習(xí)題課1-立體幾何中的綜合問題

[解]

(1)證明：取A1B的中點(diǎn)Q，連接PQ，F(xiàn)Q，則PQ∥AB.因?yàn)锳B∥DC，所以PQ∥DC.又PQ?平面A1DC，DC?平面A1DC，所以PQ∥平面A1DC.又QF∥A1C，QF?平面A1DC，A1C?平面A1DC，所以QF∥平面A1DC.又PQ∩QF＝Q，所以平面PQF∥平面A1DC.因?yàn)镻F?平面PQF，所以PF∥平面A1DC.解決空間角與翻折相結(jié)合的問題的關(guān)鍵：一是盯住量，即看翻折前后線面位置關(guān)系的變化情況，根據(jù)翻折過程，把翻折前后沒有變化和發(fā)生變化的量準(zhǔn)確找出來，因?yàn)樗鼈兎从沉朔酆罂臻g圖形的特征；二是會(huì)轉(zhuǎn)化，根據(jù)需要解決的立體幾何問題，確立轉(zhuǎn)化目標(biāo)；三是得結(jié)論，對(duì)轉(zhuǎn)化后的問題，用定義、判定定理、性質(zhì)定理、基本事實(shí)、公式等解決．[針對(duì)訓(xùn)練]如圖①，平面四邊形ABCD為正方形，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．將△CEF沿線段EF折起，使得平面CEF⊥平面ABEFD，得到如圖②所示的五棱錐C-ABEFD.(1)在圖②中，證明：BD∥平面CEF；(2)在圖②中，求平面ACD與平面BCD夾角的正弦值．解：(1)證明：在圖①中，BE＝CE，DF＝CF，所以EF∥BD.在圖②幾何體中，EF∥BD，EF?平面CEF，BD?平面CEF，所以BD∥平面CEF.(2)取EF的中點(diǎn)O，連接OC.由CF＝CE，可知OC⊥EF.又因?yàn)槠矫鍯EF⊥平面ABEFD，所以O(shè)C⊥平面ABEFD.連OA與BD相交于點(diǎn)M，由正方形的性質(zhì)可知OA⊥BD，又由EF∥BD，可知OA⊥EF，所以O(shè)E，OC，OA兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，[方法技巧]空間角存在性問題的解題策略借助于空間直角坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對(duì)象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組．若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對(duì)象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對(duì)象不存在．

綜合考法三空間角中的最值問題[典例]

(2022·濟(jì)南一模)已知正方體ABCD-A1B1C1D1和平面α，直線AC1∥平面α，直線BD∥平面α.(1)證明：平面α⊥平面B1CD1；(2)點(diǎn)P為線段AC1上的動(dòng)點(diǎn)，求直線BP與平面α所成角的最大值．[解]

(1)證明：連接A1C1，則B1D1⊥A1C1，因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1.又因?yàn)锳A1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1.因?yàn)锳C1?平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1.同理B1C⊥AC1.因?yàn)锽1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面B1CD1.因?yàn)锳C1∥平面α，過直線AC1作平面β與平面α相交于直線l，則AC1∥l，所以l⊥平面B1CD1.又l?平面α，所以平面α⊥平面B1CD1.[方法技巧]空間幾何體中的某些對(duì)象，如點(diǎn)、線、面，在約束條件下運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)相關(guān)的線段長(zhǎng)度、幾何體體積等發(fā)生變化，進(jìn)而就有了面積與體積及角度的最值問題.定性分析在空間幾何體的變化過程中，通過觀察運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的位置變化，確定其相關(guān)量的變化規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)相關(guān)面積或體積等的變化規(guī)律，求得其最大值或最小值定量分析將所求問題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)相關(guān)量的問題，即轉(zhuǎn)化為關(guān)于其中一個(gè)量的函數(shù)，求其最大值或最小值的問題．根據(jù)具體情況，有函數(shù)法、不等式法、三角函數(shù)法等多種方法可供選擇[針對(duì)訓(xùn)練](2021·全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)證明：BF⊥DE；(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？解：(1)證明：因?yàn)閭?cè)面AA1B1B為正方形，所以A1B1⊥BB1.又BF⊥A1B1，而BF∩BB1＝B，BF?平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C，所以A1B1⊥平面BB1C1C.又ABC-A1B1C1是直三棱柱，BC＝AB，所以四邊形BB1C1C為正方形．取BC中點(diǎn)為G，連接B1G，EG.因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，所以BF⊥B1G.又BF⊥A1B1，且EG∥A1B1，所以BF⊥EG.又B1G∩EG＝G，B1G?平