江西省撫州市2024屆高三下學期畢業(yè)班教學質量監(jiān)測數學試題（解析版）

撫州市2024年高中畢業(yè)班教學質量監(jiān)測卷數學說明：1.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.全卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試卷上作答，否則不給分.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為可得，由可得：或，解得：或因為或，所以.故選：C.2.已知復數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據共軛復數的定義可得，即可根據復數的加減運算得，由模長公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以故選：D3.已知命題：，：，則是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】【分析】根據題意，利用指數函數與對數函數的性質，分別求得的范圍，結合充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】因為：，可得，解得，又由，可得，所以是的必要不充分條件.故選：B.4.已知一個圓柱形容器的軸截面是邊長為3的正方形，往容器內注水后水面高度為2，若再往容器中放入一個半徑為1的實心鐵球，則此時水面的高度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據已知條件，容器中放入鐵球后，總體積為，由此列方程求解即可.【詳解】由已知可得圓柱的底面半徑為，往容器內注水后水面高度為2，此時放入一個半徑為1的實心鐵球，鐵球的直徑為，所以鐵球完全沒入水中，設此時水面的高度為，則，解得.故選：C5.已知定義在上的函數的圖象關于點中心對稱，且當時，，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據函數的圖象關于點1,0中心對稱得，求得，再利用對稱性得.【詳解】因為對任意的都有，且，所以，所以.故選：A6.已知函數（）在點處的切線為直線，若直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則實數（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】求得函數在點處的切線方程，得到切線與坐標軸交點坐標，由面積求得.【詳解】易知，，且，所以直線，它與兩坐標軸的交點坐標分別為和，可得，又a>0，解得.故選：C7.十進制計數法簡單易懂，方便人們進行計算.也可以用其他進制表示數，如十進制下，，用七進制表示68這個數就是125，個位數為5，那么用七進制表示十進制的，其個位數是（）A.1 B.2 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】由題意將題目轉化成除以7的余數問題，用二項式知識求解即可.【詳解】由題意知個位數應為除以的余數，因為，除以的余數為.故選：D.8.如圖，已知雙曲線：（，）的右焦點為，點是雙曲線的漸近線上的一點，點是雙曲線左支上的一點.若四邊形是一個平行四邊形，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據題意，得到，求得且，進而得到，進而求得點，代入雙曲線方程，化簡求得，結合，即可求解.【詳解】因為四邊形是一個平行四邊形，且，可得，即，由雙曲線，可得，漸近線方程為，即，可得，且，因為直線，可得，又因為，所以即，代入雙曲線方程，可得，整理得，所以，可得，即，所以離心率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若實數，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據指數函數的性質判斷A，根據對數函數的性質判斷B，利用特殊值判斷C，根據冪函數的性質判斷D.【詳解】因為在定義域上單調遞減且，所以，故A正確；因為在定義域上單調遞增且，所以，故B正確；當時，，故C不正確；因為在定義域上單調遞增且，所以，故D正確.故選：ABD10.在正三棱柱中，已知，點，分別為和的中點，點是棱上的一個動點，則下列說法中正確的有（）A.存在點，使得平面 B.直線與為異面直線C.存在點，使得 D.存在點，使得直線與平面的夾角為45°【答案】BCD【解析】【分析】作圖可知A錯誤；B正確；當點P與點A重合時，證明面可得C正確；當時，由線面角的定義和等腰直角三角形可得D正確.【詳解】A：如圖（1），因為與相交，所以與平面相交，故選項A錯誤；B：如圖（1），因為平面，平面，平面，所以直線與為異面直線，故選項B正確；C：如圖（2），當點P與點A重合時，因為，面，面，所以，又，且都在面內，所以面，又面，所以，故選項C正確；D：當時，此時為等腰直角三角形，因為面，所以為在面內的投影，所以為所求線面角，所以直線與平面所成的角為，故選項D正確.故選：BCD.11.已知函數，其中，，若直線是函數圖象的一條對稱軸，函數在區(qū)間上的值域為，則（）A. B.C.在區(qū)間上單調遞增 D.在區(qū)間上單調遞減【答案】AD【解析】【分析】利用正弦函數的對稱軸求出，即可判斷A選項；結合正弦函數的圖象進行分類討論即可判斷B選項；利用整體代入法結合正弦函數的單調區(qū)間即可判斷CD選項.【詳解】對于A，由直線是函數圖象的一條對稱軸，得到.又因為，得到，故A正確；對于B，因為，在區(qū)間上的值域為，所以或，且，因此.若，則，或.因為，得，此時，當時，，，不符合條件.若，則，或因為，得或或.當時，，當時，，，符合條件當時，，當時，，，不符合條件.當時，，當時，，，不符合條件.綜上，當時，，符合條件，故B錯誤;對于C，當時，，所以在區(qū)間上不是單調遞增，故C錯誤；對于D，當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線：與圓：交于，兩點，則______.【答案】【解析】【分析】首先確定圓心和半徑，應用點到直線距離公式求圓心到直線的距離，再由幾何法求弦長即可．【詳解】由圓，故圓心，半徑為，直線，故圓心到直線的距離為，．故答案為：．13.如圖是一個弓形（由弦與劣弧圍成）展臺的截面圖，是弧上一點，測得，，，則該展臺的截面面積是______.【答案】.【解析】【分析】設出弓形所在圓的半徑為，用扇形面積減去三角形面積即可.【詳解】如圖：設展臺所在的圓的圓心為，半徑為，，則，即，，所以展臺的面積為故答案為：.14.已知數列是有無窮項的等差數列，，公差，若滿足條件：①是數列的項；②對任意的正整數，都存在正整數，使得.則滿足這樣的數列的個數是______種.【答案】【解析】【分析】設是數列中的任意一項，則，均是數列中的項，由已知，設，則.因為，所以，即數列的每一項均是整數，所以數列的每一項均是自然數，且是正整數.由題意，設，則是數列中的項，所以是數列中的項.設，則，即.因為，故是的約數，進而分類討論求解即可.【詳解】設是數列中的任意一項，則，均是數列中的項，由已知，設，則由等差數列定義得.因為，所以，即數列的每一項均是整數，所以數列的每一項均是自然數，且是正整數.由題意，設，則是數列中的項，所以是數列中的項.設，則，即.因為，故是的約數.所以.當時，，得，故，共種可能；當時，，得，故，共種可能；當時，，得，故，共種可能；當時，，得，故，共2種可能；當時，，得，故，共2種可能；當時，，得，故，共1種可能；當時，，得，故，共1種可能；當時，，得，故，共1種可能.綜上，滿足題意的數列共有（種）.經檢驗，這些數列均符合題意.故答案為：.【點睛】首先根據等差數列概念和已知條件列得出的每一項均是自然數，且是正整數，再利用同樣思路，由是數列的項得出是的約數，進而分類討論得解.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數（，，），函數和它的導函數f'x的圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數與的圖象可得，，再通過圖象過點，得到（2）根據倍角公式對進行化簡即可求解.【小問1詳解】，由圖象可以得到：，因為圖象過點，，所以，所以，所以.【小問2詳解】由，得，，.16.已知四棱錐的底面是一個梯形，，，，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可證明；（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，作出軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】設的中點分別為，連接.因為，所以.因為，所以.在梯形中，，所以，，，因此，所以，又，平面，，所以平面.又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸，作出軸，建立空間直角坐標系，則.則，，設平面的法向量，，即，令，得到，，即.設平面的法向量，則，則，令，得到，，即..因為二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值是.17.已知函數（）.（1）當時，求函數的單調遞增區(qū)間；（2）若當時，函數取得極大值，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，，對求導，解不等式即可得出答案；（2）對求導，令，求出，分類討論，和，求出的單調性和最值即可得出的單調性，即可得出答案.小問1詳解】當時，，，由得，所以函數的單調遞增區(qū)間是；【小問2詳解】，，依題意，存在實數且，使得當時，，當時，.記，則（）.記.①當時，，，在區(qū)間上單調遞減，存在實數且，使得時，，即，單調遞減，因此當時，，當時，，函數在時取得極大值.②當時，，因此，即，在區(qū)間上單調遞增，當時，，不是函數的極大值點.③當時，，，函數在區(qū)間上單調遞增，當時，，即，函數單調遞增，即當時，，因此，不是函數的極大值點.綜上，實數的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵點在于能夠根據極值點的定義，確定函數在左右的單調性，所以對求導，令，求出，分類討論，和，求出的單調性和最值即可得出在左右的單調性，即可得出答案.18.某藥廠生產的一種藥品，聲稱對某疾病的有效率為80%.若該藥對患有該疾病的病人有效，病人服用該藥一個療程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性沒有治愈；若該藥對患有該疾病的病人無效，病人服用該藥一個療程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性沒有自愈.（1）若該藥廠聲稱的有效率是真實的，利用該藥治療3個患有該疾病的病人，記一個療程內康復的人數為，求隨機變量的分布列和期望；（2）一般地，當比較大時，離散型的二項分布可以近似地看成連續(xù)型的正態(tài)分布，若，則可以近似看成隨機變量，，其中，，對整數，（），.現為了檢驗此藥的有效率，任意抽取100個此種病患者進行藥物臨床試驗，如果一個療程內至少有人康復，則此藥通過檢驗.現要求：若此藥的實際有效率為，通過檢驗的概率不低于0.9772，求整數的最大值.（參考數據：若，則，，）【答案】（1）分布列見解析，數學期望為.（2）【解析】【分析】（1）因為，由二項分布的概率公式求出隨機變量的分布列，再由二項分布的均值公式求出；（2）康復的人數為隨機變量，則，可得出，由正態(tài)分布的對稱性結合原則求解即可.【小問1詳解】記“一個患有該疾病的病人服用該藥一個療程康復”為事件，則，因此，，，，則的分布列為：的數學期望.【小問2詳解】若該藥品的有效率為，由（1）得，一個療程內，使用該藥后的康復率也為，記康復的人數為隨機變量，則，設，設，所以整數的最大值為19.已知橢圓：（）的左焦點為，上頂點為，的兩頂點，是橢圓上的動點.當為橢圓的左頂點，為橢圓的下頂點時，，且的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）若的平分線經過點，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件和橢圓的性質解方程組可得；（2）設直線方程，由點在角平分線上結合到角公式（或斜率公式）可得；然后設設的方程為，直曲聯立，用韋達定理表示化簡得到和直線經過定點，再代入方程①得到；最后利用弦長公式