四年級奧數-容斥問題（剖析版）

第29講容斥問題教學目標教學目標了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容掌握容斥原理在組合計數等各個方面的應用知識梳理知識梳理一、兩量重疊問題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合并集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重復計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：，則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積．圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積．1．先包含1．先包含——重疊部分計算了次，多加了次；2．再排除——把多加了次的重疊部分減去．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合的并集的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合的元素個數，然后加起來，即先求(意思是把的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去(意思是“排除”了重復計算的元素個數)．二、三量重疊問題類、類與類元素個數的總和類元素的個數類元素個數類元素個數既是類又是類的元素個數既是類又是類的元素個數既是類又是類的元素個數同時是類、類、類的元素個數．用符號表示為：．圖示如下：圖中小圓表示的元素的個數，中圓表示圖中小圓表示的元素的個數，中圓表示的元素的個數，大圓表示的元素的個數．1．先包含：重疊部分、、重疊了次，多加了次．2．再排除：重疊部分重疊了次，但是在進行計算時都被減掉了．3．再包含：．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．典例分析

考點一：兩量重疊問題典例分析例1、實驗小學四年級二班，參加語文興趣小組的有人，參加數學興趣小組的有人，有人兩個小組都參加．這個班有多少人參加了語文或數學興趣小組？【解析】如圖所示，圓表示參加語文興趣小組的人，圓表示參加數學興趣小組的人，與重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的人．圖中圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數學興趣小組的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加數學興趣小組未參加語文興趣小組的人，有(人)．方法一：由此得到參加語文或數學興趣小組的有：(人)．方法二：根據包含排除法，直接可得：參加語文或數學興趣小組的人參加語文興趣小組的人參加數學興趣小組的人兩個小組都參加的人，即：(人)．例2、對全班同學調查發(fā)現(xiàn)，會游泳的有人，會打籃球的有人．兩項都會的有人，兩項都不會的有人．這個班一共有多少人？【解析】如圖，用長方形表示全班人數，圓表示會游泳的人數，圓表示會打籃球的人數，長方形中陰影部分表示兩項都不會的人數．由圖中可以看出，全班人數至少會一項的人數兩項都不會的人數，至少會一項的人數為：(人)，全班人數為：(人)．例3、在人參加的采摘活動中，只采了櫻桃的有人，既采了櫻桃又采了杏的有人，既沒采櫻桃又沒采杏的有人，問：只采了杏的有多少人？【解析】如圖，用長方形表示全體采摘人員人，圓表示采了櫻桃的人數，圓表示采了杏的人數．長方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數．由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數與兩種都沒采的人數之和，則至少采了一種的人數為：(人)，而至少采了一種的人數只采了櫻桃的人數兩種都采了的人數只采了杏的人數，所以，只采了杏的人數為：(人)．例4、育才小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的，五、六年級共展出25幅畫，其他年級的畫共有多少幅？【解析】通過16幅畫不是六年級的可以知道，五年級和其他年級的畫作數量之和是16，通過15幅畫不是五年級的可以知道六年級和其他年級的畫作數量之和是15，那也就是說五年級的畫比六年級多1幅，我們還知道五、六年級共展出25幅畫，進而可以求出五年級畫作有13幅，六年級畫作有12幅，那么就可以求出其他年級的畫作共有3幅．考點二：三量重疊問題例1、全班有個學生，其中人會騎自行車，人會游泳，人會滑冰，這三個運動項目沒有人全會，至少會這三項運動之一的學生數學成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀．若全班有個人數學不及格，那么，

（1）數學成績優(yōu)秀的有幾個學生？（2）有幾個人既會游泳，又會滑冰？【解析】（1）有個數學不及格，那么及格的有：(人)，即最多不會超過人會這三項運動之一．而又因為沒人全會這三項運動，那么，最少也會有：(人)至少會這三項運動之一．于是，至少會三項運動之一的只能是人，而這人又不是優(yōu)秀，說明全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以沒有數學成績優(yōu)秀的．（2）上面分析可知，及格的人中，每人都會兩項運動；會騎車的一定有一部分會游泳，一部分會滑冰；會游泳的人中若不會騎車就一定會滑冰，而會滑冰的人中若不會騎車就一定會游泳，但既會游泳又會滑冰的人一定不會騎自行車．所以，全班有(人)既會游泳又會滑冰．考點三：圖形中的重疊問題例1、把長厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長厘米，焊接后這根鐵條有多長？【解析】因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(厘米)．例2、兩張長厘米，寬厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？【解析】兩個長方形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為厘米的正方形，如果利用兩個的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，被覆蓋面積長方形面積之和-重疊部分．于是，被覆蓋面積(平方厘米)．例3、三個面積均為平方厘米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是平方厘米．三個紙片蓋住桌面的總面積是厘米．問：圖中陰影部分面積之和是多少？【解析】將圖中的三個圓標上、、．根據包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積(圓面積圓面積圓面積與重合部分面積與重合部分面積與重合部分面積三個紙片共同重疊的面積，得：與重合部分面積與重合部分面積與重合部分面積，得到、、三個圓兩兩重合面積之和為：平方厘米，而這個面積對應于圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：陰影部分面積，則陰影部分面積為：(平方厘米)．考點四：容斥原理在數論問題中的應用例1、在的全部自然數中，不是的倍數也不是的倍數的數有多少個？【解析】如圖，用長方形表示的全部自然數，圓表示中的倍數，圓表示中的倍數，長方形內兩圓外的部分表示既不是的倍數也不是的倍數的數．由可知，中的倍數有個；由可知，中的倍數有個；由可知，既是的倍數又是的倍數的數有個．由包含排除法，或的倍數有：(個)．從而不是的倍數也不是的倍數的數有(個)．考點五：容斥原理中的最值問題例1、將1～13這13個數字分別填入如圖所示的由四個大小相同的圓分割成的13個區(qū)域中，然后把每個圓內的7個數相加，最后把四個圓的和相加，問：和最大是多少？【解析】越是中間，被重復計算的越多，最中心的區(qū)域被重復計算四次，將數字按從大到小依次填寫于被重復計算多的區(qū)格中，最大和為：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數學作業(yè)？請舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數學作業(yè)都完成的人數?！窘馕觥客瓿烧Z文作業(yè)的有37人，完成數學作業(yè)的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人數。這是因為語文、數學作業(yè)都完成的人數在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數時算過一次，在統(tǒng)計做完數學作業(yè)的人數時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數作業(yè)都完成的有：79－48=31人。2、某班有36個同學在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人。問多少個同學兩題都答得不對？【解析】已知答對第一題的有25人，兩題都答對的有15人，可以求出只答對第一題的有25－15=10人。又已知答對第二題的有23人，用只答對第一題的人數，加上答對第二題的人數就得到至少有一題答對的人數：10＋23=33人。所以，兩題都答得不對的有36－33=3人。3、某班有56人，參加語文競賽的有28人，參加數學競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么同時參加語文、數學兩科競賽的有多少人？【解析】要求兩科競賽同時參加的人數，應先求出至少參加一科競賽的人數：56－25=31人，再求兩科競賽同時參加的人數：28＋27－31=24人。4、在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？【解析】從1到100的自然數中，減去5或6的倍數的個數。從1到100的自然數中，5的倍數有100÷5=20個，6的倍數有16個（100÷6=16……4），其中既是5的倍數又是6的倍數（即5和6的公倍數）的數有3個（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍數的個數是16＋20－3=33個，既不是5的倍數又不是6的倍數的數的個數是：100－33=67個。5、光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？【解析】由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數，22幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數。24＋22=46幅，這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數，從其中去掉五、六兩個年級共參展的10幅作品，即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數，再除以2，即可求出其他年級參展作品的總數。（24＋22－10）÷2=18幅。課后反擊1、芳草地小學四年級有人學鋼琴，人學畫畫，人既學鋼琴又學畫畫，問只學鋼琴和只學畫畫的分別有多少人？【解析】如圖，圓表示學畫畫的人，圓表示學鋼琴的人，表示既學鋼琴又學畫畫的人，圖中圓不含陰影的部分表示只學畫畫的人，有：(人)，圖中圓不含陰影的部分表示只學鋼琴的人，有：(人)．2、科技活動小組有人．在一次制作飛機模型和制作艦艇模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機模型的同學有人，制作好一艘艦艇的同學有人．每個同學都至少完成了一項制作．問兩項制作都完成的同學有多少人？【解析】因為，，所以必有人兩項制作都完成了．由于每個同學都至少完成了一項制作，根據包含排除法可知：全組人數完成了兩項制作的人數，即完成了兩項制作的人數．所以，完成了兩項制作的人數為：(人)．3、五年級一班共有人，每人參加一個興趣小組，共有、、、、五個小組，若參加組的有人，參加組的人數僅次于組，參加組、組的人數相同，參加組的人數最少，只有人．那么，參加組的有_______人．【解析】參加，，三組的總人數是(人)，，每組至少人，當，每組人時，組為人，不符合題意，所以參加組的有(人)．4、如下圖，一張長厘米，寬厘米，另一個正方形邊長為厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長為厘米的正方形，求這個組合圖形的面積．【解析】兩個圖形如圖擺放時出現(xiàn)了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為厘米的正方形，如果利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在長方形和正方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積長方形面積正方形面積重疊部分．于是，組合圖形的面積：(平方厘米)．5、甲、乙、丙同時給100盆花澆水．已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么3人都澆過的花最少有多少盆?【解析】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過的最少為：78+68-100=46盆，此時甲單獨澆過的為78-46=32盆，乙單獨澆過的為68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都澆過的花最少時，應將丙澆過的花盡量分散在兩端．于是三者都澆過花最少為58-32-22=4盆．直擊賽場直擊賽場1、有位旅客，其中有人既不懂英語又不懂俄語，