淺析體系特征分子量的選擇

淺析體系特征分子量的選擇

通過等式分析（或序列分析），可以將參數(shù)多的系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)槭褂脜?shù)少的無因次數(shù)表示的系統(tǒng)，從而顯著簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理。因此，色度分析是土木工程研究和應(yīng)用的重要工具。雖然許多化工專業(yè)課對(duì)此有所介紹,但我們?nèi)绾螐捏w系的全部物理量中正確地選擇幾個(gè)特征量,以順利地完成具體的量綱分析過程,還需要認(rèn)真地思考。一、量綱矩陣近似算法量綱分析(dimensionalana1ysis,也稱因次分析)是20世紀(jì)初物理領(lǐng)域中提出的建立數(shù)學(xué)模型的一種方法。它利用物理定律的量綱齊次原則,在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上確定各物理量之間的關(guān)系。因次分析法的最基本的依據(jù)是:若物理量間的關(guān)系能用函數(shù)關(guān)系式定量地表示,則最基本的要求是等式兩端必須在量綱、單位和數(shù)值上相等。由此發(fā)展出了著名的Buckinghamπ定理和相似原理。Buckinghamπ定理表明:n個(gè)物理量間的相互關(guān)系可以簡(jiǎn)化為m=n-r個(gè)相互獨(dú)立的無因次數(shù)群之間的關(guān)系,其中r表示所討論的n個(gè)物理量形成的量綱矩陣的秩,它一般等于這些物理量中所包含的基本量綱的數(shù)目。應(yīng)用量綱分析建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀袔追N方法。其一是方程分析法,可以從有因次量的微分方程或代數(shù)方程得到所研究的體系的無因次數(shù)群。二、不同特征量的選擇當(dāng)已建立因變量的微分方程或代數(shù)方程機(jī)理模型時(shí),可以用少許幾個(gè)有因次量的體系特征量來將模型方程無因次化。具體做法大致是:將方程式內(nèi)的有因次量用無因次的變量來表示,即用體系的特征量將有因次物理量轉(zhuǎn)化為無因次量;然后想辦法簡(jiǎn)化方程,使盡量多的項(xiàng)前面的系數(shù)為1或系數(shù)最簡(jiǎn);這時(shí)得到的無因次方程式中就會(huì)出現(xiàn)一些無因次數(shù),它們就是決定一個(gè)體系與別的體系是否相似的無因次準(zhǔn)數(shù)。但怎樣選擇合適的特征物理量卻是一個(gè)需要量綱分析者主觀確定的問題。本文的目的是討論可以選取多少個(gè)特征量、如何選擇合適的特征量?！纠?】管道流動(dòng)軸向速度分量u的二維動(dòng)量守恒微分方程為它涉及徑向速度v、流體密度ρ、壓強(qiáng)p、軸向和徑向坐標(biāo)x和y、流體黏度μ和時(shí)間t。要導(dǎo)出本體系的控制無因次數(shù)群,首先選擇合適的特征物理量,將方程中的變量無因次化。例如,用特征速度u0將速度分量u和v無因次化:U=u/u0,V=v/u0;用特征長(zhǎng)度L將坐標(biāo)x、y無因次化:X=x/L,Y=y/L;時(shí)間t以特征時(shí)間珋t=L/u0來無因次化:θ=t/珋t。于是,微分方程的有因次變量轉(zhuǎn)換為無因次量后成為要設(shè)法將盡量多的項(xiàng)的系數(shù)化到最簡(jiǎn),故用ρu02/L通除等號(hào)兩端,得到或其中,定義歐拉數(shù)P=p/ρu02(即無因次壓力)和雷諾數(shù)Re=ρu0L/μ。因?yàn)闅W拉數(shù)P是變量,而雷諾數(shù)Re是特征物理量組成的常量,故稱Re是定義和控制此物理過程的唯一無因次準(zhǔn)數(shù)。這里實(shí)際上只選用了2個(gè)特征量:L和u0,特征時(shí)間是由它們構(gòu)造出來的。若另外隨意地指定一個(gè)特征時(shí)間τ,則結(jié)果為要設(shè)法將盡量多的項(xiàng)的系數(shù)化到最簡(jiǎn),故用ρu0/τ通除等號(hào)兩端,得到只要我們重新定義歐拉數(shù)P=pτ/ρu0(即無因次壓力)和雷諾數(shù)Re=ρL/τμ,則我們同樣得到方程(2),也達(dá)到了方程無因次化的目的。有幾個(gè)問題需要討論。問題1:我們應(yīng)該選定幾個(gè)特征物理量?例1中,體系包括u、v、ρ、p、x、y、μ、t共8個(gè)參數(shù),除去同類的物理量后為u、ρ、p、x、μ、t共6個(gè)參數(shù),涉及的基本量綱為質(zhì)量M、長(zhǎng)度L、時(shí)間T共3個(gè)。要把所有的有因次量都無因次化,在定義無因次量時(shí)所用的無因次化參量就必須包含所有的基本量綱。因此,本例中應(yīng)選擇3個(gè)特征物理量。上述運(yùn)算過程中只選用了u0和L兩個(gè),所以還不能將p無因次化;后來是利用了ρ才將p無因次化為歐拉數(shù)P=p/ρu02。問題2:相同因次的特征物理量,我們選擇哪一個(gè)?如果我們用雷諾數(shù)來關(guān)聯(lián)圓管、異形管的流體流動(dòng)阻力,可能由于特征時(shí)間選擇不當(dāng),即使能夠很好地處理自己的幾組數(shù)據(jù),但很難將不同作者的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)一關(guān)聯(lián)起來。所以,首先需要確定最多能選擇幾個(gè)特征物理量。問題3:選擇哪一個(gè)物理量為特征量?這不是量綱分析能確定的。本例中,特征長(zhǎng)度可以選擇管道長(zhǎng)度或管徑,都不妨礙得到雷諾數(shù)Re=ρu0L/μ或者Re=ρu0D/μ;但事后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理、關(guān)聯(lián)過程表明,管徑對(duì)描述流動(dòng)狀態(tài)而言是更有意義的特征物理量。特征速度可以選擇管內(nèi)平均流速或管內(nèi)軸線最大流速,它們都可用,但使用平均流速更為方便?！纠?】管式反應(yīng)器二級(jí)化學(xué)反應(yīng)的動(dòng)態(tài)閉式軸向擴(kuò)散模型:體系涉及軸向擴(kuò)散系數(shù)D,平均流速u,二級(jí)反應(yīng)速率常數(shù)k,反應(yīng)物濃度c,軸向坐標(biāo)x和時(shí)間t共6個(gè)物理量,沒有重復(fù)的物理量。涉及的基本量綱為長(zhǎng)度L、時(shí)間T、摩爾量N共3個(gè)。可選用3個(gè)特征物理量:特征長(zhǎng)度為反應(yīng)器長(zhǎng)L,特征速度為反應(yīng)器內(nèi)軸向平均流速u,特征濃度為反應(yīng)器入口的反應(yīng)物濃度c0。將方程無因次化時(shí),利用C=c/c0,θ=t/(L/u),X=x/L,代入原方程,得上式通乘L/u,得到無法使更多項(xiàng)的系數(shù)為1了。于是定義2個(gè)無因次準(zhǔn)數(shù)(常量):Peclet數(shù)Pe=uL/D表示對(duì)流傳遞和軸向擴(kuò)散的相對(duì)強(qiáng)弱,無因次反應(yīng)速率常數(shù)K=kc0L/u表示化學(xué)反應(yīng)速率和對(duì)流傳遞的相對(duì)強(qiáng)弱。按π定理,可以定義6-3=3個(gè)無因次準(zhǔn)數(shù)。第3個(gè)無因次準(zhǔn)數(shù)在哪里?其實(shí)就是無因次時(shí)間θ=t/(L/u),是用特征量無因次化t的結(jié)果,只是它不完全由常量組成,是一變量,所以不稱它為體系的控制性無因次準(zhǔn)數(shù)。其他派生出來的變量很多,如ue014C/ue014θ、ue014C/ue014X、ue0142C/ue014X2等,都不叫無因次準(zhǔn)數(shù)?！纠?】球形催化劑顆粒內(nèi)部進(jìn)行一級(jí)反應(yīng)時(shí)的能量控制方程為其中λe為多孔催化劑的有效熱傳導(dǎo)系數(shù)(量綱MLT-3Θ-1,單位kJ/(m·s·K)),(-ΔHr)為反應(yīng)的熱效應(yīng)(量綱ML2T-2N-1,單位kJ/mol),k0為反應(yīng)速率常數(shù)的指前因子(Θ-1,單位s-1),E為反應(yīng)活化能(量綱ML2T-2N-1,單位kJ/mol,與RgT相同)。涉及的基本量綱4個(gè),可選4個(gè)特征量:反應(yīng)活化能E、顆粒半徑R、顆粒外表面溫度T0和外表面濃度c0。定義無因次變量:無因次徑向坐標(biāo)ξ=r/R,無因次濃度C=c/c0,無因次溫度θ=T/T0后,方程(5)無因次化為或其中新得到的無因次準(zhǔn)數(shù)有2個(gè):無因次反應(yīng)熱,表示了反應(yīng)發(fā)熱相對(duì)于顆粒內(nèi)傳導(dǎo)散熱的強(qiáng)度:無因次活化能,則反映了化學(xué)反應(yīng)速度隨溫度增高的程度:還有一個(gè)隱藏的無因次準(zhǔn)數(shù)(-ΔHr)/E,它與前2個(gè)無因次準(zhǔn)數(shù)是相互獨(dú)立的。因?yàn)榱烤VM和N有固定的組合關(guān)系,故量綱矩陣的秩比基本量綱數(shù)減少1,所以沒有第4個(gè)無因次準(zhǔn)數(shù)。三、體系的控制變量的選擇總結(jié)3個(gè)例子的共同點(diǎn),我們可以看出:1.體系有幾個(gè)基本量綱,就可以選擇幾個(gè)特征參數(shù)來定義(或產(chǎn)生、構(gòu)造)無因次準(zhǔn)數(shù)。2.無因次準(zhǔn)數(shù)由常量參數(shù)構(gòu)成,表明體系在某個(gè)基準(zhǔn)狀態(tài)下個(gè)物理因素或過程之間的相對(duì)強(qiáng)弱,因此這些準(zhǔn)數(shù)能界定體系的宏觀性質(zhì)。3.在過程變化的物理量也能構(gòu)成無因次變量,但一般不認(rèn)為它是體系的控制性無因次準(zhǔn)數(shù)。4.選擇的無因次化特征量,它們包含全部基本量綱,但它們之間是量綱互相獨(dú)立的。5.