專題01 截長補(bǔ)短模型（原卷版）（人教版）

專題01截長補(bǔ)短模型【基本模型】【例題精講】例1．（基本模型）(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．例2．（培優(yōu)1）如圖①，四邊形ABCD為正方形，點E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用證明）．（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，點E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，點E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=α，請直接寫出AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．例3．（培優(yōu)2）思維探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的兩邊分別交射線CB，DC于點E，F(xiàn)，∠EAF＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上時，△CEF的周長是；（2）如圖2，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在CB，DC的延長線上，CF＝2時，求△CEF的周長；拓展提升：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點B作BD⊥BC，連接AD，在BC的延長線上取一點E，使∠EDA＝30°，連接AE，當(dāng)BD＝2，∠EAD＝45°時，請直接寫出線段CE的長度．例4．（培優(yōu)3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，點D在邊AC上（不與點A，C重合）連接BD，點K為線段BD的中點，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°）（1）如圖1，若α=45°，則△ECK的形狀為______；（2）在（1）的條件下，若將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點共線，點K為線段BD的中點，如圖2所示，求證：BE-AE=2CK；【變式訓(xùn)練】1．在四邊形中，點C是邊的中點．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關(guān)系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關(guān)系及理由．2．如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點，且，．求證：3．如圖，在△ABC中，，，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：（1）；（2）．4．如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點．（1）求出的度數(shù)；（2）判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【課后訓(xùn)練】1．如圖所示，，，分別是，的平分線，點E在上，求證：．

2．如圖，，，平分，且是中點試問：、和之間有何關(guān)系？并說明理由.3．如圖，在中，，、分別平分、，、交于點，求證：.4．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．5．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在中，（如圖），怎樣證明呢？分析：把沿的角平分線翻折，因為，所以，點落在上的點處，即，據(jù)以上操作，易證明，所以，又因為，所以．感悟與應(yīng)用：（1）如圖（a），在中，，，平分，試判斷和、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（b），在四邊形中，平分，，，，①求證：；②求的長．6．在數(shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點，是的平分線，．求證：．小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：方法1：如圖②，延長、交于點．方法2：如圖③，在上取一點，使，連接、．（1）請你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點，，，求證：．7