人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題7.8 二項(xiàng)分布與超幾何分布（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）（教師版）

專題7.8二項(xiàng)分布與超幾何分布（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為XB．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為XC．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X【解題思路】根據(jù)超幾何分布的定義可判斷得選項(xiàng).【解答過程】解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布.故選：B.2．（3分）（2022春·山西·高二期末）已知隨機(jī)變量X～B(n,p)，若E(X)=1,D(X)=45，則P(X=3)=（A．643125 B．128625 C．1【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的定義即可求解.【解答過程】由E(X)=1,D(X)=45，得np=1,np(1?p)=所以P(X=3)=C故選：D.3．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X，Y滿足：Y=3X?1，X～B2,p，若PX≥1=59A．3 B．13 C．4 D．【解題思路】由X~B(2,p)，P(X?1)=59，求出p值，利用二項(xiàng)分布的方差公式求出【解答過程】由于隨機(jī)變量X滿足：X~B(2,p)，P(X?1)=5∴P(x=0)=1?P(X?1)=C解得：p=13，即∴D(X)=np(1?p)=2×1又∵隨機(jī)變量X，Y滿足：Y=3X?1，∴D(Y)=3故選：C.4．（3分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）若X～B(6,12)，則使P(X＝k)最大的kA．2 B．3 C．2或3 D．4【解題思路】求使P(X=k)取最大值的k的值可通過比較P(X=k)和P(X=k+1)的大小得到．可利用做商法比較大小，從而可得出答案.【解答過程】解：PX=k則P(X=k+1)P(X=k)=C所以當(dāng)k=2時(shí)，P(X=2)=15當(dāng)k=3時(shí)，P(X=3)=20從而X=3時(shí)，P(X=k)取得最大值．故選：B．5．（3分）（2022春·廣東廣州·高二期末）在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P(X=1)=25 B．隨機(jī)變量C．隨機(jī)變量X服從幾何分布 D．E【解題思路】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，利用超幾何分布的性質(zhì)直接判斷各選項(xiàng)即可．【解答過程】解：由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；X的取值分別為0，1，2，3，4，則P(X=0)=C64P(X=2)=C42C6∴E(X)=0×1故A，D錯(cuò)誤．故選：C．6．（3分）（2023·山西·統(tǒng)考一模）已知隨機(jī)變量ξiξ012P1?2p其中i=1，2，若12<pA．Eξ1<Eξ2，C．Eξ1>Eξ2，【解題思路】由題知ξi【解答過程】解：由表中數(shù)據(jù)可知ξi∴Eξi=2又∵12∴Eξ1<E∴Dξ1>D故選：B.7．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）為了保障我國民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為19，第二輪檢測(cè)不合格的概率為110，兩輪檢測(cè)是否合格相互之間沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則PX≥?80A．96625 B．256625 C．608【解題思路】根據(jù)題意可求得該產(chǎn)品能銷售的概率，寫出X的取值，設(shè)ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則ξ服從二項(xiàng)分布，分別求出X的取值對(duì)于得概率，從而可得答案.【解答過程】由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為1?1易知X的取值范圍為?320,?200,?80,40,160，設(shè)ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則ξ~B4,所以Pξ=k=C所以PX=?80PX=40PX=160故PX≥?80故選：C.8．（3分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有1個(gè)紅球，乙盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出n1≤n≤6,n∈N?個(gè)球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為ξ個(gè)，則隨著nA．Eξ增加，Dξ增加 B．Eξ增加，Dξ減小C．Eξ減小，Dξ增加 D．Eξ減小，Dξ減小【解題思路】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出n個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，即X～H6,3,n，可得出EX=n2，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，則ξ服從兩點(diǎn)分布，所以Eξ=Pξ=1=12【解答過程】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出n個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，即X～H6,3,n，其中PX=k=C3kC3n?k故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有n2+1個(gè)紅球的n+1個(gè)球中取一球，取到紅球個(gè)數(shù)為故Pξ=1隨機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布，所以Eξ=Pξ=1=n2+1Dξ=1?Pξ=1Pξ=1=故選：C.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y，k=0，1，2，3．則下列判斷正確的是（

）A．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布 B．隨機(jī)變量Y服從超幾何分布C．P(X=k)<P(Y=k) D．E(X)=E(Y)【解題思路】對(duì)于A，B選項(xiàng)，由超幾何分布和二項(xiàng)分布的概念可知“有放回”是二項(xiàng)分布，“無放回”是超幾何分布，故兩個(gè)選項(xiàng)均正確；C，D選項(xiàng)，可進(jìn)行計(jì)算判斷.【解答過程】對(duì)于A，B選項(xiàng)，由超幾何分布和二項(xiàng)分布的概念可知兩個(gè)選項(xiàng)均正確；對(duì)于D選項(xiàng)，該批產(chǎn)品有M件，則E(X)=3?5M=15M對(duì)于C選項(xiàng)，假若C正確可得E(X)<E(Y)，則D錯(cuò)誤，矛盾！故C錯(cuò)誤．故選：ABD.10．（4分）（2023春·河北石家莊·高三開學(xué)考試）某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4?an，其中A．PX=0=C．X的數(shù)學(xué)期望EX=n2【解題思路】確定X～Bn【解答過程】由二進(jìn)制數(shù)A的特點(diǎn)知每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，每位數(shù)出現(xiàn)0，1是獨(dú)立的，所以X～Bn,1PX=k因?yàn)閄～Bn,1故選：ABC.11．（4分）（2022春·山西呂梁·高二期中）已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為ξ，Pξ=1=1645，A．這10件產(chǎn)品的次品率為20% B．次品數(shù)為8件C．Eξ=0.4【解題思路】假設(shè)次品為n件，由Pξ=1=1645求得次品n及次品率，再分別求的【解答過程】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為n件，從中抽取2件，Pξ=1這10件產(chǎn)品的次品率為21010件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，Pξ=0則EξDξ故選：ACD.12．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校食坣每天中都會(huì)提供A,B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為23，選擇B套餐的概率為13.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天詵擇A套餐的概率為14，選擇B套餐的概率為34；前一天選擇B套餐的學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為12，選擇B套餐的概率也是12，如此往復(fù).記某同學(xué)第n天選擇A套餐的概率為An，選擇B套餐的概率為Bn.一個(gè)月（30天）后，記甲?乙A．An+BC．PX=1≈0.288【解題思路】對(duì)于A選項(xiàng)，由于每人每次只能選擇A,B兩種套餐中的一種，則An+Bn=1，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，依題意An+1=An所以X～B3,35【解答過程】由于每人每次只能選擇A,B兩種套餐中的一種，所以An依題意，An+1=A又n=1時(shí)，A1所以數(shù)列An?25是首項(xiàng)為所以An當(dāng)n>30時(shí)，Bn所以X～B3,35故選：ABC.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·重慶沙坪壩·重慶模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量ξ～B5,p，且Eξ=109，則【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算即可.【解答過程】解：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B5,p所以Eξ=5p=10所以Dξ故答案為：708114．（4分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2,p),η~B(3,p)，若P(ξ≥1)=59，則P(η≥2)=7【解題思路】由題意可得P(ξ≥1)=1?P(ξ=0)=59,由此解出p值,根據(jù)η~B(3,p),代入所求的概率的值,根據(jù)【解答過程】∵隨機(jī)變量ξ~B(2,p),且P(ξ≥1)=5∴P(ξ≥1)=1?P(ξ=0)=1?C解得p=13,∴P(η≥2)=1?P(η=0)?P(η=1)=1?C故答案為：72715．（4分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79．現(xiàn)從該袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，則E(X)=32【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合古典概型求得m=5，進(jìn)而求X的分布列和期望.【解答過程】設(shè)袋中有m個(gè)黑球，則白球有10?m，由題意可得：Cm2C102故X的可能取值有0,1,2,3，則有：PX=0可得X的分布列為：X0123P1551故EX故答案為：3216．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在一次新兵射擊能力檢測(cè)中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射擊，合格通過；5次全不中，則不合格．新兵A參加射擊能力檢測(cè)，假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立，且擊中靶標(biāo)的概率均為p(0<p<1)，若當(dāng)p=p0時(shí)，他至少射擊4次合格通過的概率最大，則p0=【解題思路】由題設(shè)至少射擊4次合格通過，即第4或5槍擊中靶標(biāo)，可得f(p)=(1?p)3(2p?p2【解答過程】至少射擊4次合格通過的概率為f(p)=(1?p)所以f'(p)=(1?p)2(5故f(p)在(0,1?155)當(dāng)p=1?155時(shí)f(p)得最大值，故故答案為：1?15四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）寫出下列離散型隨機(jī)變量的分布列，并指出其中服從二項(xiàng)分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？（1）X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)．（2）X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和．（3）有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件數(shù)為X3．（4）有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X4(N－M>n>0)．【解題思路】（1）由條件可知X1～Bn,13，寫出二項(xiàng)分布列；（2）根據(jù)古典概型求概率；（3）因?yàn)槭怯蟹呕?，所以每此抽取，抽出次品的概率是MN【解答過程】【解】（1）X1的分布列為X1012…nPCnCC…CX1服從二項(xiàng)分布，即X1～Bn,（2）X2的分布列為X223456789101112P136236345654321（3）X3的分布列為X3012…nP1?MCC…MNX3服從二項(xiàng)分布，即X3～Bn,(4)X4的分布列為X401…k…nPCN?MC…C…CX4服從超幾何分布．18．（6分）（2023秋·河北唐山·高三期末）2022年10月1日，某超市舉行“迎國慶促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)”，所有購物的顧客，以收銀臺(tái)機(jī)打發(fā)票為準(zhǔn)，尾數(shù)為偶數(shù)（尾數(shù)中的奇偶數(shù)隨機(jī)出現(xiàn)）的顧客，可以獲得三次抽獎(jiǎng)，三次抽獎(jiǎng)獲得獎(jiǎng)品的概率分別為12，13，(1)求顧客獲得兩個(gè)獎(jiǎng)品的概率；(2)若3位購物的顧客，沒有獲獎(jiǎng)的人數(shù)記為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【解答過程】（1）顧客獲得兩個(gè)獎(jiǎng)品的概率為：12（2）1個(gè)顧客沒有獲獎(jiǎng)的概率為12所以X～B3,58，則XPX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列為：X0123P27135225125所以EX19．（8分）（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）某校舉辦傳統(tǒng)文化知識(shí)競賽，從該校參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，競賽成績的頻率分布表如下：競賽成績50,6060,7070,8080,9090,100頻率0.080.240.360.200.12(1)估計(jì)該校學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)已知樣本中競賽成績?cè)?0,60的男生有2人，從樣本中競賽成績?cè)?0,60的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，記抽取的男生人數(shù)為X，求X的分布列及期望.【解題思路】（1）利用每組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以該組的概率，加總和即可得到平均數(shù)的估計(jì)值；（2）根據(jù)頻率分布表可求得樣本中競賽成績?cè)?0,60的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而確定X所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算求得期望值.【解答過程】（1）平均數(shù)為55×0.08+65×0.24+75×0.36+85×0.20+95×0.12=75.4.（2）由題意知：樣本中競賽成績?cè)?0,60的共有100×0.08=8人，其中有男生2人，則X所有可能的取值為0,1,2，∴PX=0=C63∴X的分布列為X012P5153∴數(shù)學(xué)期望EX20．（8分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān)．為了解高中生的數(shù)學(xué)閱讀現(xiàn)狀，調(diào)查者在某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問卷，在問卷中對(duì)于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下：時(shí)間（x小時(shí)/周）00<x≤0.50.5<x≤1x>1人數(shù)20403010(1)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，再從這10人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率；(2)用頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用PX=k表示這10名學(xué)生中恰有kk∈N,0≤k≤10名學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間在0,0.5小時(shí)的概率，求PX=k【解題思路】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可知10人有4人閱讀時(shí)間大于0.5，由組合即可求解概率；(2)將頻率視為概率則k~B10,25，利用二項(xiàng)分布概率公式及不等式法求P(X=k)【解答過程】（1）抽取的10人中，周閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的有4人，小于等于0.5小時(shí)的有6人，故恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率為C（2）周閱讀時(shí)間在0,0.5小時(shí)的頻率為25，故概率為2則k~B10,25由P(k)≥P(k+1)P(k)≥P(k?1)得：C10解得175≤k≤225，又21．（8分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）某小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在3,4（單位：kg）的概率是多少？②若抽取的5戶中購買量在3,6（單位：kg）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在3,6（單位：kg）的戶數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望；（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于0.5kg時(shí)，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k【解題思路】（1）事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在[3，4)”發(fā)生的概率為p=1①記事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在[3，4)”為A，利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率求解即可．②隨機(jī)變量ξ所有可能的取值為0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）每天對(duì)甲類物資的購買量平均值，求出從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為p=0.35，判斷X~B(10,0.35)，通過若k戶的可能性最大，列出不等式組，求解k即可．【解答過程】（1）由題意，事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在3,4”發(fā)生的概率為p=1①記事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在3,4”為A，則PA②隨機(jī)變量ξ所有可能的取值為0，1，2.則Pξ=0=C33ξ012