經(jīng)典電磁理論及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

電磁場(chǎng)與電磁波

第一章經(jīng)典電磁理論及其數(shù)學(xué)知識(shí)電磁場(chǎng)的基本物理量和實(shí)驗(yàn)定律標(biāo)量和矢量標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度和旋度矢量的恒等式亥姆霍茲定理坐標(biāo)系貝塞爾函數(shù)教學(xué)要求：了解電磁場(chǎng)的基本物理量和實(shí)驗(yàn)定律以及貝塞爾函數(shù)，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，如：標(biāo)量和矢量、標(biāo)量場(chǎng)的梯度、矢量場(chǎng)的散度和旋度、矢量的恒等式、亥姆霍茲定理、坐標(biāo)系等。第一章經(jīng)典電磁理論及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.1電磁場(chǎng)的基本物理量和實(shí)驗(yàn)定律1.電荷及其分布電荷體密度：()vqrvDD=?D0limr（1.1）

電荷面密度：

（1.2）

電荷線密度：

電荷總量：庫(kù)侖定律：圖1.1點(diǎn)電荷間的作用力例1.1一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為其陰極板位于x=0，陽(yáng)極板位于x=d,極間電壓為

U0,如果U0=40V,d=1cm，橫截面S=10

。求：（1）x=0和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量；（2）x=d

/2和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量)）。例1.2自由空間中一個(gè)長(zhǎng)度為2l的均勻連續(xù)帶電線段，所帶電荷總量為q，求直線外任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解:選擇圓柱坐標(biāo)系，其z軸與帶電線段重合，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在線段中點(diǎn)，如圖1.3所示。圖1.3在均勻連續(xù)帶電線段上取電荷元,線段上的電荷線密度，則電荷元在空間P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為設(shè)矢徑R與z軸間的夾角為θ,則經(jīng)積分求得整個(gè)線段在P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度由圖1.3可知R與θ和r的關(guān)系為把這些關(guān)系代入上面的積分式中可得例1.3半徑為a的均勻帶電圓盤，電荷面密度為,計(jì)算軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由對(duì)稱性可知，P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的x分量和y分量為0，只需求出它的z分量即可。選取坐標(biāo)系如圖1.4所示，則電荷元在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為它的z分量為圖1.4取則討論圓盤為無(wú)限大時(shí)，即a→∞,從以上結(jié)果得3.電流與電流密度電流（1.12）電流密度矢量（1.13）（1.14）（1.15）（1.16）（1.17）圖1.5電流在空間的分布圖1.6電流在幾何面S上的分布式中，v=Δl/Δt為電荷運(yùn)動(dòng)的速度，則電流密度的大小為寫成矢量形成式中，ρ是該處運(yùn)動(dòng)電荷的體電荷密度。例1.4一個(gè)半徑為a的球內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體均勻角速度ω繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解：首先推導(dǎo)電流密度與電荷運(yùn)動(dòng)的速度和體電荷密度之間的關(guān)系4.安培力定律和磁感應(yīng)強(qiáng)度（1.25）圖1.7兩個(gè)直流回路的安培力（1.26）（1.27）圖1.8Itdlt、B與dFt之間的關(guān)系（1.29）（1.30）（1.28）例1.5計(jì)算在真空或空氣中長(zhǎng)度為2l的直線電流的空間一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖1.9解:與例1.2類似，同樣z軸與通電導(dǎo)線重合，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在線段中點(diǎn)，在通電導(dǎo)線上取一個(gè)電流元Idz′,則電流元Idz′產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為dB按照矢量關(guān)系只有分量，dB的大小為空間點(diǎn)P（r,φ,z）的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向?yàn)榈姆较?，大小為由圖1.9可知，R與θ和r的關(guān)系為把這些關(guān)系代入上面的積分式中可得對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，則例1.6在真空中半徑為a、電流為I的圓形線圈，計(jì)算軸線上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:根據(jù)電流的對(duì)稱性，采用柱坐標(biāo)系如圖1.10,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在圓形線圈的圓心，z軸與線圈軸線重合。則電流元Idl′產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為dB的大小為dB的方向如圖1.10所示，dB含有er和ez分量，即所以寫成矢量形式當(dāng)z=0時(shí)，圓形線圈中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為由對(duì)稱性可知，整個(gè)圓形線圈所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有ez分量，所以只需要對(duì)dBz積分求出Bz即可。1.2標(biāo)量和矢量1.標(biāo)量和矢量人們把只有大小而無(wú)方向的物理量稱為標(biāo)量，如長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電荷體電荷密度、電荷面電荷密度等都是標(biāo)量；人們把既有大小又有方向的物理量稱為矢量，如力、速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等都是矢量。2.矢量的表示方法圖1.11P（x,y,z）點(diǎn)處的矢量任意一個(gè)矢量A均可借助代表大小的模A和代表方向的單位矢量表示為A=A矢量在直角坐標(biāo)系的表示法式中位置矢量r和距離矢量R3.矢量的代數(shù)運(yùn)算（1）矢量相等A=B（1.40）Ax=BxAy=ByAz=Bz（1.41）則（1.43）(3)矢量的加法與減法（1.46）（1.47）（2）矢量與標(biāo)量的乘積（1.42）（4）矢量的標(biāo)量積與矢量積矢量A與矢量B的標(biāo)量積CC=A·B=ABcosθ（1.48）C=A×B（1.49）矢量A與矢量B的矢量積CC=ABsinθ(0≤θ≤π)（1.50）在直角坐標(biāo)系中，不難得出三個(gè)坐標(biāo)單位矢量滿足下面關(guān)系，即（1.51）（1.52）（1.53）（1.54）

（1.55）（1.56）4.矢性函數(shù)及其微分和積分如果一個(gè)矢量的模和方向都不發(fā)生變化，則這種矢量稱為常矢量；如果某矢量是一個(gè)或者幾個(gè)變量的函數(shù)，則稱這個(gè)矢量為變量的矢性函數(shù)。如果矢量A隨x、y、z和t而變化，則記為A（x,y,z,t）（1）矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在直角坐標(biāo)系中，A（t）可表示為（1.58）則（1.59）（2）矢性函數(shù)的微分（1.60）在直角坐標(biāo)系中（1.61）（3）矢性函數(shù)的積分對(duì)于矢性函數(shù)A（t）,在t的某個(gè)區(qū)間上的不定積分記作∫A(t)dt=B(t)+C(C為任意常矢量)（1.62）在直角坐標(biāo)系中，（1.63）（1.64）例1.7對(duì)于給定矢量：解：1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.標(biāo)量場(chǎng)及其等值面場(chǎng)中的物理量在各點(diǎn)不隨時(shí)間發(fā)生變化，則這個(gè)場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)；如果物理量在各點(diǎn)隨時(shí)間發(fā)生變化，則稱這個(gè)場(chǎng)為時(shí)變場(chǎng)。設(shè)在空間某區(qū)域存在一個(gè)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)u=u(x,y,z)，為了更清楚地描述標(biāo)量場(chǎng)的分布規(guī)律，人們把標(biāo)量場(chǎng)中數(shù)值相同的點(diǎn)連接起來(lái)形成一個(gè)面，這個(gè)面稱為等值面，如圖1.17所示。圖1.17等值面示意圖2標(biāo)量場(chǎng)的梯度現(xiàn)在取一個(gè)等值面u,另取一個(gè)與u相差很小的等值面u+Δu,如圖1.18所示。人們把標(biāo)量場(chǎng)在P點(diǎn)沿l方向的變化率定義為該點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)（1.66）圖1.18u沿不同方向的變化率方向?qū)?shù)在一個(gè)特定的方向上取得最大值。這樣就可以定義一個(gè)矢量來(lái)描述標(biāo)量場(chǎng)的特性，這個(gè)矢量稱為標(biāo)量場(chǎng)u的梯度，用guadu來(lái)表示。如圖1.18所示在直角坐標(biāo)系中，（1.67）哈密頓算子（1.68）標(biāo)量場(chǎng)的梯度（1.69）例1.9求函數(shù)在M（1，2，3）點(diǎn)處的梯度。解：例1.10設(shè)r和r′為空間點(diǎn)P（x,y,z）和點(diǎn)P′(x′,y′,z′)的矢徑，R為這兩點(diǎn)間的距離。求：1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度1.矢量場(chǎng)的散度在分析和描繪矢量場(chǎng)的性質(zhì)時(shí),引入矢量穿過(guò)一個(gè)曲面S的通量是十分必要的。如圖1.19所示，S為一個(gè)曲面，dS為在S面取的一個(gè)面元，為面元dS的垂線方向上的單位矢量，A（r）為穿過(guò)面元dS的矢量。圖1.19面元矢量及通量面元矢量定義為（1.70）矢量A（r）穿過(guò)面元dS的通量定義為（1.71）（1.72）矢量場(chǎng)A（r）穿過(guò)閉合曲面S的通量一般用符號(hào)“∮”來(lái)表示，即（1.73）A（r）的散度（1.74）矢量場(chǎng)A（r）的散度在直角坐標(biāo)系可表示為（1.75）（1.76）對(duì)于曲面S上各面元的通量相加起來(lái)即是矢量場(chǎng)A（r）穿過(guò)曲面S的通量，也稱為A（r）對(duì)S的面積分。問(wèn)a、b、c取何值時(shí)，A為無(wú)源場(chǎng)。解：A為無(wú)源場(chǎng)，上式如果始終得到滿足，則2a+2=0，2b=0，2c=0。由此得，當(dāng)a=-1，b=0，c=0時(shí)，A為無(wú)源場(chǎng)。2.高斯散度定理（1.77）（1.77）稱為高斯散度定理,這個(gè)積分變換公式在電磁場(chǎng)理論中經(jīng)常用到。3.矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)A沿閉合曲線l的環(huán)量圖1.20線元矢量及環(huán)流（1.78）在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)A的旋度為(1.79)利用哈密頓算符來(lái)表示矢量場(chǎng)A的旋度，則（1.80）寫成行列式的形式（1.81）4.斯托克斯定理矢量場(chǎng)A沿空間任一閉合曲線l的環(huán)量等于該矢量場(chǎng)的旋度穿過(guò)以l作為邊界的任一開放曲面S的通量，即（1.82）稱為斯托克斯定理,這個(gè)定理也經(jīng)常在電磁場(chǎng)理論中應(yīng)用到。1.5矢量的恒等式亥姆霍茲定理四個(gè)重要的恒等式(1.83)(1.84)(1.85)(1.87)（1.88）亥姆霍茲定理如果在空間區(qū)域V內(nèi)，矢量A的散度·A、旋度×A以及邊界條件已經(jīng)給定，那么矢量場(chǎng)A在空間區(qū)域V內(nèi)將被唯一地確定。這個(gè)定理稱為矢量場(chǎng)的唯一性定理，可以在數(shù)學(xué)上得到嚴(yán)格的證明。亥姆霍茲定理對(duì)矢量場(chǎng)的唯一性定理做一補(bǔ)充，給出這些物理量之間的定量關(guān)系。亥姆霍茲定理指出：空間有限區(qū)域V內(nèi)的任一矢量場(chǎng)F均可以表示為一個(gè)無(wú)源場(chǎng)F1和一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)F2之和，即F=F1+F2。1.6坐標(biāo)系1.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系是一種下交直線坐標(biāo)系。圖1.21直角坐標(biāo)系圖1.22直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元微分長(zhǎng)度為矢量表達(dá)式為梯度、散度、旋度的表達(dá)式分別為拉普拉斯算子及表達(dá)式2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系由r、、z三個(gè)坐標(biāo)變量組成,它們的變化范圍分別是0≤r≤∞、0≤≤2π、-∞≤z≤∞,在正方向的單位矢量分別為,如圖1.23所示圖1.23圓柱坐標(biāo)系圖1.24圓柱坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元從圖1.24可以看出，圓柱坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元、體積元和面積元矢量分別為微分長(zhǎng)度元為矢量表達(dá)式為3.球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系也稱為球坐標(biāo)系，由r、θ、三個(gè)坐標(biāo)變量組成，其變化范圍分別是0≤r≤∞、0≤θ≤π、0≤≤2π,在正方向的單位矢量分別為,如圖1.25所示圖1.25球面坐標(biāo)系圖1.26球面坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元從圖1.26可以看出,球面坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元和面積元矢量分別為微分長(zhǎng)度元為矢量表達(dá)式為例1.13試把矢量場(chǎng)用圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系表示出來(lái)。解：在球面坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中，有式(1.120）所以式中1.7貝塞爾函數(shù)1.貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù)二階線性齊次常微分方程稱為貝塞爾方程。首先用級(jí)數(shù)法求解貝塞爾方程，得到兩個(gè)特解稱為第一類貝塞爾函數(shù)。階貝塞爾函數(shù)，級(jí)數(shù)表達(dá)式為通過(guò)Jν(x)與J-ν(x)線性疊加得到第二類貝塞爾函數(shù)Nν(x),也稱為諾伊曼函數(shù)，其定義為式（1.138），當(dāng)ν=n(整數(shù))時(shí)，利用洛必達(dá)法則，可以得到它的微分表達(dá)式（1.139）Jν（x）和Nν（x）都是貝塞爾方程式（1.139）的特解，使用它們可以組成通解。為了更深入地了解Jν(x)和Nν（x）隨x變化的規(guī)律，圖1.27中給出了自變量為實(shí)數(shù)時(shí)前幾個(gè)Jν（x）的函數(shù)曲線。圖1.28給出了自變量為實(shí)數(shù)時(shí)前幾個(gè)Nν(x)的函數(shù)曲線。圖1.27第一類貝塞爾函數(shù)曲線圖1.28第二類貝塞爾函數(shù)曲線貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題的討論：在求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題時(shí),貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)