），然後將數(shù)字信號送入電腦，電腦按給定的規(guī)律進行計算，再將計算結(jié)果通過輸出通道轉(zhuǎn)化為模擬量（即D/A轉(zhuǎn)換）的控制被控對象。使被控量達到預定的控制指標要求，這類系統(tǒng)常稱為採樣控制系統(tǒng)或數(shù)字控制系統(tǒng)。隨著電腦技術(shù)的廣泛應用，採樣控制系統(tǒng)也得到普及推廣，其控制特點為數(shù)字模擬混合系統(tǒng)，被控對象是時間的連續(xù)過程，採用的控制器為離散型的數(shù)字控制器。在工程實踐中，採樣控制系統(tǒng)的仿真具有重要意義。5.5.1採樣系統(tǒng)的演算法描述下圖中所示是典型的數(shù)字採樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖中：D(z) 表徵數(shù)字控制器的脈衝傳遞函數(shù)

H(s) 表徵保持器的傳遞函數(shù)

G(s) 表徵被控對象的傳遞函數(shù)

T是系統(tǒng)的採樣週期容易求出：

差分方程描述的就是離散各量採樣時刻點上的相互關(guān)係和變化情況，因此當仿真步長取採樣系統(tǒng)的實際採樣週期為T時，求取的結(jié)果無截斷誤差，從理論上說演算法是精確的。這種方法簡便易行，只要D(z)、G(z)已知，則仿真過程非常簡單，且無截斷誤差，結(jié)果可靠。缺點是當系統(tǒng)複雜時，G(z)難以求取，即使求出G(z)也無法觀察系統(tǒng)中其他中間變數(shù)的回應特性，也不便考慮有非線性影響的情況。

5.5.2採樣週期與仿真步距的對應關(guān)係仿真步距的選擇應根據(jù)被控對象的結(jié)構(gòu)、採樣週期的大小、保持器的類型、以及仿真精度和速度的要求綜合考慮。通常有以下3種情況：1.仿真步距T與採樣週期Ts相等若選擇仿真步距與採樣週期相等時，在系統(tǒng)仿真過程中，實際採樣開關(guān)與虛擬採樣開關(guān)是同步工作的，與連續(xù)系統(tǒng)仿真完全相同，從而可大大簡化仿真模型，提高仿真速度。這種方式適用於採樣週期Ts較小，系統(tǒng)階次不高，仿真轉(zhuǎn)變能滿足要求的場合。在仿真過程中，求出G(z)=z[H(s)G(s)]，得到一個差分方程，再計算D(z)的差分方程，組合後可求出系統(tǒng)的輸出回應Y(t)。

2.仿真步距T小於採樣週期Ts

這種方式是比較常見的，當採樣週期受系統(tǒng)環(huán)境要求設置不變後，要提高仿真精度就縮小仿真步距，使T<Ts。在仿真模型中，有兩種工作頻率，即離散部分的採樣周Ts，和連續(xù)部分的仿真步距T，為便於仿真程式的設計和實現(xiàn)，通常選擇Ts=NT(N為正整數(shù))。此類系統(tǒng)的仿真是分兩步實現(xiàn)的，對離散部分用採樣週期Ts進行仿真，對連續(xù)部分用仿真步距T進行仿真。離散部分每計算一次差分模型，其輸出保持，然後對連續(xù)部分的仿真模型計算N次，將第N次計算的結(jié)果作為連續(xù)部分該採樣週期的輸出。

3.改變數(shù)字控制器的採樣間隔在仿真過程中會碰到這種情況：原來的數(shù)字控制器D(z)確定後，所用於計算的採樣週期Ts比較小，現(xiàn)要按較大的採樣週期T’s進行仿真，這就要求改變原數(shù)字控制器的差分方程。這種方式的轉(zhuǎn)換依據(jù)是：若兩個脈衝傳遞函數(shù)映射到[S]平面上具有相同的零極點，並且有相同的穩(wěn)態(tài)值，則兩個系統(tǒng)等價。其基本思想是：設原採樣系統(tǒng)數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)為D(z)，採樣週期為Ts，首先將D(z)映射到[S]平面上相應的零極點，然後按新的採樣週期T’s再次映射到[S]平面上，

求得新的數(shù)字控制器D’(z)，最後根據(jù)穩(wěn)態(tài)值相等的原則確定D’(z)的增益，這樣就實現(xiàn)了差分模型的轉(zhuǎn)化工作。5.5.4仿真根源程式特點（1）

可以仿真單輸入、單輸出數(shù)?；旌系碾娔X控制系統(tǒng)，系統(tǒng)中只包含一個數(shù)字控制器D(Z)。（2）

被控對象可為線性、非線性或純延遲環(huán)節(jié)，處理過程中劃分為典型環(huán)節(jié)形式。（3）

採用環(huán)節(jié)離散相似法，面向系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進行仿