大慶市讓胡路區(qū)鐵人中學(xué)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精鐵人中學(xué)2018級(jí)高二學(xué)年上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題試題說明：1、本試題滿分150分，答題時(shí)間120分鐘.2、請(qǐng)將答案填寫在答題卡上，考試結(jié)束后只交答題卡。第Ⅰ卷選擇題部分一、選擇題（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確,每小題5分，共60分。）1。若98與63的最大公約數(shù)為,二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)為,則(）A。53 B.54 C.58 D。60【答案】C【解析】由題意知，，，，,∴與63的最大公約數(shù)為7，∴．又，∴，．選C．點(diǎn)睛:求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，可用較大的數(shù)字除以較小的數(shù)字,得到商和余數(shù)，然后再用上一式中的除數(shù)和得到的余數(shù)中較大的除以較小的，以此類推,當(dāng)出現(xiàn)整除時(shí)，就得到要求的最大公約數(shù)．2.與命題“若，則"等價(jià)的命題是(）．A。若，則 B。若,則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】分析：根據(jù)四種命題等價(jià)性關(guān)系判斷。詳解:原命題與其逆否命題等價(jià)，項(xiàng)是原命題的逆否命題，符合要求．故選．點(diǎn)睛：?與非?非,?與非?非，?與非?非具有等價(jià)關(guān)系3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后,曲線變?yōu)榍€，則曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代入曲線化簡(jiǎn)可得到式子.【詳解】將代入曲線方程得到．故答案為B。【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的變換公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。4.“勾股定理"在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明。如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形。若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向該大正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域概率是（)A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，用表示出的關(guān)系，即可分別求出兩個(gè)陰影部分的面積,即可根據(jù)幾何概型概率的求法求得飛鏢落在陰影區(qū)域概率.【詳解】直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為則，則兩個(gè)陰影部分的面積和為所以飛鏢落在陰影區(qū)域概率為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型概率的求法,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題。5。袋中裝有3個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)，互斥而不對(duì)立的事件是（）A.“至少有一個(gè)黑球”和“沒有黑球” B?！爸辽儆幸粋€(gè)白球”和“至少有一個(gè)紅球”C.“至少有一個(gè)白球"和“紅球黑球各有一個(gè)” D.“恰有一個(gè)白球"和“恰有一個(gè)黑球”【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義即可判斷?！驹斀狻繉?duì)于A,“至少有一個(gè)黑球”和“沒有黑球”不能同時(shí)發(fā)生,且必有一個(gè)發(fā)生,因而為對(duì)立事件;對(duì)于B,“至少有一個(gè)白球”和“至少有一個(gè)紅球"可以同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件;對(duì)于C，“至少有一個(gè)白球”和“紅球黑球各有一個(gè)”兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，且除這兩個(gè)事件還有其他事件(如兩個(gè)黑球）發(fā)生,所以兩個(gè)事件為互斥事件，但為不對(duì)立事件對(duì)于D，“恰有一個(gè)白球”和“恰有一個(gè)黑球”可以同時(shí)發(fā)生,所以不是互斥事件。綜上可知,C為正確選項(xiàng)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了互斥與對(duì)立事件的概念和判斷,屬于基礎(chǔ)題。6?！?是“方程表示橢圓”的A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D。既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意,方程表示一個(gè)橢圓,則，解得且，所以“”是“方程"的必要不充分條件，故選C。點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的形式,列出不等式組是解答關(guān)鍵，此類問題解答中容易忽視條件導(dǎo)致錯(cuò)解，同時(shí)注意有時(shí)橢圓的焦點(diǎn)的位置，做到分類討論。7。某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖，估計(jì)這次測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）A。73。3,75,72 B.72，75，73。3C.75,72，73.3 D。75，73.3，72【答案】B【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖,結(jié)合平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知,平均數(shù)為眾數(shù)為最高矩形底邊的中點(diǎn),即中為數(shù)為:可得所以中為數(shù)為綜上可知,B為正確選項(xiàng)故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.8.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為（）A。-10 B。6C。14 D.18【答案】B【解析】模擬法：輸入;不成立；不成立成立輸出，故選B.考點(diǎn)：本題主要考查程序框圖與模擬計(jì)算的過程。9.已知橢圓上有一點(diǎn)P，是橢圓的左右焦點(diǎn),若為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（)個(gè)A。3 B。4 C.6 D。8【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)為直角時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，這樣的點(diǎn)有2個(gè)；同理當(dāng)當(dāng)為直角時(shí),這樣的點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)為直角時(shí)，由于橢圓的短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所張的角最大，本題張角恰好為直角,這時(shí)這樣的點(diǎn)也有2個(gè),故符合條件的點(diǎn)有6個(gè)，選項(xiàng)C為正確答案．考點(diǎn)：1、橢圓的對(duì)稱性；2、分類討論的數(shù)學(xué)思想．10.已知雙曲線與雙曲線,給出下列說法，其中錯(cuò)誤是（）A.它們的焦距相等 B.它們的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上C。它們的漸近線方程相同 D。它們的離心率相等【答案】D【解析】由兩雙曲線的方程可得的半焦距相等，它們的漸近線方程相同，的焦點(diǎn)均在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上，離心率不相等，故選D.11。把正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（）A.90° B.60 C。45° D。30°【答案】C【解析】【分析】先記正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn),根據(jù)折起后的圖形，得到當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大,從而推出為直線和平面所成的角，根據(jù)題中條件，即可求出線面角.【詳解】記正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線折起后，如圖，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大。為直線和平面所成的角，∵因?yàn)檎襟w對(duì)角線相互垂直且平分，所以在中，,∴直線和平面所成的角大小為45°。故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求線面角，以及三棱錐體積最大的問題，熟記線面角的概念，以及三棱錐的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型。12.已知拋物線:，直線及上一點(diǎn)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到的距離為,P到的距離為,則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D。9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，將P到的距離為轉(zhuǎn)化為P到的距離,即可由三點(diǎn)共線時(shí)取得距離最小值，解得的最小值?！驹斀狻繏佄锞€，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，P到焦點(diǎn)的距離為由拋物線定義可知?jiǎng)t由題意可知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到的距離為則因?yàn)镻到的距離為則當(dāng)在同一條直線上時(shí)取得最小值此時(shí)即所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用,拋物線中線段的最小值求法,屬于基礎(chǔ)題。第ⅠⅠ卷非選擇題部分二、填空題（每小題5分,共20分。）13.某班共有56名學(xué)生，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知12號(hào)、26號(hào)、54號(hào)同學(xué)在樣本中,則樣本中還有一名同學(xué)的編號(hào)是__________．【答案】40【解析】【分析】先求出組距，然后根據(jù)已知的第二個(gè)樣本的編號(hào)，求得第三個(gè)樣本的編號(hào)。【詳解】從名學(xué)生中抽取名，組距為，由于抽取到第二個(gè)編號(hào)為號(hào)，故第三個(gè)樣本的編號(hào)為號(hào)?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查系統(tǒng)抽樣的知識(shí)，先求得系統(tǒng)抽樣的組距,然后根據(jù)已知來求得未知的樣本編號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知正方體中,E為的中點(diǎn),則異面直線AE與BC所成角的余弦值為?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹斀狻窟B接DE，設(shè)AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角,在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3,∴cos∠DAE==．15.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是_________.（1)命題“若，則方程有實(shí)數(shù)根"的逆否命題為“若方程無實(shí)數(shù)根，則”。（2）命題“，”的否定“，"。（3）若為假命題，則，均為假命題。（4）“"是“直線:與直線：平行"的充要條件.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)命題與逆否命題的定義可判斷(1）;根據(jù)特稱命題的否定即可判斷(2）;由復(fù)合命題真假的關(guān)系可判斷（3）;根據(jù)兩條直線平行時(shí)的斜率關(guān)系可判斷（4).【詳解】對(duì)于（1），命題“若，則方程有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為“若方程無實(shí)數(shù)根,則”，所以（1）正確;對(duì)于（2）,命題“,”的否定“，”,所以（2）錯(cuò)誤；對(duì)于(3）,若為假命題,則、中至少有一個(gè)為假命題,所以（3）錯(cuò)誤；對(duì)于(4），當(dāng)時(shí)，直線：與直線：，則且,所以是“”是“直線：與直線：平行”的充分條件；當(dāng)“直線：與直線:平行”時(shí)，則,解得或,所以“"是“直線：與直線：平行"的充分不必要條件。所以（4）錯(cuò)誤。綜上可知，正確的為(1）故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查了命題與逆否命題的關(guān)系，特稱命題的否定形式,復(fù)合命題真假的判斷及充分必要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題。16.已知雙曲線E：的右頂點(diǎn)為A，拋物線C：的焦點(diǎn)為若在E的漸近線上存在點(diǎn)P，使得，則雙曲線E的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的右頂點(diǎn)和漸近線方程，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)，以及向量的垂直的條件：數(shù)量積為0，再由二次方程有實(shí)根的條件：判別式大于等于0，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線E：的右頂點(diǎn)為,拋物線C：的焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為,可設(shè)，即有，，可得,即為，化為,由題意可得，即有，即，則．由,可得．故答案為【點(diǎn)睛】對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍），常見有兩種方法:①求出，代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式）兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）.三、解答題（第17題10分，其它每題12分，共70分.)17.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線C交于兩點(diǎn)．（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求．【答案】(1）直線l的方程為y＝x+1，曲線C的方程為1；（2)?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┫?shù)，即可求得直線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程;（Ⅱ)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】（Ⅰ)由直線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得直線的方程為，由曲線的極坐標(biāo)方程，根據(jù)，曲線的方程為．（Ⅱ)將(參數(shù)），代入1，得,設(shè)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18.如表是某位同學(xué)連續(xù)5次周考的數(shù)學(xué)、物理的成績(jī)，結(jié)果如下：周次12345數(shù)學(xué)(分）7981838587物理（分)7779798283參考公式：,,表示樣本均值．（1）求該生5次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和物理成績(jī)的方差；(2）一般來說,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求兩個(gè)變量的線性回歸方程．【答案】（1）數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；物理成績(jī)的方差（2）【解析】【分析】(1）根據(jù)平均數(shù)的定義及求法，代入即可求得該生5次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;先求得物理平均分，根據(jù)方差公式即可求得物理成績(jī)的方差。(2）根據(jù)所給回歸直線的方程公式，先求得及，即可求得，再代入公式求得，即可得線性回歸方程?！驹斀狻浚?）（2）根據(jù)（1）中所得，及結(jié)合表中數(shù)據(jù)計(jì)算可得,所以回歸系數(shù)為故所求的線性回歸方程為【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)及方差的求法,線性回歸方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.19.把一顆骰子投擲2次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為,試就方程組解答下列各題：(1)求方程組只有一個(gè)解的概率；(2)求方程組只有正數(shù)解的概率．【答案】(1）（2）【解析】【分析】（1）先求得投擲骰子出現(xiàn)的所有情況總數(shù)。將方程組求解，根據(jù)方程組只有一個(gè)解時(shí)，未知數(shù)系數(shù)不為0,先求得系數(shù)為0的情況,根據(jù)對(duì)立事件的概率求法即可求得方程組只有一個(gè)解的概率。（2）根據(jù)正數(shù)解的要求解不等式組,即可求得的取值范圍，結(jié)合總數(shù)情況即可得解.【詳解】事件的基本事件有36個(gè)．由方程組可得（1）方程組只有一個(gè)解,需滿足即，而的事件有共3個(gè)所以方程組只有一個(gè)解的概率為(2）方程組只有正數(shù)解,需且即或其包含的事件有13個(gè)：因此所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的求法，方程組的解法及方程組解的要求,屬于基礎(chǔ)題。20.已知拋物線：的焦點(diǎn)，上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．(1)求的方程;（2）過作直線，交于，兩點(diǎn)，若直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】法一：利用已知條件列出方程組，求解即可法二：利用拋物線的準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義列出方程，求解即可法一：由可得拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，求出線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，得到直線的斜率，求出直線方程法二：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求出即可【詳解】法一:拋物線:的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由已知解得或∵,∴∴的方程為.法二：拋物線的準(zhǔn)線方程為由拋物線的定義可知解得∴的方程為.2.法一：由（1）得拋物線C的方程為,焦點(diǎn)設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則兩式相減，整理得∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為∴直線的斜率直線的方程為即分法二:由(1）得拋物線的方程為,焦點(diǎn)設(shè)直線方程為由消去,得設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為∴解得直線的方程為即【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線相交的綜合問題，對(duì)于涉及到中點(diǎn)弦的問題，一般采用點(diǎn)差法能直接求出未知參數(shù)，或是將直線方程設(shè)出，設(shè)直線方程時(shí)要注意考慮斜率的問題，此題可設(shè)直線的方程為,就不需要考慮斜率不存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用條件列出等量關(guān)系，求出未知參數(shù)．21.如圖，在四棱柱中,點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn),側(cè)棱底面。（1)求證：//平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可通過證明與平面的法向量垂直,來證明//平面.(2）根據(jù)（1）中建立的平面直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量與平面的法向量，即可求得兩個(gè)平面夾角的余弦值,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值。【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸，為軸，為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，，則,則，則所以依題意可知為平面的一個(gè)法向量而所以又因?yàn)橹本€平面所以平面（2）設(shè)為平面的法向量,則