2023年廣東省深圳市高考數(shù)學(xué)二模試卷及答案解析

2023年廣東省深圳市高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.1知集合等={2,0},B={2,3}?則氫皿（4。8）=（）

A.{0}B.{2}C.{3}D.{0,3}

2.已知函數(shù)/⑴工藍裊1。冊（f（2））=（）

A.2B.-2C.1D.

3.設(shè)等差數(shù)列{加}的前n項和為無,若Si。=20,S20=10,貝1JS30=（）

A.0B.-10C.—30D.—40

4.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、匕和匕，貝4（）

A.V1<V2<V3B.彩<匕<匕C.V3<Vr<V2D,V3<V2<V1

5.已知△04B中，OC=CA，OD=2~DB，4。與BC相交于點M,OM=xOA+yOB,則有

序數(shù)對（x,y）=（）

A.（；,g）B.（1）1）C.（；,；）D.（；,；）

6.從1,2,3,4,5中隨機選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的

概率為（）

入A-3B-3一C-9DU--9

7.設(shè)橢圓C：^+，=l（a>b>0））的左、右焦點分別為&,F2,直線[過點6.若點F2關(guān)于I

的對稱點P恰好在橢圓C上，且用?片瓦=12,貝l]C的離心率為（）

A.iB.|C.iD.|

8.已知￡>0,x,ye（一；,方，且eX+￡siny=eysinx,則下列關(guān)系式恒成立的為（）

A.cosx<cosyB.cosx>cosyC.sinx<sinyD.sinx>siny

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：

假設(shè)經(jīng)驗回歸方程為y=bx+0.28,則()

A.b=0.24

B.當(dāng)x=8時，y的預(yù)測值為2.2

C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8

D.去掉樣本點(3,1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變

10.已知/(x)是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)的圖象是函數(shù)y=sin(o)x+0)?>

0,0<9<兀)圖象的一部分(如圖所示)，貝4()

q..M/X

A./(x)的定義域為［-耳兀］

B.當(dāng).建時,/(%)取得最大值

C.當(dāng)％<0時，/⑶的單調(diào)遞增區(qū)間為［一季一芻

D.當(dāng)x<0時，f(x)有且只有兩個零點一招和一旁

11.如圖，在矩形4EFC中，4E=2C，EF=4,B為EF中點，現(xiàn)分另U沿48、BC將A48E、

△BCF翻折，使點E、F重合，記為點P,翻折后得到三棱錐P-ABC,貝女)

A.三棱錐P-ABC的體積為率

B.直線P4與直線8c所成角的余弦值為華

6

C.直線P4與平面PBC所成角的正弦值為3

D.三棱錐P-ABC外接球的半徑為坦

12.設(shè)拋物線C：丫=/的焦點為凡過拋物線C上不同的兩點4B分別作C的切線，兩條切

線的交點為P,4B的中點為Q,則()

A.PQ1x軸B.PF1AB

C.Z-PFA=乙PFBD.\AF\+\BF\=2\PF\

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0,則zi=.

14.若X-N(9,22),則P(7<X<13)=(精確到0.01).

參考數(shù)據(jù):若X?則(.一川<0),0.683,P(|X-閨<2o)=0.955.

15.已知函數(shù)f(無)的定義域為R,若〃>+1)-2為奇函數(shù)，且/(I-x)=/(3+x),則

/(2023)=.

16.足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標(biāo)準足球場的B底B

線寬48=72碼，球門寬EF=8碼，球門位于底線的正中位置.在

比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P,使得

4EPF最大，這時候點P就是最佳射門位置,當(dāng)攻方球員甲位于邊

線上的點。處(。4=AB,OA1ZB)時，根據(jù)場上形勢判斷，有萬5、A

而兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路函，則甲帶球碼時，4P。到達最佳射門位置;

若選擇線路而，則甲帶球碼時，到達最佳射門位置.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角4,B,C的對邊，且sin(A-B)=2sinC.

(1)證明：a2=b2+2c2；

(2)若4=等a=3,~BC=3BM>求AM的長度.

18.(本小題12.0分)

飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕

人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進

行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表：

飛盤運動

性別合計

不愛好愛好

男61622

女42428

合計104050

(1)在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨

機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)依據(jù)小概率值a=0.0的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表

中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標(biāo)準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動

與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因.

2

附：y2=Mad-bc)其中九=a+b+c+d.

”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

2.7066.63510.828

19.(本小題12.0分)

在三棱柱ABC-AiBiG中，AB=BC=2,Z.ABC=y,1ArB.

(1)證明：A1A=A1C；

(2)若44=2,BCr=V^4,求平面41cBi與平面BCQBi夾角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

2n-1

已知數(shù)列｛an｝滿足，%=3,anan+1=9x2,nE.N*.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)證明：數(shù)列｛即｝中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線：x2—y2=1,點時為雙曲線c右支上一點，4、B為雙曲線C的左、右頂點，直

線4M與y軸交于點。，點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.

(1)若點”(2,「)，Q(2,0),過點Q作BM的垂線，交該雙曲線C于S,7兩點，求△0S7的面積;

(2)若點M不與B重合，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①而=屁；@BM1EQ-,③|0Q|=2.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/。)=

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m>0時，函數(shù)g(x)=/(x)-警匕+x恰有兩個零點.

(i)求租的取值范圍；

(")證明:g(%)>mm—7n""m-

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={2,0},B={2,3},

A\JB={0,2,3},AC\B={2},

則以UB(4nB)={0,3}.

故選：D.

利用并集、交集、補集定義直接求解.

本題考查集合的運算，考查并集、交集、補集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：/(2)=log32<1,1?./(/(2))=3sg32=2.

故選：A.

f(/(2))是從里面開始算，按照分段函數(shù)的條件代入求值即可.

本題考查分段函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列{%>}為等差數(shù)列，則Si。，Szo-Sio,S30-S20成等差數(shù)列，

則有S10+?30-s2o)=2(S20-Sio),即20+(S30-10)=2(10-20),

解可得：S3o=-30.

故選：C.

根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得Si。，S2O-Sio,S30-S20成等差數(shù)列，由此分析可得答案.

本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：設(shè)正方體棱長為a,正四面體棱長為b,球的半徑為R,面積為S,

正方體表面積為S=6a2,所以a2=g,

O

c3

所以，斤=(a3)2=(a2)3=—;

如圖，正四面體P—4BC,。為4c的中點，。為的中心,

則P0是P-ABC底面ABC上的高，］）\WDLAC,AD=^b,

所以BD=VAB2-AD2=-b>所以S“BCACxBDbx^-b=^-b2，

2△?1以2224

所以正四面體P—ABC的表面積為S=4S?ABC=y/~3b2>所以爐=?S，

又。為△ABC的中心，所以80=|8。=?。，

又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知IPO_LB。，所以P0=7PB2-BO?=?夕，

所以修=。xS“BCxPOY=?x?川x?b）2=#6=4*（守廣=焉S3；

球的表面積為S=4TTR2,所以R2=；,

4TT

所以匕2=（加3）2=春3,

因為*S3>擊S3>短S3>儡S3=焉S3,

所以號>冷>乃，所以/<匕<匕.

故選：B.

設(shè)正方體棱長為a,正四面體棱長為b,球的半徑為R,面積為S,表示出3個幾何體的表面積，得

出a,b,R,進而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.

本題考查了正方體，正四面體和球的表面積與體積的計算，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：如圖，?.?靈=不，而=2而，.??沆次，礪=5萬，

vC,M,B三點共線，

???設(shè)瓦7=4元+(1-冷而=百引+南，且4M,。三點共線，

..《+號2=1,解得"提

■■'OM=^OC+=^OA+-0B,且麗=萬云+y成，

???x=W，y=5，(%，y)=q，2)?

故選：D.

可畫出圖形,根據(jù)條件可得出旅=^OAfOB=|0D,由C,M,B三點共線可得出面=XOC+(1-

A)OB.從而可得出兩=?就+耳⑻而，進而得出々+丐少=1,然后解出4即可得出x,y的

值.

本題考查了向量數(shù)乘的幾何意義，三點共線的充要條件，平面向量基本定理，考查了計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意,從1,2,3,4,5中隨機選取三個不同的數(shù)，取法有(123)、(124)、(125)、

(134)、(135)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345),共10種取法;

其中三個數(shù)的積為偶數(shù)的有9種，分別為(123)、(124)、(125)、(134)、(145)、(234)、(235)、(245)、

(345),

三個數(shù)的和大于8的有5種，分別為(145)、(234)、(235)、(245)、(345),

若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率P

故選：D.

根據(jù)題意，由列舉法分析“從1,2,3,4,5中隨機選取三個不同的數(shù)”的取法，進而可得其中

“三個數(shù)的積為偶數(shù)”和“三個數(shù)的和大于8”的取法數(shù)目，由條件概率公式計算可得答案.

本題考查條件概率的計算，注意列舉法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解:由題意可得IP&I==2c./.\PF2\=2a-2c,

C0S^PF2=3,(學(xué)￡-2C)2=弋「2,

?.?肝.碇=%，,.2CX2CX"E="2,

乙8c4L

A4c2+8ac—4a2=a2,???5a2—Sac—4c2=0,

A(5a+2c)(a—2c)=0,:.a=2c,

c1

-e=-a=2

故選；c.

由題意可得|Pa|=I&F2I=2c..-.\PF2\=2a-2c,求得8$/居「尸2，進而由已知可得2cx2cx

4^8ac-4^可求離心率.

C=l2)

8cz2

本題考查橢圓的離心率，考查運算求解能力，屬中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=鬻，則/'(%)=c°s,s欣,

當(dāng)時,cosx>sinx,f'(x)=cosx~^inx>Q,

因為0<蜻，o<ey,

當(dāng)嘴=平，］>1,0<sinx<siny時，則咚>平>0,所以q>x>y>0,

ex+€eyexey4

y=cosx,%￡(0*)單調(diào)遞增，所以cos%Vcosy,

當(dāng)黑=鬻<0,°￡>1,s譏xvs譏yVO時，則誓〈誓<0,所以一臺xVyVO,

y=cosx,x6(—程,0)單調(diào)遞減，所以cos%<cosy.

當(dāng)^^=罷工eE>1,5沆％=5譏、=0時，則x=y=0,

此時cos%=cosy,

綜上，cosx<cosy.

故選：A.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=譽，XG(-J4),求導(dǎo)研究其單調(diào)性，分類討論得到正確選項.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

-1+2+3+4+5。-0.5+0.8+1+1.2+1.5?

【解析】解:x=---------=3,y=---------------=1,

.?.樣本點的中心坐標(biāo)為(3,1),代入y=bx+0.28,得8=上等=0.24,故A正確;

經(jīng)驗回歸方程為y=0.24%+0.28，取x=8,得y=0.24x8+0.28=2.2，故8正確;

樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為空=0.9,故C錯誤；

由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點(3,1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變，故。正確.

故選：ABD.

由已知求出樣本點的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程，求出匕的值判斷4求出x=8時y的預(yù)測值

判斷B：由百分位數(shù)的定義判斷C；由相關(guān)系數(shù)公式判斷D.

本題考查線性回歸方程，考查相關(guān)系數(shù)與百分位數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：由圖得/(0)=sincp=i,且位于增區(qū)間上,

所以0=2而+看，kEZ,又因為0<9<兀，所以k=0,0=3,

，卷)=5暗+》=-13=2+3k,k.6Z

所以324，即n//9,所以3=2,

0<Ci)<T

1434

所以/'(x)=sin(2x+-由圖可知，原點右側(cè)的第二個零點為與+￡=與+*=*

所以/(x)的定義域為［-巖,若］,故A錯誤;

當(dāng)xe[0,巖]時，/(%)=sin(2x+J),

因為黑)=sin/1為最大值，則當(dāng)x建時，/(x)取得最大值，故B正確;

當(dāng)方>0時，令5+2/OTW2%+/W+2/CTT,k€Z,貝%+卜兀WxW~"■I-2/CTT,k€Z,

又因為X6[0,巖],

所以當(dāng)x>0時，的減區(qū)間為生爭，

因為函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，

所以當(dāng)x<0時，/⑶的單調(diào)遞增區(qū)間為[一拳一胃，故C正確；

當(dāng)xe[0,若]時，2x+^eg,27r],

L1ZOD

令/'(X)=sin(2x+S)=°-

得2久+看=?；?兀，則x=,或答，

因為函數(shù)/'(x)為偶函數(shù)，

所以當(dāng)x<0時，f(x)有且只有兩個零點-瑞和-巖，故。正確.

故選：BCD.

先利用待定系數(shù)法求出8,3,再根據(jù)原點右側(cè)的第二個零點為與+3即可判斷4

求出//)的值即可判斷B；

求出當(dāng)x>0時的減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷C；

求出當(dāng)%>0時的零點，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷D.

本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：由題意可得BPJ.4P,BP1CP,

又APCCP=P,AP,CPU平面P4C,

所以8P1平面PAC,

在4P4C中，PA=PC=2，？,4c邊上的高為J（2，？/一22=2<2>

所以/-48C=^B-PAC=|X|X4x2V_2X2=等］，故A錯誤；

對于B'在中，8sHe=2：若以％="，

BC=712+4=4,

m方,PABCPA（PC-PB）PAPC-PAPB

c°s（P4，BC）==27^4=萬口

2Cx2c

=------==yT3?

8c6

所以直線P4與直線BC所成角的余弦值為?，故2正確；

6

對于C,SXPBC=3PB-PC=2C，

設(shè)點a到平面PBC的距離為d,

由LB-PAC=匕-PBC，得gx2V_3d=解得d=

所以直線P4與平面PBC所成角的正弦值為且=受=空工，故C錯誤；

PA2口3

由B選項知，COSAAPC=1,則sin44PC=2p,

所以△P4C的外接圓的半徑r=1--%=*，

設(shè)三棱錐P-4BC外接球的半徑為R,

又因為BPJL平面P4C,

則肥=*+（1PS）2=?+1=爭所以R=早，

即三棱錐P-4BC外接球的半徑為M，故。正確.

故選：BD.

證明BP1平面P4C,再根據(jù)8c=%-PAC即可判斷4先利用余弦定理求出cos/4PC,將配用

無，而表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點4到平面PBC的距離d,再根據(jù)直

線P4與平面PBC所成角的正弦值為葛即可判斷C；利用正弦定理求出△「人（?的外接圓的半徑，再

利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】AC

【解析】解：對于4選項:設(shè)4（Xi，%）,B（X2，y2），P（Xo，yo）,Q（包/，然②），

y=x2,yr=2%,

過點A切線為：y-％=2%i（%-=1）①,

過點B切線為：y-丫2=2%2（%-％2）②，

①-@Wyi-y2=2x1x-2X2X,又％=好，y2=x1,

=

化簡可得淄-%22%（%1-%2）,

v_4+了2

g-2

PQlx軸，4選項正確;

設(shè)做O,O),BQ1),F(O,；),

過4點的切線為y=0,過B點的切線為y-l=2(x-l),交點為P(g,O),

AB的中點為(?(另)，所以kpF=—g也8=1，加也8*-1戶不垂直犯B選項錯誤；

\AF\+\BF\=J02+@)2+J/+令=1,2|PF|=2J?￥+&)2=所以|4尸|+\BF\豐

2\PF\,。選項錯誤；

作拋物線準線的垂線44',BB',連接4'P,B'P,PF,AF,BF,

，，

F(0)1)M(x1,-1),/cp4=ylx=x1.

則k%，=-jkpA=

顯然卜以，,kpA=-1，所以兄4'_L24,

又因為由拋物線定義，得|"'|=\AF\,故知24是線段F4的中垂線，得到|PA|=\PF\,則NPA'A=

/.PFA,

同理可證：\PB'\=\PF\,乙PB'B=LPFB,

所以|P4[=\PB'\=\PF\,即NPA?=Z.PB'A',

所以4PA'A=4P4B'+90。=NPB'A'+90。=NPB'B,即NP凡4=NPFB,C選項正確;

故選：AC.

設(shè)切線求交點根據(jù)兩根之和判斷4選項；特殊值法判斷B,C選項；根據(jù)定義數(shù)形結(jié)合判斷。選項.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：設(shè)2=。+6，(a,beR)f

???(a+bi)2+a+bi+1=0,

???a?+Q+1—+(2ab+b)i=0,

.(a2+Q+1-/?2=0

[2ab4-6=0

.卜=T

???Z?Z=Q2+/=1,

故答案為：1.

利用復(fù)數(shù)的運算，即可解出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】0.82

【解析】解：由已知得〃=9,(7=2,

所以P(7<X<13)=P(|x-M|<a)+|[P(|X—川<2c)-P(|X—?<a)]

?0.683+|(0.955-0.683)

=0.819?0.82.

故答案為：0.82.

由題意求出〃，c的值，然后問題即轉(zhuǎn)化為求P(|x—〃|<b)+g[P(|X-閨<2(r)-P(|X—〃|<。)]

的值的問題.

本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)和概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【解析】解：由于/"Q+1)—2為奇函數(shù)，

則/(x+1)-2=-[f(-x+1)-2],B|J/(x+1)4-f(l-x)=4,

所以函數(shù)/(%)關(guān)于點(1,2)對稱，則"1)=2,

X/(l-x)=f(3+%),

則f(x+1)+f(x+3)=4,

則f(%)+f(x+2)=4,則f(x+2)+f(x4-4)=4,

所以/'(X)=f(x+4),則函數(shù)f(x)的周期為4,

所以/(2023)=/(505X4+3)=/(3)=/(I)=2.

故答案為：2.

根據(jù)題意可得/(I)=2,且函數(shù)/(乃的周期為4,由此可求得『(2023)的值.

本題考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.[答案]72<1-16門72V-2-16V-5

【解析】解：若選擇線路函，設(shè)AP=t,其中0<tS72,AE=32,4F=32+8=40,

AE32A.?AF40

則tan乙4PE=—=—,tan乙4PnF=—=—?,

<nrI/\rC

所以，tan4EPF=tan(z/lPF-ZJ1PE)

40_328

tan乙AP/7—tan乙APE8-8_C

-.1280-

14-tanz.y4PFtanzJlPE一1+詈一]+

當(dāng)且僅當(dāng)亡=7時，即當(dāng)t=16H時，等號成立，此時0P=04-4P=72-16門,

所以，若選擇線路就，則甲帶球72-16仁碼時，4P0到達最佳射門位置；

若選擇線路南，以線段EF的中點N為坐標(biāo)原點，

BA，布的方向分別為％、y軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(—36,0)、0(36,72)、尸(一4,0)、E(4,0),%=靠急=1,

直線OB的方程為y=x+36,設(shè)點P(x,x+36),其中一36cxW36,

tanZ-AFP=k=—tanZ-AEP-k——

PFx+4x-4PF

tanz.AEP-tanz.AFP

所以，tan4EPF=tan(Z.AEP—/.AFP)=

1+tanZ.AEPtan乙4FP

x+36x+368Q+36)

x—4x+4避―168

X+36X+36=-后鏟=/??以一16

1+x-4x+4(計36)+^^

令m=%+366(0,72],則％=m—36,

而I'JIoz-?N-16(m—36)—161280I1280

加以％+36H——-rr=m+---------=o2mH------72>2o2om------72=32V1n0-72,

x+36mm7m

當(dāng)且僅當(dāng)2m=噤時，即當(dāng)m=8E，即當(dāng)％=8中一36時，等號成立，

88]

所以，tan/EPF=i28o_432E-72=4E-9，

2m+m72

當(dāng)且僅當(dāng)x=8CU—36時，等號成立，

此時，|0P|=C|36-(8Q^-36)|=72門―16VT,

所以，若選擇線路而，則甲帶球724-16/虧碼時，到達最佳射門位置，

故答案為：72-16V■飛；72，至一16n.

利用兩角差的正切公式展開，再利用基本不等式即可求最值.

本題考查兩角和差的正切公式，考查基本不等式，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：在AABC中，sinC=sin(A+B),

vsin(X—B)=2sinC,即sin(A—B)=2sin(A+B),

sinAcosB-cosAsinB=2sinAcosB+2cosAsinB,即sinAcosB+3cosAsinB=0.

由正弦定理和余弦定理得展也它-必+3b讓*=0,

2ac2bc

??.a2=b2+2c2；

(2)由(1)得/=/+2C2,

":A=爭Q=3,

???在△ABC中，由余弦定理得M=人2+,2+兒=9,解得b=c=V~?,

?、B=C屋,

???就=3麗，BM=

在AABM中，由余弦定理得AM2=C2+G)2—2C(.COSB=1,

故AM=1.

【解析】(1)利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得sin(A-B)=2sin(4+B),可得sin4cosB+

3cosAsinB=0,利用正弦定理和余弦定理，即可證明結(jié)論；

(2)由(1)得Q2=/+2。2,由余弦定理得Q2=匕2++兒=9,可得b=c=4?,結(jié)合題意,

利用余弦定理，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為4：6,

按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人，

隨機變量X的取值為：0,1,2,3,

P(x=o)=旨4,

P(X=1)=警J

C10乙

。"=2)=甯得

P(X=3)噫=焉，

隨機變量X的分布列為:

X0123

1131

P

62To30

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X：+1X；+2X4+3XU=?

(2)零假設(shè)為飛：愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián).

2

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到/=當(dāng)鬻巖祟。1.299<6,635=%001-

1UX4UXZZXZO

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷Ho不成立，因此可以認為為成立，即認

為愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián);

列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍后,

_500x(60x240-40x160)2

2?12.99>6.635=%?

一100x400x220x280~~001

根據(jù)小概率值a=0.011的獨立性檢驗，推斷也成立，即認為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián);

所以結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致

推斷結(jié)論發(fā)生了變化.

【解析】(1)分別寫出對相應(yīng)概率列分布列求數(shù)學(xué)期望即可；

(2)先求公再根據(jù)數(shù)表對應(yīng)判斷相關(guān)性即可，對比兩次12的值可以得出結(jié)論說明原因.

本題考查了獨立性檢驗和離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：取4C的中點。，連接。&,0B,

因為48=BC,所以O(shè)B1AC,

因為&C1J.A1B,A\C\〃AC,

所以AC12$,

又0BCl4iB=B,OB、4185面48。，

所以4c，平面占80,

因為①。u平面4/0,所以AC14。，

因為。為AC的中點，所以4遇=&C

(2)解：因為AB=BC=2,UBC=亨，所以4c=&G=2-1，

又AiGl&B,BCr=＜14,所以48=714-12=

而。&=。8=1,所以。朗+OB2=4$2,即04i_L08,

所以。&,OB,0C兩兩垂直，

故以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則41(0,0,1),8式1,口1),(?(0,口0),5(1,0,0),

所以不瓦=(1,，3,0)，西=(1,0,1)，西=(0,，3,1)，

設(shè)平面41cBi的法向量為訪=(x,y,z),則歸位廣。，即卜+，^=°,

(m-Cfij=0(x+z=0

令y=l,則無=一一，z=V-3＞所以沆=(一Cl,q)，

同理可得，平面BCC$i的法向量亢=

設(shè)平面4cBi與平面BCGa夾角為仇貝ijcos。=￡〈方，元＞?=群孺=與裳浮=今

故平面4cBi與平面8CC1當(dāng)夾角的余弦值為提

【解析】(1)取AC的中點。，連接。4,0B,易知OBJ.AC,AClA^B,從而得AC1平面&B。,

有AC_LArO,進而得證；

(2)可證。&,OB,0c兩兩垂直，故以。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面&CB1和

平面BCG/的法向量聲與元，設(shè)平面4CB1與平面BCGB1夾角為0,由cos。=l^s＜沅，記＞1，

得解.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，利用空間向量求二面

角的方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由即即+1=9x22時1,得斯+1與+2=9x22n+1,

以上兩式相比，得竽=4,

un

由=9x21，%=3,得a2=6,

2?l2

???數(shù)列｛a2n.i｝是首項為3公比為4的等比數(shù)列，a2n_1=3x2-,

數(shù)列｛。2“｝是首項為6,公比為4的等比數(shù)列，。2"=6x224-2,

綜上，數(shù)列｛即｝的通項公式為an=3x2n-i.

（2）證明：假設(shè)數(shù)列｛斯｝中存在三項a優(yōu)，ak,ap（m</c<p）能構(gòu)成等差數(shù)列，

則2以=am+an,

由（1）得2x3x2-1=3x2"*-1+3x2P-1,

即2k=2m-1+2P-i,

兩邊同時除以26-1,得中-m+l=1+2P-m（*）,

???（*）式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，.?.（*）式不成立，即假設(shè)不成立，

??.數(shù)列｛斯｝中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

【解析】（1）由即斯+1=9x2271-1,得手=4,分奇偶項分別求通項，最后寫出通項公式；

un

（2）假設(shè)數(shù)列｛an｝中存在三項。小，ak,而（巾<k<p）能構(gòu)成等差數(shù)列，應(yīng)用反證法得出矛盾，能

證明數(shù)列｛廝｝中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

本題考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)、反證法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是中檔題.

21.【答案】解：（1）由已知雙曲線方程：2-y2=1,可得左右頂點題一IQ）,BQ,。），

因為點M（2,，弓），直線的斜率為AMB==C，

所以直線BM的垂線1的方程為y-0=-*（x-2）,

整理可得，%=—l^y+2，

設(shè)點S（%1，%）,7（%2，、2），

聯(lián)立直線I與雙曲線的方程卜「一◎+2可得，2y2一4Cy+3=0，

-yz=1

(yi+y2=2，^

則/=(-4C)2-4x2x3=24,且3，

[yiVz=2

所以，\ST\=J1+(-q)2J51+丫2)2-4yly2=2J(2^^)2-4x|=2n.

原點0到直線[的距離為d=1,

所以，△0S7的面積為：x|S7|xd=：x2Cx1=C.

(2)

證明：①②為條件，③為結(jié)論.

設(shè)。（0,切）,M（x0,y0Xx0>1）>且詔-%=1,

因為4D,M三點共線，所以居=y。，

X。十1

又打=赤，所以點E的坐標(biāo)為E（0,名外，

所以直線BM的斜率為跖”=懸p

又BM'EQ,所以憶=-表=守,

設(shè)點Q（XQ,0），

2yo

因為直線EQ的斜率kg=上殛=業(yè)，

X

Qy0-Q

所以丫_2%_遺_2

所以XQ一哥三一赭一2,

所以|0Q|=2；

①③為條件，②為結(jié)論.

設(shè)。（。，兒）），M（xo，yo）（x（）>1）,且詔一據(jù)=1,

因為4D,M三點共線，所以會7=%>,

工0十工

又玩^=所以點E的坐標(biāo)為E（0,京勺）,

又|0Q|=2,點Q在％軸正半軸上，所以Q（2,0）,

2yo

所以除°=業(yè)=上殛,

EQ-2y0

（）

又y

kpM和一1’

2

y。y。_光—

所以k8乂,kEQ=

X0-lXo+1X§-1

所以，BM1EQ；

②③為條件，①為結(jié)論.

設(shè)。（0,即）,M（x（）,yo）Qo>1）,且好-光=1.不妨設(shè)y（）>0,

因為4,D,M三點共線，

。

y>0,且比=

所以y。=2

X()+l(勺+1)2-(%0+1)-3+1'

因為|OQ|=2,點Q在％軸正半軸上，所以Q（2,0）,

因為8MJ.EQ,所以冊<?=一表=詈，

又=生」

kEQ-0-2，

所以，曠￡=空戶>0,且窕=如笆=越印=空譽，所以，％=2九），即而=灰.

【解析】（1）先根據(jù)已知，得出，的方程，然后聯(lián)立I與雙曲線的方程，根據(jù)韋達定理得出坐標(biāo)的關(guān)

系，表示出弦長，最后根據(jù)面積公式，即可得出答案；

（2）①②為條件，③為結(jié)論：易得癮=%>?又說=",E（0,煞），然后根據(jù)直線8M的斜率可

2—0

得出品<?=一白；=手，設(shè)點QQQ,O）,則底=上包=也1,即可得出Q坐標(biāo)；

K

8M丁0EQy0—XQ

①③為條件,②為結(jié)論：易得京Y=加上（0,煞），又（?（2,0）,即可得出/CEQ，心M，求解上豌?kBM,

整理即可得出證明；

②③為條件，①為結(jié)論：易得知=用>0,平方整理可得尤=然.根據(jù)BM1EQ,得kEQ=

人0IA40IJL

一表=看,進而根據(jù)MQ=熹，即可求出好=隼9>0,平方整理，即可得出證明.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)以及直線與雙曲線的綜合，屬于中檔題.

22.【答案】解：⑴因為/(x)=e^T—X,

所以「⑶=mem”-1,

當(dāng)m<0時，/'(x)=memxT—1<0,

所以fQ)在R上單調(diào)遞減，

當(dāng)m>0時,設(shè)F(x)=memx~1—1,F'(x)—m2etnx~1>0,

所以/'(x)在R上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％e(-8,三警)，f(X)<0,

當(dāng)Xe+8),f'(x)>0,

所以/(x)在(-8,審當(dāng)上單調(diào)遞減，在(耳吆,+8)上單調(diào)遞增.

⑵①g(x)=emi-甯⑺>0),

1_m2xemx-1-l

g'(x)=me7nxt------------------------,

mxmx

設(shè)h(%)=m2xernx_1—1,則九'(%)=m2(mx+l)e7nx4

因為“(%)>0,

所以九(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

由(1)知當(dāng)爪=1