非線性方程的數(shù)值求法牛頓迭代法和弦截法

用迭代法可逐步精確方程根的近似值，但必須要找到的等價方程,如果選得不適宜,不僅影響收斂速度,而且有可能造成迭代格式發(fā)散。能否找到一種迭代方法,既結(jié)構(gòu)簡單,收斂速度快,又不存在發(fā)散的問題。這就是本節(jié)要介紹的牛頓迭代法7.4.1牛頓迭代法的根本思想牛頓迭代法一種重要和常用的迭代法,它的根本思想是將非線性函數(shù)f(x)逐步線性化,從而將非線性方程f(x)=0近似地轉(zhuǎn)化為線性方程求解。7.4

牛頓迭代法

●算法推導

設(shè)存在的某一鄰域,使得非線性函數(shù)

取迭代初值,滿足1.建立從的迭代公式將在點一階Taylor展開：考慮是的單根由（因為）2.建立從的迭代公式將在點一階Taylor展開：依此類推，可得一般的迭代格式：上述迭代格式稱為求的解的牛頓迭代法?！駧缀我饬x在點處作的切線，切線方程為：求該切線與軸交點的橫坐標，正是的值，即●依次類推，在點處作的切線，切線方程為：求該切線與軸交點的橫坐標，正是的值，即∴牛頓迭代法又稱為切線求根法。

●牛頓迭代法的收斂條件與收斂速度〔針對單根而言〕定理設(shè)則由牛頓迭代法產(chǎn)生的迭代序列局部收斂于，且為平方收斂。證明：在牛頓迭代法的迭代格式中，迭代函數(shù)為：∵在的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，∴又牛頓迭代法局部收斂于又即有：牛頓迭代法具有二階〔平方〕收斂速度。注.定理要求充分接近(局部收斂)，充分的程度沒有具體的描述，而且若的值沒有取好，有可能得不到收斂的結(jié)果。以下定理，給出了滿足一定的條件時，要使得牛頓迭代法收斂，應(yīng)滿足什么條件。又牛頓迭代法局部收斂于又即有：牛頓迭代法具有二階〔平方〕收斂速度。注.定理要求充分接近(局部收斂)，充分的程度沒有具體的描述，而且若的值沒有取好，有可能得不到收斂的結(jié)果。以下定理，給出了滿足一定的條件時，要使得牛頓迭代法收斂，應(yīng)滿足什么條件。定理設(shè)在區(qū)間上的二階導數(shù)存在，且滿足：①（保證中至少存在一個根）②（保證牛頓迭代法能做下去及方程在上只有一個根）③保持符號不變。（保證在上是上凸或下凸的）④初始值（保證從出發(fā)的）則牛頓迭代法產(chǎn)生的迭代序列收斂于在區(qū)間的唯一根。yx0B=x0f′′(x)>0xn+1X*ayx0Bf′′(x)>0a=x0yx0B=x0f′′(x)<0ayx0Bf′′(x)<0a=x0yx10x0X*0x0X*x2不滿足迭代條件時，可能導致迭代值遠離根的情況而找不到根或死循環(huán)的情況7.4.4牛頓迭代法的算法實現(xiàn)例.

用Newton迭代法建立求的迭代公式.解：第一步，將原問題轉(zhuǎn)化為求某一非線性方程的根的問題方程1

有根號不方便計算方程2

其正根為關(guān)于方程2

的Newton迭代公式如下：利用上述保證條件，令取區(qū)間注意：當時，可以驗證，條件①②③成立取作初始值，則條件④成立那么有：例用簡單迭代法和牛頓迭代法求方程在附近的根，取解法一：用簡單迭代法對方程建立迭代格式：取，計算可得：（在第26步才達到要求）解法二：用牛頓迭代法對方程建立牛頓迭代格式：取，計算可得：〔在第三步就到達要求〕比較：后者(收斂階為2)比前者(收斂階為1)的收斂快。

重根的處理

設(shè)的重根（），即●

直接利用牛頓迭代法求解

迭代格式為：

收斂階為1.即直接用牛頓迭代法求解，效果并不理想.推導過程如下：顯然，即上述迭代格式確實可構(gòu)造求方程的根的迭代格式。迭代格式：又令(*)兩邊同時減去若收斂，即當時，∴對重根用牛頓迭代方法只是線性收斂。20精選ppt●用改進的牛頓迭代法來求解改進的牛頓迭代法I:其收斂階為2.〔推導過程：若收斂，即∴此種改進的牛頓迭代方法是平方收斂。改進的牛頓迭代法II:〔將重根情形化為單根情形〕迭代格式為：其中，其收斂速度為平方收斂.（令說明是的單根。用牛頓迭代法求的根求的重根）〔2〕改進的牛頓迭代法I:〔1〕牛頓迭代法:〔3〕改進的牛頓迭代法II:24精選pptkxk(1)(2)(3)0123x0x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.4166666671.4142156861.4142135621.51.4117647061.4142114381.41421356225精選pptNewton下山法

原理：若由xk

得到的xk+1不能使|f|減小，則在xk和xk+1之間找一個更好的點，使得。xkxk+1注：

=1時就是Newton迭代公式。當

=1代入效果不好時，將

減半計算。7.5弦截法牛頓迭代法雖然具有收斂速度快的優(yōu)點，但每迭代一次都要計算導數(shù),當比較復雜時,不僅每次計算帶來很多不便，而且還可能十分麻煩，如果用不計算導數(shù)的迭代方法，往往只有線性收斂的速度。本節(jié)介紹的弦截法便是一種不必進行導數(shù)運算的求根方法。弦截法在迭代過程中不僅用到前一步處的函數(shù)值，而且還使用處的函數(shù)值來構(gòu)造迭代函數(shù)，這樣做能提高迭代的收斂速度。7.5.1弦截法的根本思想為防止計算函數(shù)的導數(shù)，使用差商替代牛頓公式中的導數(shù),便得到迭代公式

稱為弦截迭代公式，相應(yīng)的迭代法稱為弦截法。7.5.2弦截法幾何意義弦截法也稱割線法,其幾何意義是用過曲線上兩點、的割線來代替曲線,用割線與x軸交點的橫座標作為方程的近似根再過P1點和點作割線求出,再過P2點和點作割線求出,余此類推，當收斂時可求出滿足精度要求的可以證明，弦截法具有超線性收斂，收斂的階約為1.618，它與前面介紹的一般迭代法一樣都是線性化方法，但也有區(qū)別。即一般迭代法在計算時只用到前一步的值，故稱之為單點迭代法；而弦截法在求時要用到前兩步的結(jié)果和，使用這種方法必須給出兩個初始近似根，這種方法稱為多點迭代法。

例12用弦截法求方程在初始值鄰近的一個根。要求解：取,,令利用弦截迭代公式計算結(jié)果，易見取近似根那么可滿足精度要求。7.5.3

弦截法算法實現(xiàn)

非線性方程的解通常叫做方程的根,也叫做函數(shù)的零點,本章討論了求解非線性方程近似根常用的一些數(shù)值方法。先