黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)蕭紅中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）九月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)蕭紅中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（五四學(xué)制）一、選擇題：（每題3分，共24分）1．﹣8的倒數(shù)是（）A．﹣8 B．8 C．﹣ D．2．下列運(yùn)算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．5a﹣2a＝3a3．下面圖案中是軸對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明在學(xué)校門口的點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)的頂端A的仰角為37°，同時(shí)測(cè)得BC＝20米，則樹(shù)的高AB（單位：米）為（）A．20tan37° B． C． D．20sin37°5．對(duì)于二次函數(shù)的性質(zhì)，下列敘述正確的是（）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小 C．當(dāng)時(shí)，y有最大值是2 D．對(duì)稱軸為y軸6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO＝（）A．25° B．50° C．60° D．65°7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點(diǎn)E，GF∥AC，且交CD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝8．甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛2h，并且甲車途中休息了0.5h，如圖是甲乙兩車行駛的距離y（km）與時(shí)間x（h）的函數(shù)圖象．則下列結(jié)論：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙遲h到達(dá)B地；（4）乙車行駛小時(shí)或小時(shí)，兩車恰好相距50km．正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每題3分，共24分）9．某種病菌的形狀為球形，直徑約是0.000000102m，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)為．10．因式分解：x3﹣4x2+4x＝．11．計(jì)算：的結(jié)果為．12．不等式組的解集是．13．函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是．14．如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個(gè)引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為cm．15．在△ABC中，若AB＝，tan∠B＝，AC＝，則BC＝．16．如圖，矩形ABCD的面積為5，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O1，以AB，AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對(duì)角線交于點(diǎn)O2，同樣以AB，AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2，…，依此類推，則平行四邊形AB?nOn的面積為．三、解答題（共72分）17．（6分）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°﹣1．18．（6分）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中，有線段AB，點(diǎn)A、B均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫一個(gè)以線段AB為一邊的平行四邊形ABCD，點(diǎn)C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上，且平行四邊形ABCD的面積為10；（2）在圖2中畫一個(gè)鈍角三角形ABE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且三角形ABE的面積為4，tan∠AEB＝．請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．19．（7分）如圖，BC、AD相交于點(diǎn)E，且AB∥CD，（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）若AB＝2，CD＝3，AE＝1，求AD的長(zhǎng)．20．（7分）為更好引導(dǎo)和促進(jìn)旅游業(yè)恢復(fù)發(fā)展，深入推動(dòng)大眾旅游，文化和旅游部決定開(kāi)展2023年“5?19中國(guó)旅游日”活動(dòng)．青海省某旅行社為了解游客喜愛(ài)的旅游景區(qū)的情況，對(duì)“五一”假期期間的游客去向進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖1，圖2中所給的信息，解答下列問(wèn)題：（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量是；（2）將圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，“五一”假期期間這四個(gè)景區(qū)共接待游客約19萬(wàn)人，請(qǐng)估計(jì)前往青海湖景區(qū)的游客約有多少萬(wàn)人．21．（8分）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過(guò)天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．（1）求新坡面AC的長(zhǎng)度；（2）試求新坡面底部點(diǎn)A到建筑物MN的距離．22．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，（1）如圖（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖（2）若EG平分∠HEF，在不添加輔助線的條件下，直接寫出長(zhǎng)度等于EH的線段（不包括EH）23．下面是小亮學(xué)習(xí)了“分式方程的應(yīng)用”后所作的課堂學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)多20元，用2000元購(gòu)進(jìn)甲種商品和用1200元購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量相同．求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元．方法分析問(wèn)題列出方程解法一設(shè)…等量關(guān)系：甲商品數(shù)量＝乙商品數(shù)量解法二設(shè)…等量關(guān)系：甲商品進(jìn)價(jià)﹣乙商品進(jìn)價(jià)＝20任務(wù)：（1）解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．A．甲種商品每件進(jìn)價(jià)x元B．乙種商品每件進(jìn)價(jià)x元C．甲種商品購(gòu)進(jìn)x件（2）根據(jù)以上解法可求出甲種商品的進(jìn)價(jià)為元/件，乙種商品的進(jìn)價(jià)為元/件．（3）商店計(jì)劃用不超過(guò)1440元的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共40件，至多購(gòu)進(jìn)甲種商品多少件？24．在學(xué)習(xí)了圓周角的定理及推論后，老師布置了這樣一個(gè)思考題“如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦BC的長(zhǎng)與∠A的正弦值的比值等于直徑．”同學(xué)們課下經(jīng)過(guò)探究、合作、交流，最后得到如下的解法：證明：如圖2，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．∵CD是⊙O直徑，∴＝90°．（）∴．＝．∴∠D＝∠A，（）∴．∴．（1）請(qǐng)你將同學(xué)們的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．（2）牛刀小試：如圖3，在⊙O中，弦AB＝3，P為弧AB上一點(diǎn)，∠P＝135°，則⊙O的半徑為．（3）拓展延伸：如圖4，在⊙O中，弦AB＝5，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，在垂線上取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交BC右側(cè)的圓于點(diǎn)D，若BC＝4，CD＝8，求⊙O的面積．25．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，四邊形ABCD為菱形．（1）如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）如圖2，E為BC中點(diǎn)，連接AE，P為AE上一點(diǎn)，連接CP，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，△CPE的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，以CP為邊向右作等邊△CPF，M為CD中點(diǎn)，連接MF，求的最小值．

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)蕭紅中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（五四學(xué)制）參考答案與試題解析一、選擇題：（每題3分，共24分）1．﹣8的倒數(shù)是（）A．﹣8 B．8 C．﹣ D．解：根據(jù)倒數(shù)的定義得：﹣8×（﹣）＝1，因此﹣8的倒數(shù)是﹣．故選：C．2．下列運(yùn)算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．5a﹣2a＝3a解：A、2a+3b，無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a2?a3＝a5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、5a﹣2a＝3a，正確．故選：D．3．下面圖案中是軸對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：第一個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，第二個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，第三個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，第四個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，綜上所述，是軸對(duì)稱圖形的有1個(gè)．故選：A．4．如圖，在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明在學(xué)校門口的點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)的頂端A的仰角為37°，同時(shí)測(cè)得BC＝20米，則樹(shù)的高AB（單位：米）為（）A．20tan37° B． C． D．20sin37°解：如圖，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝20m，∴tanC＝，則AB＝BC?tanC＝20tan37°．故選：A．5．對(duì)于二次函數(shù)的性質(zhì)，下列敘述正確的是（）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小 C．當(dāng)時(shí)，y有最大值是2 D．對(duì)稱軸為y軸解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），故A不正確；二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，拋物線開(kāi)口向上，∴在y軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，故B不正確；當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值2，故C不正確；拋物線的對(duì)稱軸為y軸，故D正確．故選：D．6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO＝（）A．25° B．50° C．60° D．65°解：連接OB，∵∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝＝65°．故選：D．7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點(diǎn)E，GF∥AC，且交CD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴＝，＝，∴＝．故選：D．8．甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛2h，并且甲車途中休息了0.5h，如圖是甲乙兩車行駛的距離y（km）與時(shí)間x（h）的函數(shù)圖象．則下列結(jié)論：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙遲h到達(dá)B地；（4）乙車行駛小時(shí)或小時(shí)，兩車恰好相距50km．正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：（1）由題意，得m＝1.5﹣0.5＝1．120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），則a＝40，故（1）正確；（2）120÷（3.5﹣2）＝80km/h（千米/小時(shí)），故（2）正確；（3）設(shè)甲車休息之后行駛路程y（km）與時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由題意，得解得：∴y＝40x﹣20，根據(jù)圖形得知：甲、乙兩車中先到達(dá)B地的是乙車，把y＝260代入y＝40x﹣20得，x＝7，∵乙車的行駛速度：80km/h，∴乙車的行駛260km需要260÷80＝3.25h，∴7﹣（2+3.25）＝h，∴甲比乙遲h到達(dá)B地，故（3）正確；（4）當(dāng)1.5＜x≤7時(shí)，y＝40x﹣20．設(shè)乙車行駛的路程y與時(shí)間x之間的解析式為y＝k'x+b'，由題意得解得：∴y＝80x﹣160．當(dāng)40x﹣20﹣50＝80x﹣160時(shí)，解得：x＝．當(dāng)40x﹣20+50＝80x﹣160時(shí)，解得：x＝．∴﹣2＝，﹣2＝．所以乙車行駛小時(shí)或小時(shí)，兩車恰好相距50km，故（4）錯(cuò)誤．故選：C．二、填空題（每題3分，共24分）9．某種病菌的形狀為球形，直徑約是0.000000102m，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)為1.02×10﹣7．解：0.000000102＝1.02×10﹣7．故答案為：1.02×10﹣7．10．因式分解：x3﹣4x2+4x＝x（x﹣2）2．解：x3﹣4x2+4x＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2．故答案為：x（x﹣2）2．11．計(jì)算：的結(jié)果為．解：＝＝＝．故答案為：．12．不等式組的解集是x＞3．解：，由①得，x＞3，由②得，x≥﹣2，故此不等式組的解集為：x＞3．故答案為：x＞313．函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是x≥2且x≠5．解：由題意得，x﹣2≥0，x﹣5≠0，解得，x≥2且x≠5，故答案為：x≥2且x≠5．14．如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個(gè)引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為2cm．解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案為2．15．在△ABC中，若AB＝，tan∠B＝，AC＝，則BC＝13或1．．解：如圖，作AH⊥C于H．當(dāng)高AH在△ABC內(nèi)時(shí)，∵tan∠B＝＝，∴可以假設(shè)AH＝3k，BH＝7k，∵AB2＝AH2+BH2，∴58＝58k2，∵k＞0，∴k＝1，∴AH＝3，BH＝7，在Rt△ACH中，CH＝＝＝6，∴BC＝BH+CH＝7+6＝13，當(dāng)高AH在△ABC′外時(shí)，BC′＝BH﹣HC′＝7﹣6＝1，故答案為13或1．16．如圖，矩形ABCD的面積為5，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O1，以AB，AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對(duì)角線交于點(diǎn)O2，同樣以AB，AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2，…，依此類推，則平行四邊形AB?nOn的面積為．解：后面的每一個(gè)平行四邊形都與第一個(gè)矩形ABCD同底不同高，而第n個(gè)平行四邊形的高是矩形ABCD的，所以平行四邊形AB?nOn的面積為．三、解答題（共72分）17．（6分）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°﹣1．解：（﹣）÷＝＝＝＝，∵x＝2cos45°﹣1＝，∴原式＝＝．18．（6分）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中，有線段AB，點(diǎn)A、B均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫一個(gè)以線段AB為一邊的平行四邊形ABCD，點(diǎn)C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上，且平行四邊形ABCD的面積為10；（2）在圖2中畫一個(gè)鈍角三角形ABE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且三角形ABE的面積為4，tan∠AEB＝．請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示；BE＝＝2．19．（7分）如圖，BC、AD相交于點(diǎn)E，且AB∥CD，（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）若AB＝2，CD＝3，AE＝1，求AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，∴△ABE∽△DCE；（2）解：∵△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，∴DE＝1.5，∴AD＝AE+ED＝1+1.5＝2.5．20．（7分）為更好引導(dǎo)和促進(jìn)旅游業(yè)恢復(fù)發(fā)展，深入推動(dòng)大眾旅游，文化和旅游部決定開(kāi)展2023年“5?19中國(guó)旅游日”活動(dòng)．青海省某旅行社為了解游客喜愛(ài)的旅游景區(qū)的情況，對(duì)“五一”假期期間的游客去向進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖1，圖2中所給的信息，解答下列問(wèn)題：（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量是200；（2）將圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，“五一”假期期間這四個(gè)景區(qū)共接待游客約19萬(wàn)人，請(qǐng)估計(jì)前往青海湖景區(qū)的游客約有多少萬(wàn)人．解：（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量為50÷25%＝200，故答案為：200；（2）B組的人數(shù)為200﹣70﹣20﹣50＝60（人），條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為：（3）（萬(wàn)），所以估計(jì)前往青海湖景區(qū)的游客約有6.65萬(wàn)人．21．（8分）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過(guò)天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．（1）求新坡面AC的長(zhǎng)度；（2）試求新坡面底部點(diǎn)A到建筑物MN的距離．解：（1）在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，則AC＝2CD＝2×6＝12（米），答：新坡面AC的長(zhǎng)度為12米；（2）在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝6米，∴BD＝CD＝6米，∵NB＝8米，∴ND＝NB+BD＝8+6＝14（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，則AD＝＝6（米），∴NA＝ND﹣AD＝（14﹣6）米，答：新坡面底部點(diǎn)A到建筑物MN的距離為（14﹣6）米．22．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，（1）如圖（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖（2）若EG平分∠HEF，在不添加輔助線的條件下，直接寫出長(zhǎng)度等于EH的線段（不包括EH）【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，且AE＝CG，AH＝CF∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理EF＝GH∴四邊形EFGH是平行四邊形（2）∵四邊形EFGH是平行四邊形∴EH∥FG∴∠HEG＝∠EGF∵EG平分∠HEF∴∠HEG＝∠FEG∴∠EGF＝∠FEG∴EF＝FG，且四邊形EFGH是平行四邊形∴四邊形EFGH是菱形∴EH＝EF＝FG＝GH23．下面是小亮學(xué)習(xí)了“分式方程的應(yīng)用”后所作的課堂學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)多20元，用2000元購(gòu)進(jìn)甲種商品和用1200元購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量相同．求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元．方法分析問(wèn)題列出方程解法一設(shè)…等量關(guān)系：甲商品數(shù)量＝乙商品數(shù)量解法二設(shè)…等量關(guān)系：甲商品進(jìn)價(jià)﹣乙商品進(jìn)價(jià)＝20任務(wù)：（1）解法一所列方程中的x表示A，解法二所列方程中的x表示C．A．甲種商品每件進(jìn)價(jià)x元B．乙種商品每件進(jìn)價(jià)x元C．甲種商品購(gòu)進(jìn)x件（2）根據(jù)以上解法可求出甲種商品的進(jìn)價(jià)為50元/件，乙種商品的進(jìn)價(jià)為30元/件．（3）商店計(jì)劃用不超過(guò)1440元的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共40件，至多購(gòu)進(jìn)甲種商品多少件？解：（1）由甲商品數(shù)量＝乙商品數(shù)量，可得：中的x表示甲種商品每件進(jìn)價(jià)x元，由甲商品進(jìn)價(jià)﹣乙商品進(jìn)價(jià)＝20可得：中的x表示甲種商品購(gòu)進(jìn)x件；故答案為：A，C；（2），去分母得：2000（x﹣20）＝1200x，整理得：5x﹣100＝3x，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝50是原方程的解，且符合題意；∴x﹣20＝50﹣20＝30，答：甲種商品的進(jìn)價(jià)為50元/件，乙種商品的進(jìn)價(jià)為30元/件．故答案為：50，30；（3）設(shè)甲商品購(gòu)進(jìn)a件，則乙商品購(gòu)進(jìn)（40﹣a）件，∵商店計(jì)劃用不超過(guò)1440元的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，∴50a+30（40﹣a）≤1440，∴a≤12，答：至多購(gòu)進(jìn)甲種商品12件．24．在學(xué)習(xí)了圓周角的定理及推論后，老師布置了這樣一個(gè)思考題“如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦BC的長(zhǎng)與∠A的正弦值的比值等于直徑．”同學(xué)們課下經(jīng)過(guò)探究、合作、交流，最后得到如下的解法：證明：如圖2，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．∵CD是⊙O直徑，∴∠DBC＝90°．（直徑所對(duì)的圓周角是直角）∴．＝．∴∠D＝∠A，（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴．∴．（1）請(qǐng)你將同學(xué)們的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．（2）牛刀小試：如圖3，在⊙O中，弦AB＝3，P為弧AB上一點(diǎn)，∠P＝135°，則⊙O的半徑為．（3）拓展延伸：如圖4，在⊙O中，弦AB＝5，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，在垂線上取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交BC右側(cè)的圓于點(diǎn)D，若BC＝4，CD＝8，求⊙O的面積．【解答】（1）證明：如圖2，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∵CD是⊙O直徑，∴∠DBC＝90°，（直徑所對(duì)的圓周角是直角）∴sinD＝，∵，∴∠D＝∠A，（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴，∴＝BC?＝CD．故答案為：∠DBC，直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）解：連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，如圖，∵CB是⊙O直徑，∴∠BAC＝90°，∵APBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠P＝180°，∵∠P＝135°，∴∠C＝45°，∴∠ABC＝45°＝∠C，即△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB＝3，∴BC＝AB＝3，∴，故答案為：；（3）解：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連OA，OD，如圖，則∠OEB＝90°，BE＝AE＝AB＝2.5，∵CD∥AB，CB⊥AB，∴∠C＝∠B＝∠OEB＝90°，∴四邊形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝2.5，EF＝BC＝4，∴DF＝DC﹣CF＝8﹣2.5＝5.5，OF＝OE﹣EF＝OE﹣4，在Rt△OEA中，OA2＝OE2+AE2＝OE2+2.52，在Rt△OFD中，OD2＝OF2+DF2＝（OE﹣4）2+5.52，∵OA＝OD，∴OE2+2.52＝（OE﹣4）2+5.52，解得：OE＝5，∴OF＝OE﹣EF＝1，∴OA2＝＝．∴⊙O的面積為：π?OA2＝π．25．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，四邊形ABCD為菱形．（1）如圖1，