第五節(jié)　離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、方差

1．隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量：一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω，都有_____的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為_____________________的隨機(jī)變量，我們稱之為離散型隨機(jī)變量．(3)字母表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，例如

；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，例如

.唯一有限個或可以一一列舉X，Y，Zx，y，z2．分布列的概念與性質(zhì)(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝

，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布圖．(3)性質(zhì)：①pi

0，i＝1,2,3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___.pi≥14．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn5．離散型隨機(jī)變量的方差(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的_________，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差____，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差_____，隨機(jī)變量的取值越分散．6．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝

；(2)D(aX＋b)＝

．偏離程度越小越大aE(X)＋ba2D(X)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定．(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小．(3)求出分布列后，注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求分布列是否正確．1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機(jī)變量的是

(

)A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)解析：選項(xiàng)A、B表述的都是隨機(jī)事件，選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.答案：C2．(蘇教版選擇性必修第二冊P106·T2改編)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：則p的值為

(

)解析：由分布列性質(zhì)知：0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.答案：B6．(人教A版選擇性必修第三冊P70·T3改編)甲、乙兩名工人在一天的生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為甲的廢品數(shù)分布列乙的廢品數(shù)分布列X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________．解析：由E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，得E(Y)<E(X)，所以乙的技術(shù)好．答案：乙層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(diǎn)隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個號碼，任意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數(shù)為

(

)A．25 B．10C．7 D．6解析：X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案：C2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為若隨機(jī)變量Y＝X－2，則P(Y＝2)＝

(

)A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.答案：A

X01234P0.20.10.10.3m[一“點(diǎn)”就過]離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值．(2)利用“離散型隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)離散型隨機(jī)變量的分布列的求法[典例]一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；(2)現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)抽取，求抽取次數(shù)ξ的分布列．[方法技巧]離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義；(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率；(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列；(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確．

[針對訓(xùn)練]已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列．重難點(diǎn)(二)離散型隨機(jī)變量的均值與方差

考法1離散型隨機(jī)變量的均值與方差[例1]某班級以“評分”的方式鼓勵同學(xué)們以騎自行車或步行方式“綠色出行”，培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識．“十一黃金周”期間，組織學(xué)生去A，B兩地游玩，因目的地A地近，B地遠(yuǎn)，特制定方案如下：若甲同學(xué)去A地游玩，乙、丙同學(xué)去B地游玩，各位同學(xué)選擇出行方式相互獨(dú)立．(1)求恰有一名同學(xué)選擇“綠色出行”方式的概率；(2)求三名同學(xué)總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．[方法技巧]求離散型隨機(jī)變量均值與方差的關(guān)鍵及注意點(diǎn)(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用．

考法2利用均值、方差進(jìn)行決策[例2]

(2021·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列．(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？說明理由．[解]

(1)由題意，X的取值分別為0,20,100，則P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為(2)由(1)得，先回答A類問題的期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.設(shè)先回答B(yǎng)類問題累計(jì)得分為Y，Y的取值可能為0,80,100，則P(Y＝0)＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×0.2＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為則E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)镋(Y)＞E(X)，所以應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．X020100P0.20.320.48Y080100P0.40.120.48[方法技巧]利用均值、方差進(jìn)行決策的2個方略(1)當(dāng)均值不同時，兩個隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策．

[針對訓(xùn)練]1．某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．解：若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為重難點(diǎn)(三)超幾何分布

[典例]電影《長津湖》《我和我的父輩》《五個撲水的少年》在國慶期間集體上映．已知國慶過后某城市文化局統(tǒng)計(jì)得知大量市民至少觀看了一部國慶檔電影，在已觀影的市民中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中觀看了《長津湖》的有49人，觀看了《我和我的父輩》的有46人，觀看了《五個撲水的少年》的有34人，統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．(1)計(jì)算圖中a，b，c的值；(2)文化局從只觀看了兩部電影的觀眾中采用分層抽樣的方法抽取了7人進(jìn)行觀影體驗(yàn)的訪談，了解到他們均表示要觀看第三部電影，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)選出4人，用X表示這4人中將要觀看《長津湖》的人數(shù)，求X的分布列．[方法技巧]求超幾何分布的分布列的步驟[針對訓(xùn)練]已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．1.(創(chuàng)新考查方式)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示．則當(dāng)a逐漸增大時，E(ξ)－D(ξ) (

)A．一直增大

B．一直減小C．先增大后減小

D．以上均不正確3．(創(chuàng)新命題情境)澳大利亞曾發(fā)現(xiàn)一顆28.84克拉的鉆石原石，如圖(1)