2.2.1不等式及其性質(zhì)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第二章等式與不等式

2.2不等式

2.2.1不等式及其性質(zhì)基礎(chǔ)知識情境與問題你見過圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對應(yīng)的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1

(單位:km/h，下同)應(yīng)該滿足100≤v1≤120;右邊的指示牌是指對應(yīng)的車道可供客車和貨車行駛，而且車的速率v2應(yīng)該滿足__________________.60≤v2≤100在現(xiàn)實世界里，量與量之間的不等關(guān)系是普遍的，不等式是刻畫不等關(guān)系的工具，我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，稱為不等式。在上述不等式符號中，要特別注意“≥”“≤”，事實上，任意給定兩個實數(shù)a，b，那么

a＜b或a=b怎樣理解兩個實數(shù)之間的大小呢?我們已經(jīng)知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。一般地，如果點P對應(yīng)的數(shù)為x，則稱x為點P的坐標(biāo)，并記作P(x)。另外，數(shù)軸上的點往數(shù)軸的正方向運動時，它所對應(yīng)的實數(shù)會變大，這就是說，兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的相對位置決定了這兩個數(shù)的大小，如圖所示的數(shù)軸中，A(a)，B(b)，不難看出b>1>0>a.此外，我們也知道，一個數(shù)加上一個正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點向正方向移動了一段距離；一個數(shù)減去一個正數(shù)(即加上一個負(fù)數(shù))，相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點向負(fù)方向移動了一段距離。由此可以看出，要比較兩個實數(shù)a，b的大小，只要考察a－b與0的相對大小就可以了，即初中的時候，我們就已經(jīng)歸納出了不等式的三個性質(zhì)：性質(zhì)1如果a>b，那么a+c>b+c.性質(zhì)2如果a>b，c>0，那么ac>bc.性質(zhì)3如果a>b，c<0，那么ac<bc.事實上，如圖所示，a>b是指點A

在點B

的右側(cè)，a+c和b+c表示點A和點B在數(shù)軸上做了相同的平移，平移后得到的點A’和B’的相對位置，與A和B的相對位置是一樣的，因此a+c>b+c。性質(zhì)1可以用如下方式證明：因為(a＋c)－(b＋c)=a＋c－b－c=a－b，又因為a>b，所以a－b>0，從而(a＋c)－(b＋c)>0，因此a＋c>b＋c.性質(zhì)2可以用類似的方法證明：因為ac－bc=

(a－b)c.又因為a>b，所以a－b>0，而c>0，因此(a－b)c>0,因此ac－bc>0，即ac>bc.嘗試與發(fā)現(xiàn)用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：(1)a>b是a+c>b+c

的_____________條件；(2)如果c>0，則a>b是ac>bc

的_________________條件;(3)如果c<0，則a>b是ac<bc

的__________________條件.充要充要充要在不等式的證明與求解中，我們還經(jīng)常用到以下不等式的性質(zhì)。性質(zhì)4如果a>b，b>c，那么a>c.直觀上，如圖所示，點A在點B的右側(cè)，點B在點C的右側(cè)，因此點A必定在點C的右側(cè)。證明：因為a－c=(a－b)+(b－c),又因為a>b，所以a－b>0；且b>c，所以b－c>0，因此(a－b)+(b－c)>0，從而a－c>0，即a>c.性質(zhì)4通常稱為不等關(guān)系的傳遞性。我們前面在判斷x2>－1等類似命題的真假時就用過不等關(guān)系的傳遞性。

這只要利用a－b=－(b－a)就可以證明，請自行嘗試。另外，值得注意的是，上述不等式性質(zhì)對任意滿足條件的實數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母。不等式“a≤b”的含義是什么？只有當(dāng)“a<b”與“a＝b”同時成立時，該不等式才成立，是嗎？提示：不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是指“或者a<b或者a＝b”，等價于“a不大于b”，即若a<b與a＝b之中有一個正確，則a≤b正確。典例精析例1比較x2－x和x－2的大小解：因為(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，又因為(x－1)2≥0，所以(x－1)2+1≥1>0，從而(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.例1的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，大家應(yīng)熟練掌握。需要注意的是，前面我們證明不等式性質(zhì)和解答例1的方法，其實質(zhì)都是通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法。在證明不等式時，當(dāng)然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等。從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法，下面我們用綜合法來得出幾個常用的不等式性質(zhì)的推論。

我們把a(bǔ)>b和c>d(或a＜b

和c＜d)這類不等號方向相同的不等式，稱為同向不等式。推論2說明，兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向。很明顯，推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向。

可以看出，推論5中證明方法的實質(zhì)是：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立。這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法。利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題？提示：在使用不等式時，一定要弄清不等式(組)成立的前提條件。不可強(qiáng)化或弱化成立的條件。如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符號”等都需要注意。典例精析例2(1)已知a>b，c<d，求證：a－c>b－d;

典例精析

基礎(chǔ)自測1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)2>－a3>－a

B．－a>a2>－a3C．－a3>－a>a2

D．a(chǎn)2>－a>－a3解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3。故選B。B

2．給出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的個數(shù)是(

)A．0

B．1

C．2

D．3D

3．設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則下列不等關(guān)系正確的是_________(填序號)．(1)a＋1>b－3；(2)ac>bc；(3)a2>b2；(4)a－b>0.4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是_________________.5．當(dāng)m>1時，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為_______________.解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.(1)(4)

a>－b>b>－a

m3>m2－m＋1

典例剖析作差法比較大小比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小：(1)x2＋3與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大小。思路探究：在比較兩個代數(shù)式的大小時，可采用作差法，再通過因式分解或者配方法判斷差的符號，當(dāng)不能直接得到正或負(fù)的結(jié)論時，還要考慮通過分類討論來確定．解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0，且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.歸納提升：比較兩個代數(shù)式大小的步驟：(1)作差：對要比較大小的兩個代數(shù)式作差。(2)變形：對差進(jìn)行變形。(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。(4)作出結(jié)論。這種比較大小的方法稱為作差法。其思維過程是作差→變形→判斷符號→作出結(jié)論。對點訓(xùn)練典例剖析利用不等式的性質(zhì)求范圍(1)已知－6<a<8，2<b<3，則2a＋b的取值范圍是_____________，a－b的取值范圍是___________。(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍。思路探究：(1)求a－b的取值范圍時，應(yīng)先求出－b的范圍，再利用不等式的性質(zhì)求解．(2)用f(1)和f(2)表示出a，c.(－10,19)

(－9,6)

解析：(1)∵－6<a<8，∴－12<2a<16，∴－10<2a＋b<19，∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.歸納提升：利用不等式的性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答。(2)將所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件。(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解。對點訓(xùn)練典例剖析不等式的證明1．利用不等式性質(zhì)證明不等式2．利用比較法證明不等式 設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.思路探究：要證明3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，即證3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)≥0即可。解析：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.歸納提升：1.簡單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質(zhì)，通過對不等式變形得證。2．對于不等號兩邊都比較復(fù)雜的式子，直接利用不等式的性質(zhì)