人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第二冊)同步培優(yōu)講義專題8.9 空間直線、平面的平行（重難點題型精講）（原卷版）

專題8.9空間直線、平面的平行（重難點題型精講）1．直線與直線平行(1)基本事實4

①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.

②符號語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.

③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.(2)空間等角定理

①自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

②符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=SKIPIF1<0.2．直線與平面平行(1)判定定理①自然語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②圖形語言③符號語言SKIPIF1<0.該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.(2)性質(zhì)定理①自然語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.②圖形語言③符號語言SKIPIF1<0.該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.(3)性質(zhì)定理的作用①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.3．平面與平面平行(1)判定定理①自然語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語售SKIPIF1<0.該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.(2)判定定理的推論①自然語言如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語言SKIPIF1<0.(3)性質(zhì)定理①自然語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.②圖形語言③符號語言SKIPIF1<0.該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.(4)兩個平面平行的其他性質(zhì)①兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面.

②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.

③經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應(yīng)成比例.

⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.4．平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用(1)證明線線平行的常用方法

①利用線線平行的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線.

②利用基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.

④利用平行線分線段成比例定理.

⑤利用線面平行的性質(zhì)定理.

⑥利用面面平行的性質(zhì)定理.

⑦利用反證法：假設(shè)兩條直線不平行，然后推出矛盾，進而得出兩條直線是平行的.(2)證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點.

②利用直線與平面平行的判定定理：aSKIPIF1<0SKIPIF1<0，a∥b，bSKIPIF1<0SKIPIF1<0，則a∥SKIPIF1<0.使用定理時，一定要說明“平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥SKIPIF1<0，則必須在平面SKIPIF1<0內(nèi)找一條直線b，使得a∥b，從而達到證明的目的，這三個條件缺一不可.

③利用面面平行的性質(zhì)：若平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，直線aSKIPIF1<0SKIPIF1<0，則a∥SKIPIF1<0.

④利用反證法.這時“平行”的否定有“在平面內(nèi)”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內(nèi)”和“直線與平面相交”這兩種位置關(guān)系后才能得到“直線與平面平行”的結(jié)論，在這一點上往往容易出錯，應(yīng)引起重視.(3)平面與平面平行的判定方法

①根據(jù)定義：證明兩個平面沒有公共點，但有時直接證明非常困難.

②根據(jù)判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，則這兩個平面平行.

③根據(jù)判定定理的推論：在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)兩條相交的直線平行，則這兩個平面平行.

④根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面平行.

⑤利用反證法.(4)平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，如圖所示.【題型1證明線線平行】【方法點撥】掌握線線平行的判定方法，結(jié)合題目條件，進行求解，即可證明線線平行.【例1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥A．OB∥O1C．OB與O1B1不平行 D．OB【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行【變式1-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【變式1-3】（2022春·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，E,F,G,H,I,J分別為線段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中點，則下列說法正確的是A．PH||BG B．IE||CP【題型2直線與平面平行的判定】【方法點撥】使用直線與平面平行的判定定理時，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，具體操作中，我們可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行.【例2】（2023·高一課時練習(xí)）已知A、B、C、D是不共面四點，M、N分別是△ACD、△BCD的重心．以下平面中與直線MN平行的是（

）①平面ABC；

②平面ABD；

③平面ACD；

④平面BCD．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【變式2-1】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二期中）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】（2022秋·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1A．B1C//平面A1C．BM//平面ACD1 D．【變式2-3】（2022秋·四川·高二階段練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．AD1 B．AA1【題型3平面與平面平行的判定】【方法點撥】第一步：在一個平面內(nèi)找出兩條相交直線；第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面；第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論.【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個正方體中，A、B、C為所在棱的中點，則能得出平面ABC//平面DEF的是（

A． B．C． D．【變式3-1】（2022秋·北京海淀·高二期中）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1【變式3-2】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，M，N分別為棱AB，A．直線AD//平面MNE B．直線FCC．平面A1BC//平面MNE D．平面【變式3-3】（2022春·湖北·高二階段練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【題型4線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】【方法點撥】應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時，關(guān)鍵是過已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行.還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)任意一條直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)，所有與交線平行的直線都與已知直線平行，所有與交線相交的直線都與已知直線異面.【例4】（2022春·浙江·高一期中）下列命題中正確的是（

）A．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行B．平面α內(nèi)有不共線的三個點A，B，C到平面β的距離相等，則α∥βC．b∥α，α∥β，則b∥βD．a(chǎn)∥α，a∥b，b?α，則b∥α【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長均為1，M，N分別是棱BC，A1B1上的點，且A．34 B．23 C．1【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線a//平面α，A?α，且直線a與點A位于α的兩側(cè)，B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點E，F(xiàn)，若BC=4，CF=5，AF=3，則EF的長為（

A．3 B．32 C．34【變式4-3】（2022春·江西南昌·高二階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，點D，E分別為棱PB、BC的中點，點G為CD、PE的交點，若點F在線段AC上，且滿足AD//平面PEF，則AFFC的值為（A．1 B．2 C．12 D．【題型5面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】【方法點撥】應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理時，找出一個平面中的一條直線，則該直線與另一個平面平行，據(jù)此可解題.【例5】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，平面ABBA．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面α//平面β，點P為α，β外一點，直線PB，PD分別與α，β相交于A，B和C，D，則AC與BD的位置關(guān)系為（

A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面【變式5-2】（2022春·四川成都·高二期末）若平面α//平面β，直線m?α，則直線m與平面β的位置關(guān)系是（

A．相交 B．平行 C．m在β內(nèi) D．無法判定【變式5-3】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，平面α/平面β，A，C是α內(nèi)不同的兩點，B，D是內(nèi)不同的兩點，E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，則下列所有正確判斷的編號是（

①當(dāng)AB，CD共面時，直線AC//BD②當(dāng)AB=2CD時，E，③當(dāng)AB，CD是異面直線時，直線EF一定與α平行④可能存在直線EF與α垂直A．①③ B．②④ C．①② D．③④【題型6平行問題的綜合應(yīng)用】【方法點撥】在立體幾何中常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系，并且可以相互轉(zhuǎn)化的.所以要解決平行關(guān)系的綜合問題，必須要靈活運用三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.【例6】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)A1B1(2)平面ABF//平面