線性代數(shù)期末試題(同濟大學(xué)第五版)(附答案)

線性代數(shù)試題〔附答案〕一、填空題〔每題2分，共20分〕.行歹列式=。.假設(shè)齊次線性方程組有非零解，且k2豐1,則k的值為。.假設(shè)4X4階矩陣A的行列式閶=3,A*是A的伴隨矩陣則|A*=4.A為nxn階矩陣，且A2—3A+2E=0，則A-15.5工工和n,n,n是R3的兩組基，且123 123n= 3m +2m +5,n =5+2m +5,n =2m +己+2m，假設(shè)由基己,己,占到基1 1 2 32 1 2 33 1 2 3 123n,n,n的基變換公式為(n,n,n)=(m,m,m)a，則a=1 2 3 1 2 3 1 2 36.向量a=(-1,0,3,-5),p=(4,-2,0,1),其內(nèi)積為。2,B=23」 |_11 -11-10,則AB之跡tr(AB)=-118.假設(shè)3x3階矩陣A的特征值分別為1,-2,3,則A-1的特征值分別為9.二次型f〔%,%,%〕=X2-3X2-2X2的正慣性指數(shù)為1 2 3 1 2 310.矩陣為正定矩陣，則九的取值范圍是。二、單項選擇〔每題2分，共12分〕1.矩陣A=A、1ababab121314ababab222324ababab323334ababab424344ab11ab21ab31ab41B、2其中a中0,b豐0,i=1,2,3,4,則r(A)=()。iiC、3 D、42.齊次線性方程組的根底解系中含有解向量的個數(shù)是〔〕A、1B、2C、3D、4TOC\o"1-5"\h\z3.向量組a=(1,1,1,0),a=(0,k,0,1),a=(2,2,0,1),a=(0,0,2,1)線性相關(guān),則k=12 3 4( )A、-1 B、-2 C、0 D、14.A、B均為n階矩陣,且(A+B)(A—B)=A2—B2,則必有( )A、B=E B、A=EC、A=BD、AB=BA一211一5.a=(1,k,1)t是矩陣A=121的特征向量則k=()112_A、1或2 B、-1或-2C、1或-2D、-1或26.以下矩陣中和矩陣( )A、 B、C、 D三、計算題(每題9分，共63分)abb…b0 1 2nca01 1…01.計算行列式c 0a…?0(其中a2 2i c0 0…ann中0,i=1,2…，n)x+x+2x+3x=1TOC\o"1-5"\h\z12 3 4x+3x+6x+x=32.當a取何值時,線性方程組^ 1 2 3 4有解？在方程組有解時，x+5x+10x-x=51 2 343x+5x+10x+7x=a12 34用其導(dǎo)出組的根底解系表示方程組的通解。3.給定向量組a;(1,-1,0,4),a=(2,1,5,6),a=(1,-1,-2,0),a=(3,0,7,k)。當k為1 23 4何值時，向量組a,a,a,a線性相關(guān)？當線性組線性相關(guān)時，求出極大線性1234無關(guān)組，并將其們向量用極大線性無關(guān)組線性表示。一36一4.設(shè)矩陣，B=1 1,且滿足4X=2X+B,求矩陣X。2-3.A為n階正交矩陣，且用＜0。(1)求行列式IAI的值；(2)求行列式IA+EI的值。.實對稱矩陣(1)求正交矩陣Q,使Q-1AQ為對角矩陣；(2)求A10。.將二次型f(x,x,x)=x2+2x2+x2+2xx+2xx+4xx化為標準形，并寫1 2 3 1 2 3 12 13 23出相應(yīng)的可逆線性變換。四、證明題(5分)A、B均為n階矩陣，且A、B、A+B均可逆，證明:(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A試題二一、填充題(每題2分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z0 0 …0 10 0 …2 0. 。0 n—1 …0 0n 0 …0 0.=(n為正整數(shù))。.設(shè)A=，則(2A)-1=。.非齊次線性方程組AX二b有唯一解的充分必要條件是 。mxnnx1 mx1.向量a=(3,1)7在基n=(1,2)7,n=(2,1)7下的坐標為 。1 2 .假設(shè)呻階矩陣A、B、C有ABC=E,E為n階單位矩陣則C-1=.假設(shè)n階矩陣A有一特征值為2，則|A-2E=。.假設(shè)A、B為同階方陣，則(A+B)(A-B)=A2-B2的充分必要充分條件是。.正交矩陣A如果有實特征值，則其特征值九等于。10二次型f(x,x,x)=2x2+3x2+tx2+2xx+2xx是正定的，則t的取1 2 3 1 2 3 12 13

值范圍是二、單項選擇〔每題2分，共10分〕1.假設(shè)a11a21a1.假設(shè)a11a21a,1212:6,則aa 2222 02a 0112a 0的值為〔21-2-1A、12B、-12C、18D、0TOC\o"1-5"\h\z2.設(shè)A、B都是n階矩陣且AB=O,則以下一定成立的是〔 〕A、A=0或B=0 B、A、B都不可逆C、A、B中至少有一個不可逆 D、A+B=O3向量組a,a…,a線性相關(guān)的充分必要條件是〔 〕. 12sA、a,a…,a中含有零向量12 sB、a,a…,a中有兩個向量的對應(yīng)分量成比例12 sC、a,a…,a中每一個向量都可用其余s-1個向量線性表示12 sD、a,a…,a中至少有一個向量可由其余s-1個向量線性表示12 s4.由R3的基^=a+2a+3a平=a平=a到基a,a,a的過渡矩陣為〔 〕3 123B、3 123B、它們具有相同的特征向量D、存在可逆矩陣C,使CtAC=BA、 B、C、 D、5.假設(shè)n階矩陣A與B相似,則〔 〕A、它們的特征矩陣相似C、它們具有相同的特征矩陣三、計算題〔每題9分，共63分〕123…n-1n1-10…001.計算行列式02-2…00………………000…2-n0000…n-11一n2x+x一x+x=112 3 4x—x+x+x=22.線性方程組1102c34 當a、b為何值時有解，在有解的— 7x+2x一2x+4x=a12347x-x+x+5x=b123 4情況下，求其全部解(用其導(dǎo)出組的根底解系線性表示)。3.求向量組a=(2,1,1,1),a=(-1,1,7,10),a=(3,1,-1,-2),a=(8,5,9,11)的一個極12 3 4大線性無關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示。.設(shè)4X.設(shè)4X+B=X,其中A=一110一.矩陣A=110003010-11 1-10-1一00與B=03001-1,B=205-30一0,相似x(1)求至(2)求可逆矩陣P,使P-1AP=B6.給定R3的基a=(1,1,1)r,a=(-1,0,-1)r,a=(1,2,-3)r，將其化為R3的一組標準12 3正準交基，并求向量a=(3,2,1)r在所求的標準正交基之下的坐標。7.化二次型f(x,x,x)=x2+5x2-x2+4xx+2xx為標準形，寫出相對應(yīng)1 2 3 1 2 3 12 13的非奇異線性變換。并指出二次型的秩、正慣性指數(shù)及符號差。四、證明題(7分)'如果A是"階矩陣(幾>2),且r(A)=n-1,試證r(A*)=1一、填空題(每題2分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z1.160 2.-2 3.27 4. 5. 6.-91 17.7 8.1,-, 9.1 10.-、3<X<v：32 3二、單項選擇(每題2分，共12分).A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B三、計算題(每題9分，共63分)1.將第2列的倍，第3列的(-、)倍,…，第(n+1)列的倍統(tǒng)統(tǒng)加到第1列上去，得a2

bcbcbcbbba- -22…—nn…0aaa12n1C2na0…0原式=010a…0……2………000…an=aa…a(a_￡^c>)12n0ai=1i特解Y=(0,1,0,0),特解Y=(0,1,0,0),T其導(dǎo)出的根底解系為0所以，1123一11231一13613024-22A=1510-15024-2a-31123110040024-22T012-110000a-50000a-500000_00000T當a=5時,方程組有解，n=(0,-2,1,0)T=(-4,1,0,1)T,原方程組的全部解為X=y+kn+kn,k,k為任1 0 11 22 12意常數(shù)。.由向量組a,a,a,a為列向量組作矩陣12 3 41201T001201T00001 30 1T1-10k-1420 4100 210 1010 1T01 -1001 -100k-14000k-141000131 2 1 312 1 3-1003 0 301 0 1TT-2705-2 700-2 20k0-2-4k-1200-4k-102156當k=14時，向量組線性相關(guān)。向量組的極大線性無關(guān)組是a,a,a,且1 2 3.由AX=2X+B得,(A-2E)X=B1所以有X二(A—2')7B=001所以有X二(A—2')7B=00-1 00一=0-2-10 1 1-3-1-3-4-15.由于網(wǎng)2=1,則囿=±1,因為，囿＜0,所以國=—+耳=A+AAt-A(E+At)|=|A||E+At|=-|A+E\,所以，+可=06.川=九〔九-2"，所以A的4特征值為?=0,%=%=2。對應(yīng)和特征于X=0的特征向量〔1,0-1〕7,標準正交化；對應(yīng)于特征值九二九二2的特征向量1 2 3(1,01)7,(0,1,0)7，(1,01)7,(0,1,0)7，標準正交化〞(0,1,0)ro7272由此可得正交矩陣2=〔〃,?,?〕=1 2 3J2000使得020=A為對角矩陣。002TOC\o"1-5"\h\z2 0 29一Aio=QAwQ-i=02io029 0 297.二次型/=(x,x,x)=(x+x+X)2+X2+2xx123 1 2 3 2 23=(%+X+X)2+(%+X)2-X2

1 2 3 2 3 3令所作的可逆線性變換為可將原二次型化為標準型/=J2+J2-J21 2 3四、證明題(5分)證明：QU+B-i)B(A+B)-iA=A-iB(A+B)-M+B-iB(A+B)-M=A-iB(A+B)-1A+A-iA(A+B)-1A二A-i(B+A)-i(A+B)-iA-E或B(A+B)-iAJ=A-i(A+B)B-i=A-iAB-i+A-iBB-i=B-i+A-i=A-i+B-i試題二一、填空題n(n-i)i.(-i)2n! 2. 3. 4.r(A)=r(Ab)=n.、 35.6.AB7.0 8.AB=BA 9.i或-i i0.t>5二、單項選擇題i.A2.C 3.D4.B5.A三、計算題n(n+1)23 …n-1n20-10…00i.原式二02-2…00……………000…2-n0000…n-11-n-10…002—2…00n(n+1)= …?………?…200…2-n000…n-11-n二(-i)n-i.n(n+i).(n-i)!=(-i)n-i.(n+i)!

2< 21

1 2-100 23-1 -3--1T01-1---3a-143000 0-2b-14—_000 0-3-91-1a—5b-8當a=5且b=8時線性方程組有解r二a‘-1,0.0))Tr二a‘-1,0.0))T…J"二(-2,1,0,3)t全部解為x=r+cn+cn3.A=2111-117101-369為任意常數(shù)。211-2-35-24643130013

了

2300是向量組a是向量組a,a,a,a的一個極大線性無關(guān)組14 1=—a——a313! 413 2=—a+—a4.由AX+B4.由AX+B二X,得(E-A)X=B，即X=(E-A)-1B23223231■3131313X=(E-A)-X=(E-A)-1B=232313131313-1