牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的

§9.3牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的

加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng):動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)于某一運(yùn)動(dòng)的剛體上,可能作平動(dòng)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或其他的更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)不同，加速度合成定理的表達(dá)形式不同。先討論牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理。牽連運(yùn)動(dòng):牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)動(dòng)點(diǎn)M的速度證明：一、幾何法：設(shè)動(dòng)點(diǎn)

M在動(dòng)坐標(biāo)系上沿曲線(xiàn)AB運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)坐標(biāo)系又作平動(dòng)，曲線(xiàn)AB又跟隨動(dòng)坐標(biāo)系作平動(dòng)。AB為相對(duì)軌跡；為其絕對(duì)軌跡。在瞬時(shí)t，動(dòng)點(diǎn)位于M，其絕對(duì)速度va，相對(duì)速度vr，牽連速度ve，由速度合成定理知:在瞬時(shí)t+?t，動(dòng)點(diǎn)位于M’，其絕對(duì)速度va’，相對(duì)速度vr’，牽連速度ve’。由速度合成定理知：3.加速度：絕對(duì)加速度以aa表示，它等于絕對(duì)速度對(duì)時(shí)間的一階變化率，即：(1)將絕對(duì)運(yùn)動(dòng)分解為牽連運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)兩個(gè)部分，假如沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)發(fā)生，則在瞬時(shí)

t+Δt，動(dòng)點(diǎn)將因只有牽連運(yùn)動(dòng)而位于M1處。下面研究上式右端各項(xiàng)的意義：牽連速度為：又因?yàn)閯?dòng)系平動(dòng)，有：動(dòng)系平動(dòng)，有：因此有：

ve和ve1是平動(dòng)坐標(biāo)系上同一個(gè)點(diǎn)在相隔的兩個(gè)不同瞬時(shí)的速度，

(ve1－ve

)=D

ve是速度增量。上式是在瞬時(shí)t的牽連點(diǎn)（動(dòng)坐標(biāo)與動(dòng)點(diǎn)的重合點(diǎn)）的加速度，稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度。牽連加速度：某瞬時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)的加速度。動(dòng)坐標(biāo)系上的人看不到自己隨動(dòng)坐標(biāo)系一起運(yùn)動(dòng)，即看不出相對(duì)軌跡隨動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)，分辨不出AB曲線(xiàn)與A’B’曲線(xiàn)的不同。又由于牽連運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)，AB曲線(xiàn)與A’B’曲線(xiàn)平行，認(rèn)為：又由于牽連運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)，AB曲線(xiàn)與A’B’曲線(xiàn)平行，認(rèn)為：于是：

vr’和vr1分別是動(dòng)點(diǎn)沿相對(duì)軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)在兩不同瞬時(shí)的相對(duì)速度，

vr’－vr1是單純的由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)所引起的，是相對(duì)速度在Δt內(nèi)的增量，相對(duì)加速度：牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理：——該式表明：當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于其牽連加速度與相對(duì)加速度的幾何和。所以，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)不是平動(dòng)時(shí)，上述定理不成立。注意：①牽連加速度也是有瞬時(shí)性的，隨牽連點(diǎn)的不同而不同。②如果牽連運(yùn)動(dòng)不是平動(dòng)，則：§9.3牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的

加速度合成定理一、動(dòng)系O′x′y′z′作平動(dòng)（i′、j′、k′均為常矢量）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)系O’x’y’z’中沿相對(duì)軌跡AB運(yùn)動(dòng)，（解析法）動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)系中沿相對(duì)軌跡AB運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)系O’x’y’z’又相對(duì)定系

Oxyz作平動(dòng)，如圖所示，單位矢量i’、j’、k’

均為常矢量。動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)動(dòng)系的相對(duì)矢徑為動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)動(dòng)系的相對(duì)速度為動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)動(dòng)系的相對(duì)加速度為牽連速度：由速度合成定理得二、牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)（動(dòng)系上各點(diǎn)速度、加速度都相等)

牽連加速度：

ae＝ao′＝dvo′/dt三、絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：1、絕對(duì)速度由速度合成定理得三、絕對(duì)運(yùn)動(dòng)將上式對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，并注意到由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，i’、j’、k’大小和方向都不改變可得：上式表示牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：

當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和。注意：ve、ae具有瞬時(shí)性。五、牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理（9.7）例曲柄OA繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，丁字形桿BC沿水平方向往復(fù)平動(dòng)，如圖所示。鉸接在曲柄端A的滑塊，可在丁字形桿的鉛直槽DE內(nèi)滑動(dòng)。設(shè)曲柄以角速度w作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，

OA=r，試求桿BC的加速度。解：因丁字形桿BC作平動(dòng)，故桿BC以及鉛直槽DE上所有各點(diǎn)的加速度完全相同。解：因丁字形桿BC作平動(dòng)，故桿BC以及鉛直槽DE上所有各點(diǎn)的加速度完全相同。顯然，只要求出鉛直槽DE上在這瞬時(shí)與曲柄端A相重合的那一點(diǎn)的加速度即可。

動(dòng)點(diǎn)——曲柄端A，動(dòng)系——固定在丁字形桿BC上。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)

——點(diǎn)A以點(diǎn)O為中心的圓周運(yùn)動(dòng)

aa＝rw2相對(duì)運(yùn)動(dòng)

——點(diǎn)A沿槽DE的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)ar＝？

方向沿DE牽連運(yùn)動(dòng)

——槽DE作水平直線(xiàn)平動(dòng)。ae＝？方向沿CO根據(jù)aa=ae＋ar

(其中有四個(gè)要素已知），可作出加速度平行四邊形如圖所示。由圖中三角關(guān)系得aBC=ae＝aacosf=rw2

cosf例3：如圖所示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，已知圓輪半徑為R，偏心距e，當(dāng)OC與水平面成角f時(shí)，圓輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，角加速度為a。試求此瞬時(shí)平底推桿的速度和加速度。因此，C點(diǎn)相對(duì)于A(yíng)B桿的運(yùn)動(dòng)是平行于平底的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，即C點(diǎn)相對(duì)于A(yíng)B桿的軌跡是一條與平底平行的直線(xiàn)。

解：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AB桿的平底始終與圓輪相切，所以圓輪中心點(diǎn)C至平底的距離保持不變。動(dòng)點(diǎn)選圓心C點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)在推桿AB上。點(diǎn)C的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)。大小為

va=ew牽連運(yùn)動(dòng)：AB桿的鉛垂直線(xiàn)平動(dòng)，

ve=?鉛垂向上由圖示速度矢量合成得

ve=vAB=

vacosf=ewcosf此即平底推桿AB的速度。點(diǎn)C的相對(duì)運(yùn)動(dòng):

沿平行于平底的水平直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，

vr=?方向向左，牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)加速度合成定理為aa=aat+aan=ae+ar

(*)已知絕對(duì)加速度為

aat＝ea

,aan＝ew2點(diǎn)的相對(duì)加速度沿相對(duì)軌跡，設(shè)指向向左。點(diǎn)的牽連加速度沿鉛垂線(xiàn)，設(shè)指向向上。將(*)式投影到y(tǒng)軸上得

aatcosf－aansinf＝ae

aAB＝ae＝eacosf－ew2sinf此即為平底推桿AB的加速度。aa=aat+aan

=ae+ar

(*)

aat＝ea

,

aan＝ew2

在滑塊導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)中，由一繞固定軸O作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)桿OB帶動(dòng)滑塊A沿水平直線(xiàn)軌道運(yùn)動(dòng)，O到導(dǎo)軌的距離是h，已知在圖示瞬時(shí)導(dǎo)桿的傾角是j，角速度大小是ω

，角加速度a=0，試求該瞬時(shí)滑塊A的絕對(duì)加速度。jωOAByxy'x'h例題8-13jωOAByxh1.選擇動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與定系。相對(duì)運(yùn)動(dòng)－沿導(dǎo)桿OB的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。牽連運(yùn)動(dòng)－導(dǎo)桿OB繞軸O的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)－沿導(dǎo)軌的水平直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)系－Ax'y'固連于導(dǎo)桿。動(dòng)點(diǎn)－取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)。2.運(yùn)動(dòng)分析。vevrvay'x'應(yīng)用速度合成定理速度合成圖如圖所示。求得:例題

解：牽連加速度ae：

,方向沿BO指向O。3.加速度分析。投影到Oy'軸上，得絕對(duì)加速度aa：大小待求，方向水平。相對(duì)加速度ar：大小未知，方向沿BO。

科氏加速度aC：

,方向⊥OB

偏上方。根據(jù)加速度合成定理求得滑塊A的加速度jωOAByxhy'x'aearacaavr例題圖示一往復(fù)式送料機(jī)，曲柄OA長(zhǎng)l，它帶動(dòng)導(dǎo)桿BC和送料槽D作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，借以運(yùn)送物料。設(shè)某瞬時(shí)曲柄與鉛垂線(xiàn)成q角。曲柄的角速度為w0，角加速度為a0，方向如圖所示，試求此瞬時(shí)送料槽D的速度和加速度。例題8-12DBCAOθw0a0DBCAOθw0a0解：1.選擇動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與定系。動(dòng)系－O′x′y′，固連于導(dǎo)桿BC。2.運(yùn)動(dòng)分析。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)－以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)－沿導(dǎo)桿滑槽的鉛垂直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。牽連運(yùn)動(dòng)－導(dǎo)桿BC沿水平直線(xiàn)的平動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)－滑塊A。O'x'y'例題8-12求送料槽D的速度和加速度。DBCAOθw0a0O'x'y'3.速度分析。絕對(duì)速度va：va=lω0，方向與OA垂直。相對(duì)速度vr：大小未知，方向

沿導(dǎo)桿滑槽向上。牽連速度ve：所求的送料槽的速度，方向

水平向右。vevaθvr應(yīng)用速度合成定理求得：例題8-12求送料槽D的速度和加速度。4.加速度分析。絕對(duì)加速度法向分量aan：aan

=lω02

，沿著AO。相對(duì)加速度ar：大小未知，方向沿O′y′

軸牽連加速度ae：大小未知，為所要求的量，方向水平，假設(shè)向右。絕對(duì)加速度切向分量aat：aa

t=lα0，方向與

OA垂直，指向左下方。DBCAOθw0a0O'x'y'aeaataanθarθ例題8-12求送料槽D的速度和加速度。應(yīng)用加速度合成定理投影到O′x′軸，得到于是，求得即為導(dǎo)桿和送料槽D的加速度aD，例題8-12DBCAOθw0a0O'x'y'aeaataanθarθ求送料槽D的速度和加速度。其中負(fù)號(hào)表示在此瞬時(shí)ae的指向與圖中所假設(shè)的相反。②作業(yè)9—10,12、13、14例9.10動(dòng)畫(huà)例3.圖示曲柄滑桿機(jī)構(gòu)(1)求滑桿BC的速度vBC運(yùn)動(dòng)分析已知：OA=R，ω，

φ=300求：圖示瞬時(shí)滑桿BC的速度vBC和加速度aBC。動(dòng)點(diǎn)：曲柄OA上的銷(xiāo)釘A動(dòng)系：滑桿BC，作直線(xiàn)平動(dòng)靜系：地面600600解：(1)求滑桿BC的速度vBC運(yùn)動(dòng)分析動(dòng)點(diǎn)：曲柄OA上的銷(xiāo)釘A動(dòng)系：滑桿BC，作直線(xiàn)平動(dòng)靜系：地面600600由圖中幾何關(guān)系可知根據(jù)速度合成定理作速度平行四邊形(2)求滑桿BC的加速度aBC畫(huà)加速度圖根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理，得建立x軸，如圖所示x將矢量式(1)向x軸投影，得x將矢量式(1)向x軸投影，得例1：凸輪頂桿機(jī)構(gòu)已知：凸輪半徑R

平動(dòng)速度Vφ求:圖示瞬時(shí)，頂桿