人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題8.3 一元線性回歸模型及其應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）（教師版）

專題8.3一元線性回歸模型及其應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．一元線性回歸模型把式子SKIPIF1<0為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.2．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，由SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+a+SKIPIF1<0(i=1，2，SKIPIF1<0，n)，得|SKIPIF1<0-(SKIPIF1<0+a)|=|SKIPIF1<0|，顯然|SKIPIF1<0|越小，表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小.

通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和Q=SKIPIF1<0來(lái)刻畫(huà)各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.當(dāng)a，b的取值為SKIPIF1<0時(shí)，Q達(dá)到最小.將SKIPIF1<0=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做b，a的最小二乘估計(jì).

經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0).3．殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的SKIPIF1<0稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.4．刻畫(huà)回歸效果的方式(1)殘差圖法

作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高.

(2)殘差平方和法

殘差平方和為SKIPIF1<0，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.

(3)利用SKIPIF1<0刻畫(huà)擬合效果

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.

SKIPIF1<0越大，模型的擬合效果越好，SKIPIF1<0越小，模型的擬合效果越差.(1)對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的均值分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0）.①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.

②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小.【題型1一元線性回歸模型】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)一元線性回歸模型的定義，結(jié)合具體題目條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·高二單元測(cè)試）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程為Y=nX+m，若樣本點(diǎn)的中心x,y為5,0.9，則當(dāng)X每增加1個(gè)單位時(shí)，Y平均（X34567Y4.0m?5.4-0.50.5n?0.6A．增加1.4個(gè)單位 B．減少1.4個(gè)單位 C．增加7.9個(gè)單位 D．減少7.9個(gè)單位【解題思路】根據(jù)已知條件解出m和n,得到線性回歸方程，即可得到答案.【解答過(guò)程】樣本點(diǎn)的中心x,y為5,0.9，則m+n?25=0.9，故解得n=?1.4，m=7.9，則Y=?1.4X+7.9，可知當(dāng)X每增加1個(gè)單位時(shí)，Y平均減少1.4個(gè)單位．故選：B．【變式1-1】（2022春·黑龍江大慶·高二期末）給出下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．回歸直線y=bB．兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)|r|就越接近1C．某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的方差不變D．在回歸直線方程y=2?0.5x中，當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y【解題思路】A中，根據(jù)回歸直線方程的特征，可判定是否正確；B中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，可判定是否正確；C中，根據(jù)方差的計(jì)算公式，可判定是否正確；D中，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可判定是否正確.【解答過(guò)程】對(duì)于A中，回歸直線y=bx+對(duì)于B中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，可得兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)|r|就越接近1，所以是正確的；對(duì)于C中，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可得x=根據(jù)方差的計(jì)算公式s2對(duì)于D中，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得在回歸直線方程y=2?0.5x當(dāng)解釋變量x增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量y平均減少0.5個(gè)單位，所以是正確的.故選：C.【變式1-2】（2022春·河南南陽(yáng)·高二期中）已知變量x和y的回歸直線方程為y=0.2021x+0.202，變量y與z負(fù)相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（

A．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)【解題思路】根據(jù)變量x和y的回歸直線方程判斷.【解答過(guò)程】解：因?yàn)樽兞縳和y的回歸直線方程為y=0.2021x+0.202，且0.2021>0所以變量x與y正相關(guān)，又變量y與z負(fù)相關(guān)，所以x與z負(fù)相關(guān)，故選：B.【變式1-3】（2022春·陜西渭南·高一期末）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到線性回歸方程為y=bx+a，則（

）A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)>0,b<0 C．a(chǎn)<0,b>0 D．a(chǎn)<0,b<0【解題思路】根據(jù)x與y負(fù)相關(guān)且樣本點(diǎn)集中在第一象限可判斷出結(jié)果.【解答過(guò)程】由樣本數(shù)據(jù)知：x與y負(fù)相關(guān)，∴b<0；又樣本點(diǎn)位于第一象限，∴y=bx+ab<0在y軸截距為正，∴a>0故選：B.【題型2殘差的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，得出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再進(jìn)行殘差的計(jì)算.【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測(cè)得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2.04x+a，則第7天的殘差為（A．1.12 B．2.12 C．?1.12 D．?2.12【解題思路】依題意求出x、y，根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)x,y求出【解答過(guò)程】解：通過(guò)表格計(jì)算得，x=17因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線y=2.04x+a過(guò)點(diǎn)x,所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2.04x?0.16所以回歸模型第7天的殘差13?(2.04×7?0.16)=?1.12．故選：C．【變式2-1】（2023春·河南開(kāi)封·高三開(kāi)學(xué)考試）某部門(mén)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)今年前7個(gè)月在線外賣(mài)的規(guī)模如下表：月份代號(hào)x1234567在線外賣(mài)規(guī)模y（百萬(wàn)元）111318★28★35其中4、6兩個(gè)月的在線外賣(mài)規(guī)模數(shù)據(jù)模糊，但這7個(gè)月的平均值為23．若利用回歸直線方程y=bx+a來(lái)擬合預(yù)測(cè)，且7月相應(yīng)于點(diǎn)7,35的殘差為?0.6，則A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0【解題思路】根據(jù)給定條件，求出x，再借助回歸直線的特征及殘差列出方程組即可求解作答.【解答過(guò)程】依題意，x=17(1+2+3+4+5+6+7)=4，而而當(dāng)x=7時(shí)，35?(7b+a)=?0.6，即所以a?故選：B.【變式2-2】（2022春·河南許昌·高二期末）為研究變量x，y的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個(gè)樣本點(diǎn)（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為y=?1.8x+a，則據(jù)此計(jì)算殘差為1.1的樣本點(diǎn)是（【解題思路】先求出回歸方程的樣本中心點(diǎn)，從而可求得y=?1.8x+18.6【解答過(guò)程】由題意可知，x=5.5+6.5+7+7.5+8.55所以回歸方程的樣本中心點(diǎn)為(7,6)，因此有6=?1.8×7+a所以y=?1.8x+18.6當(dāng)x=5.5時(shí)，y=當(dāng)x=6.5時(shí)，y=當(dāng)x=7時(shí)，y=當(dāng)x=7.5時(shí)，y=故選：B.【變式2-3】（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：x4m81012y12356由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程為y=0.65x?1.8，則4,1，m,2，8,3這三個(gè)樣本數(shù)據(jù)中，殘差的絕對(duì)值最小的是（

A．4,1 B．m,2 C．8,3 D．4,1和m,2【解題思路】根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸方程上，求出m=6，分別計(jì)算出三個(gè)樣本數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值，比較得到結(jié)果.【解答過(guò)程】x=4+m+8+10+125因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)34+m5,17m=6，當(dāng)x=4時(shí)，y=0.65×4?1.8=0.8，1?0.8=0.2當(dāng)x=6時(shí)，y=0.65×6?1.8=2.1，2.1?2=0.1當(dāng)x=8時(shí)，y=0.65×8?1.8=3.4，3.4?3=0.4因?yàn)?.1<0.2<0.4，所以殘差的絕對(duì)值最小的是m,2故選：B.【題型3刻畫(huà)回歸效果的方式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)刻畫(huà)回歸效果的三種方式，結(jié)合具體題目條件，選取適當(dāng)?shù)姆绞絹?lái)刻畫(huà)模型的擬合效果，即可得解.【例3】（2022秋·寧夏銀川·高三開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）(1)在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差(2)某地氣象局預(yù)報(bào)：6月9日本地降水概率為90%，結(jié)果這天沒(méi)下雨，這表明天氣預(yù)報(bào)并不科學(xué)(3)回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好(4)在回歸直線方程y=0.1x+10A．2 B．3 C．4 D．1【解題思路】根據(jù)殘差分析的性質(zhì)判斷(1)，(3)選項(xiàng)，由概率的意義判斷(2)選項(xiàng)，根據(jù)回歸直線方程的意義判斷(4).【解答過(guò)程】解：對(duì)(1)，在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好，故錯(cuò)誤;對(duì)(2)，概率只說(shuō)明事件發(fā)生的可能性，某次事件不一定發(fā)生，所以并不能說(shuō)明天氣預(yù)報(bào)不科學(xué)，故錯(cuò)誤;對(duì)(3)，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故正確;對(duì)(4)，在回歸直線方程y=0.1x+10故選:A.【變式3-1】（2022春·山東菏澤·高二期末）關(guān)于線性回歸的描述，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心 B．殘差平方和越小，擬合效果越好C．決定系數(shù)R2越接近1，擬合效果越好 D．殘差平方和越小，決定系數(shù)R【解題思路】根據(jù)線性回歸的性質(zhì)判斷即可【解答過(guò)程】對(duì)A，回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心正確；對(duì)B，殘差平方和越小，擬合效果越好正確；對(duì)C，決定系數(shù)R2對(duì)D，殘差平方和越小，擬合效果越好，決定系數(shù)R2故選：D.【變式3-2】（2022秋·廣東廣州·高三階段練習(xí)）對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1，x2A．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=?0.9462，則變量y和x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸效果，RD．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高【解題思路】變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r越大，則變量y和x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系可判斷A；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好可判斷B；用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸效果，R【解答過(guò)程】變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r越大，則變量y和x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故B正確；用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸效果，R在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，故D正確.故選：C.【變式3-3】（2022春·甘肅天水·高二階段練習(xí)）關(guān)于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)；②相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，擬合效果越好；③相關(guān)指數(shù)R2④殘差平方和越小，擬合效果越好.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)及殘差平方和的意義判斷各項(xiàng)的正誤即可.【解答過(guò)程】對(duì)于①，回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，故正確；對(duì)于②，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，相關(guān)指數(shù)R2對(duì)于④，殘差平方和越小，擬合效果越好，故正確.故選：C.【題型4代入法求線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程】【方法點(diǎn)撥】經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，求出樣本點(diǎn)的中心后代入線性回歸方程求解相應(yīng)字母.【例4】（2023秋·四川廣安·高二階段練習(xí)）已知兩個(gè)變量x和y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，某興趣小組收集了一組x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y0.50.611.41.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程是（

）A．y=0.21x+0.53 B．y=0.25x+0.21C．y=0.28x+0.16 D．y=0.31x+0.11【解題思路】求出x，y，由回歸直線必過(guò)樣本中心，將點(diǎn)（x，y）依次代入各項(xiàng)檢驗(yàn)是否成立可得結(jié)果.【解答過(guò)程】∵x=1∴回歸直線必過(guò)樣本中心（3,1），而A、B、D項(xiàng)中的回歸直線方程不過(guò)點(diǎn)（3,1），C項(xiàng)的回歸直線方程過(guò)點(diǎn)（3,1），故選：C.【變式4-1】（2022秋·陜西榆林·高二期中）已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若y與x線性相關(guān)，且y=0.95x+a，則a=（

）A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6【解題思路】利用平均數(shù)可得樣本的中心點(diǎn)為2,4.5，將中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值代入題目中的等式即可求出a的值.【解答過(guò)程】由表格，得x=y=線性回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)2,4.5，所以4.5=0.95×2+a，所以a=2.6.故選：D.【變式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）3456銷(xiāo)售額y（萬(wàn)元）25304045根據(jù)如表可得回歸方程y=bx+a中的【解題思路】線性回歸方程．根據(jù)回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，求出回歸系數(shù)，再將x=10代入，即可得到預(yù)報(bào)銷(xiāo)售額．【解答過(guò)程】解：由題意，x=3+4+5+64由回歸方程y=bx+a中的b為7可得，所以，回歸方程為y=7x+3.5所以x=10時(shí)，y=7×10+3.5=73.5故選：C．【變式4-3】（2023秋·四川宜賓·高二期末）某小區(qū)流感大爆發(fā)，當(dāng)?shù)蒯t(yī)療機(jī)構(gòu)使用中西醫(yī)結(jié)合的方法取得了不錯(cuò)的成效，每周治愈的患者人數(shù)如表所示，由表格可得y關(guān)于x的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=36x?48，則測(cè)此回歸模型第4周的治愈人數(shù)為（

周數(shù)（x）12345治愈人數(shù)（y）51535？140A．106 B．105 C．104 D．103【解題思路】設(shè)第4周的治愈人數(shù)為m，表示出樣本中心點(diǎn)x,【解答過(guò)程】根據(jù)題意，設(shè)第4周的治愈人數(shù)為m，則有x=1+2+3+4+54所以樣本中心點(diǎn)為3,195+m5，代入到回歸方程得m=105，故選：B.【題型5經(jīng)驗(yàn)回歸模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是響應(yīng)變量；(2)畫(huà)出解釋變量和響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)；(3)確定經(jīng)驗(yàn)回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程)；(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額資料如表．商店名稱ABCDE銷(xiāo)售額x（千萬(wàn)元）35679利潤(rùn)額y（千萬(wàn)元）23345(1)若銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷(xiāo)售額x的回歸直線方程．（參考公式b=i=1n(2)若該公司計(jì)劃再開(kāi)一個(gè)店想達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)為8百萬(wàn)，請(qǐng)預(yù)估銷(xiāo)售額需要達(dá)到多少?【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法和回歸直線方程的公式，即可求解.（2）將y=0.8【解答過(guò)程】（1）由表中的數(shù)據(jù)可得，x=15b=i=15故利潤(rùn)額y對(duì)銷(xiāo)售額x的回歸直線方程為y=0.5x+0.4（2）∵該公司計(jì)劃再開(kāi)一個(gè)店想達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)為8百萬(wàn)，即0.8千萬(wàn)，∴0.8=0.5x+0.4，解得x=0.8，故預(yù)計(jì)銷(xiāo)售額需要達(dá)到8百萬(wàn)．【變式5-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）目前手機(jī)已經(jīng)成為人們生活中的必需品，國(guó)內(nèi)市場(chǎng)已經(jīng)進(jìn)入成熟期，下表是2016—2021年某市手機(jī)總體出貨量（單位：萬(wàn)部）統(tǒng)計(jì)表．年份2016年2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x123456手機(jī)總體出貨量y/萬(wàn)部5.64.94.13.93.23.5(1)已知該市手機(jī)總體出貨量y與年份代碼x之間可用線性回歸模型擬合，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)預(yù)測(cè)2022年該市手機(jī)總體出貨量．附：線性回歸方程y=a+bx【解題思路】（1）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出a,（2）將x=7代入（1）中回歸方程，即可得解.【解答過(guò)程】（1）由題中統(tǒng)計(jì)表得x=y=所以i=16xii=16則b=a=所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=?0.45x+5.78（2）由題意得2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼x=7，代入y=?0.45x+5.78，得y所以預(yù)測(cè)2022年該市手機(jī)總體出貨量為2.63萬(wàn)部．【變式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工廠統(tǒng)計(jì)2022年銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)量與售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）1719202123售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)y（單位：萬(wàn)件）2122252730假定該工廠銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)呈線性相關(guān)關(guān)系，(1)求2022年售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)y（單位：萬(wàn)件）關(guān)于銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)2022年該工廠建立40個(gè)銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)時(shí)售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù).參考公式：b=i=1n【解題思路】（1）由參考公式可算出銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）的線性回歸方程；（2）將x=40代入由（1）算得的回歸方程可得答案.【解答過(guò)程】（1）由題，可得x=y=i=15i=15則b=2532?5×20×252020?5×故回歸方程為：y=1.6x?7（2）將x=40代入回歸方程，則y=64?7=57故2022年該工廠建立40個(gè)銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)時(shí)售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)約57萬(wàn)件.【變式5-3】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)5G技術(shù)給直播行業(yè)帶來(lái)了很多發(fā)展空間，加上受疫情影響，直播這種成本較低的獲客渠道備受商家青睞，某商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了2022年1~5月某商品的線上月銷(xiāo)售量y（單位：千件）與售價(jià)x月份12345售價(jià)x（元/件）6056585754月銷(xiāo)售量y（千件）597109(1)求相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)|r|∈[0.75,1]時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.01）；(2)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計(jì)當(dāng)售價(jià)為55元/件時(shí)，該商品的線上月銷(xiāo)售量估計(jì)為多少千件？(3)若每件商品的購(gòu)進(jìn)價(jià)格為(0.5x+25)元/件，如果不考慮其他費(fèi)用，由（2）中結(jié)論，當(dāng)商品售價(jià)為多少時(shí)，可使得該商品的月利潤(rùn)最大？（該結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)xi,yi(i=1,2,3,?,n)，相關(guān)系數(shù)r=i=1n【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算x,y，從而分別代入計(jì)算出i=15xi?x（2）代入公式求解b，a，從而寫(xiě)出回歸方程，再代入x=55，計(jì)算y；（3）設(shè)每月的利潤(rùn)為Z元，寫(xiě)出Z關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求解對(duì)稱軸即可.【解答過(guò)程】（1）由已知數(shù)據(jù)可得x=i=15i=15i=15所以相關(guān)系數(shù)=i=1因?yàn)閞>0.75，所以y與x（2）由于b=a=所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=?0.7x+47.9當(dāng)x=55時(shí)，y=?0.7×55+47.9=9.4故當(dāng)售價(jià)為x=55元/件時(shí)，該商品的線上月銷(xiāo)售量估計(jì)為9.4千件．（3）設(shè)每月的利潤(rùn)為Z元，則Z=1000(x?0.5x?25)(?0.7x+47.9)=50?7當(dāng)x=82914≈59即當(dāng)商品售價(jià)為59元/件時(shí)，可使得該商品的月利潤(rùn)最大．【題型6非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法】【方法點(diǎn)撥】(1)作散點(diǎn)圖確定曲線模型：曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)種類繁多，這就要求我們充分想象，大膽猜測(cè)擬合函數(shù)類型，粗略估計(jì)使用哪個(gè)函數(shù)擬合.(2)非線性轉(zhuǎn)化為線性：先通過(guò)適當(dāng)變換化非線性關(guān)系為線性關(guān)系，然后按照線性檢驗(yàn)回歸方程的求解步驟進(jìn)行求解.(3)分析模型的擬合效果，得出結(jié)論.【例6】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y36132545100(1)判斷y=bx+a（a,b為常數(shù)）與y=c1(2)對(duì)于非線性回歸方程y=c1ec2x（c1,xyzi=1i=1i=13.50322.8517.530712.12（?。┳C明：對(duì)于非線性回歸方程y=c1ec2x，令z=（ⅱ）根據(jù)（?。┑呐袛嘟Y(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【解題思路】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，再借助散點(diǎn)圖即可判斷作答.（2）（?。┯桑?）選定的回歸方程類型，取對(duì)數(shù)即可得關(guān)于x的直線方程作答；（ⅱ）由（?。┑慕Y(jié)果，利用最小二乘法求解作答.【解答過(guò)程】（1）作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點(diǎn)圖，如圖，觀察散點(diǎn)圖知，樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線周?chē)?，所以y^=c^1（2）（ⅰ）由（1）知，y=c1ec2x因此lny=ln(c所以繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系.（ⅱ）x=3.50，zc^lnc1=所以y關(guān)于x的回歸方程為y=【變式6-1】（2023·云南·高三階段練習(xí)）近年來(lái)，云南省保山市龍陵縣緊緊圍繞打造“中國(guó)石斛之鄉(xiāng)”的發(fā)展定位，大力發(fā)展石斛產(chǎn)業(yè)，該產(chǎn)業(yè)帶動(dòng)龍陵縣近四分之一人口脫貧致富．2022年8月，龍陵紫皮石斛獲國(guó)家地理標(biāo)志運(yùn)用促進(jìn)工程重點(diǎn)項(xiàng)目，并被評(píng)為優(yōu)秀等次．在政府的大力扶持下，龍陵紫皮石斛產(chǎn)量逐年增長(zhǎng)，2017年底到2022年底龍陵縣石斛產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下及散點(diǎn)圖如圖．年份201720182019202020212022年份代碼x123456紫皮石斛產(chǎn)量y（噸）320034003600420075009000(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=ax+b與y=cedx（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為龍陵縣紫皮石斛產(chǎn)量y關(guān)于年份代碼(2)經(jīng)計(jì)算得下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）中結(jié)果，求出y關(guān)于x的回歸方程；xyui=1i=1i=13.551508.4617.5209503.85其中u=ln(3)龍陵縣計(jì)劃到2025年底實(shí)現(xiàn)紫皮石斛年產(chǎn)量達(dá)1.5萬(wàn)噸，根據(jù)（2）所求得的回歸方程，預(yù)測(cè)該目標(biāo)是否能完成？（參考數(shù)據(jù)：e9.45附：b=i=1n【解題思路】（1）根據(jù)判斷即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)，利用公式求解即可；（3）根據(jù)（2）中所得的回歸方程即可預(yù)測(cè)到2025年底該目標(biāo)值，從而即可判斷．【解答過(guò)程】（1）由散點(diǎn)圖可知，y=cedx更適合作為龍陵縣紫皮石斛產(chǎn)量y關(guān)于年份代碼（2）對(duì)y=cedx兩邊取自然對(duì)數(shù)，得令u=lny,v=ln因?yàn)閤=3.5,所以d=所以v=所以u(píng)=0.22x+7.69所以龍陵縣紫皮石