大學《高等數(shù)學》期末考試試題及易錯題解析第六章：空間解析幾何與向量代數(shù)

PAGEPAGE11空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)這一章的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何學。其內(nèi)容是學習多元微積分、曲線積分、曲面積分、場論的基礎。在研究生入學考試中，本章是《高等數(shù)學一》和《高等數(shù)學二》的考試內(nèi)容。通過這一章的學習，我們認為應達到如下要求：1、對于空間直線、平面、曲面特別是二次曲面應有明晰的空間位置、形狀的概念。2、對于坐標化方法能運用自如，達到數(shù)與形的統(tǒng)一。3、具備空間想象能力，嫻熟的矢量代數(shù)的計算能力和推理、演繹的邏輯思維能力。一、知識網(wǎng)絡圖二、典型錯誤分析例1．設,,,求以向量和為鄰邊的平行四邊形的面積。[錯解]由平行四邊形的面積公式,得.[分析]以向量和為鄰邊的平行四邊形的面積在數(shù)值上等于向量和的向量積的模，因此上述解題公式是對的。即.但在向量運算過程中有以下錯誤：(1)應為.(2)向量積滿足反交換律，應為(3)是錯的。因式中左右邊分別是向量和數(shù)量，故不可能相等。應為.[正確解]例2.證明向量垂直于向量.[錯證]由于，所以向量垂直于向量.[分析]由于兩個向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零，因此從計算入手是對的，但是在運算中有以下錯誤：(1)一般來說，事實上，表示與平行的向量，而表示與平行的向量。(2)兩個相等的向量相減為，而不是[正確證明]由于,故由兩向量垂直的充要條件知，向量垂直于向量.例3.把下列曲線的參數(shù)方程化為一般方程，其中為（1）[錯解]消去參數(shù)，得到此曲線的一般方程（2）[分析]通過消去參數(shù)求出曲線的一般方程，是將曲線的參數(shù)方程化為一般方程時常用的方法。但這里所得到的結(jié)果是錯的。原因是在消去參數(shù)時，采用了將式子兩邊平方的步驟，使此曲線的一般方程產(chǎn)生了增加的解。這一點從幾何上看是清楚的，事實上曲線（1）是圓柱螺旋線，該曲線繞向兩個方向延升。而曲線（2）是圓柱面和母線平行于軸的柱面的交線，因此曲線關(guān)于坐標面對稱。因此（1），和（2）所表示的曲線是不同的。[正確解]由解得，代入和，得到此曲線的一般方程例4.設兩平行平面為，求它們的距離[錯解]當時，平面，在原點的同側(cè)，于是當時，平面，在原點的異側(cè)，于是當時，當時，[分析]以上解答產(chǎn)生錯誤的原因是對平面的一般式方程中的常數(shù)的幾何意義認識不正確。只有在平面的法式方程中，常數(shù)項的絕對值才表示原點到該平面距離。[解]將方程法式化，得，的法式方程為其中法化因子滿足：設所求距離為，則當時，平面，在原點的同側(cè)，于是與同號當時，平面，在原點的異側(cè)，于是與異號，則當時，平面，間的距離即原點到的距離。于是，同理當時，平面，間的距離綜上，所求距離為例5.已知與垂直，且與垂直，求的夾角。[錯解]由于與垂直，所以有（1）由于與垂直，所以有（2）由（1），（2）有，故得于是[分析]在以上解法中，將兩向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為它們的點積為零來考慮，這個思路是常用的，且（1），（2）的計算是正確的。但從推出是錯誤的，事實上，，而[正確解]由于與垂直，所以有(1)由于與垂直，所以有(2)由（1），（2）得（3）代入（1），得故（4）由（3），（4）得例6.設平面：與球面相交成一個圓，求這個圓的圓心。[錯解]設該圓的圓心為由平面方程與球面方程，得（1）故所求圓的圓心為得[分析]上述解答中的（1）是過該圓曲線的另一曲面的方程，而不是該圓曲線的方程，因此以上解答是錯誤的。事實上（1）與聯(lián)立或（1）與聯(lián)立都是該圓曲線的方程。[正確解]設該圓的圓心為由球面方程得球心為因直線垂直于平面，且為平面的一個法向量，故平行于，即有（1）又在平面上，則（2）由（1），（2）得：，，，即得例7.求橢圓面上某點處的切平面的方程，使平面過已知直線[錯解]令則于是橢圓面在點處的切平面的方程為即因為平面過已知直線，故的方向向量和平面的法向量垂直，即有（1）又因（2）故由（1），（2）得因此所求切平面的方程為[分析]由題設，只知直線L在切平面上，但不能保證直線L過切點故在以上解答中，（2）式是沒有根據(jù)的。[正確解]令則于是橢圓面在點處的切平面的方程為即（1）因為平面過直線，故上的任意兩點，如點應滿足（1），于是有（2）又因，（3）故由（2），（3）得或因此所求切平面的方程為例8.設函數(shù)在點附近有定義，且，，則________。曲面在點的法向量為；曲面在點的法向量為；（C）曲線在點的切向量為；（D）曲面在點的法向量為；[錯解]由于，，，故（A）成立。[分析]設，故曲面在點的法向量為。由于，，，所以（A），（B）都不正確。[正確解]曲線看成以為參數(shù)，則可表示為，其在點的切向量為，故選擇（C）。例9.求直線點與直線的公垂線方程。[錯解]已知直線的一個方向向量，直線的一個方向向量，作向量則過上的點且以為法向量的平面的方程為即易得平面與直線的交點為，于是得公垂線方程為即[分析]在以上解法中點的選取與公垂線的定義不符。事實上，直線上的點可用該直線上任意一點來代替，因此這樣求得的直線不唯一。[正確解]設直線為所求公垂線，則為平面的交線，其中為直線和所確定的平面，為直線和所確定的平面。設直線的方向向量為，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則由題設有設平面的法向量分別為，則，則的方程為：的方程為：故公垂線的方程為例10.求以為頂點，母線與球面相切的圓錐面方程。[錯解]由于所求圓錐面的半頂角滿足軸方向為，設是圓錐面上異于頂點的任一點，則于是（1）即[分析]這個結(jié)論是錯的，事實上為頂點的錐面方程一定是關(guān)于的齊次方程。在以上解答中，錯誤產(chǎn)生于兩個方面：一是半頂角的計算有誤，二是兩點距離公式有誤，于是（1）是錯的。若將（1）改為：則就可得到正確的結(jié)果。這個問題的做法很多，以下[正確解]采用了另一種方法。但也是利用圓錐面的幾何特征求其方程。[正確解]設任一母線與球面相切于點，則母線方程為令于是（2）將（2）代入，有因是切點，故以上方程有重根，故即三、綜合題型分析例11．求點在直線上的射影點。[分析一]因為過點且與已知直線垂直的平面和已知直線的交點即所求的射影點，故應先求出平面的方程。[解一]設過點且與已知直線垂直的平面為，由題設知即（1）把直線的方程改寫為參數(shù)式：（2）由（1），（2）得代入（2），得所求射影點為[分析二]利用直線的參數(shù)式方程，求出射影點所對應的參數(shù)，從而求得射影點。[解二]設所求的射影點為，將已知直線的方程改寫成參數(shù)式故有于是由題設得即得代入（3），得所求射影點為[方法小結(jié)]在考慮直線上一點的問題時，利用直線的參數(shù)式方程是比較方便的，在以上兩種解法中都采用了直線的參數(shù)式方程。之所以用參數(shù)式方程能使問題簡化，是因為求點的三個坐標的問題轉(zhuǎn)化為了求點的參數(shù)。例12.求直線在平面上的射影直線的方程。[分析一]所求直線是平面和的交線，其中為直線在平面上的射影平面。[解一]設直線在平面上的射影平面為，平面的法向量為，由于直線的方向向量，平面的法向量，由射影平面的定義，得=又平面過直線，知直線上的點在平面上，可得平面的點法式方程為：即.故直線在平面上的射影直線的方程為[分析二]所求直線是平面和的交線，其中為以直線為軸的平面束中的一個平面，并且平面垂直于平面，即是直線在平面上的射影平面。[解二]改寫直線的方程為設所求平面為，則是以直線為軸的平面束中的一個平面，故可設，即又由題設知因此有，即取得于是，直線在平面上的射影直線的方程為[方法小結(jié)]一般地，直線在平面上的射影直線的方程，可用下列方程組表示其中直線在平面上的射影平面的方程可用不同的方法求出。例13．求以原點為頂點且經(jīng)過三坐標軸的正圓錐面方程。[分析一]由于從本題的條件中容易求出一條準線的方程以及母線的方程，因此本題采用求普通錐面的方法比較方便。[解一]設所求正圓錐面過點、、，則由這三點確定的平面的方程為該平面與圓錐面的交線為圓曲線（1）這是錐面的準線方程。設為錐面上任一點，為母線與準線的交點，故母線方程為令則得代入（1），得消去參數(shù)，得所求正圓錐面的方程為類似地，可得其它三個正圓錐面的方程為.[分析二]由于所求圓錐面的特殊性，本題采用參數(shù)法，可簡捷地求出圓錐面的方程。[解二]設為參數(shù)，則所求圓錐面由以下曲線族構(gòu)成：消去參數(shù)，得所求正圓錐面方程為類似地，可得其它三個正圓錐面的方程為.[方法小結(jié)]求圓錐面方程有兩種一般的方法，一種是求普通錐面的方法，另一種是利用圓錐面的特殊性質(zhì)來求出其方程。兩種方法所需的條件是不同的。具體采用那一種方法，應根據(jù)題目的條件，作具體分析。本題是求圓錐面方程，但在[解一]中卻采用了求一般錐面的方法就是這個原因。當然，由曲面的特殊性，有時采用特殊的方法更方便，如本題的[解二]。例14．已知平面上一條拋物線,及頂點在其上滑動的一條參數(shù)為的拋物線,若動拋物線所在的平面始終與軸垂直,且它的軸始終保持與軸平行而移動,求這拋物線所描述出的曲面.[分析一]根據(jù)所求曲面的構(gòu)成特征，從動曲線的特殊位置出發(fā)進行考慮通常是有效的。以下解答是從動曲線滑動到坐標平面的位置出發(fā)進行考慮的。[解一]設動拋物線滑動到平面上時，其方程為即（1）故在所求曲面上的任一點必可由曲線(1)上的一點沿軸平移,沿軸平移而得到，即有又因為動拋物線頂點也隨之平移到且在拋物線上,故有(2)將(1)代入(2)，得所求曲面方程為:討論:當同號時,方程表示橢圓拋物面,當 異號時,方程表示雙曲拋物面.[分析二]由題設，所求曲面是由一條參數(shù)為的拋物線運動而產(chǎn)生，故所求曲面可看成是由一族完全相同的拋物線所構(gòu)成。因此本題采用曲線族法，可簡捷地求得曲面的方程。[解二]設所求曲面由如下拋物線族構(gòu)成：(3)由題設，頂點滿足于是得.（4）將（4）代入(3)，得所求曲面方程為:討論:同號時,方程表示橢圓拋物面,異號時,方程表示雙曲拋物面.[方法小結(jié)]可從所求曲面的圖形特征入手尋求曲面的方程。以上兩種方法從不同的角度分析了曲面的圖形特征。例15．求直線上一點到此直線與平面的交點的距離。[分析一]在求直線與平面的交點時，利用直線的對稱式方程是比較方便的。值得注意的是參數(shù)的引入，簡化了交點的計算。[解一]設直線與平面的交點為。令，則有，（1）將（1）代入平面方程，得故交點為于是點與點的距離為[分析二]利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求兩點的距離[解二]由題設，直線過點和點，故此直線的參數(shù)方程為設為交點，代入，得。注意到為方向余弦，于是點到此交點的距離為[方法小結(jié)]這里[解一]所用的方法是常規(guī)方法。而[解二]則充分利用了直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，這種方法在求直線上兩點間的距離時常常是有效的。例16．求通過點且通過直線的平面方程。[分析一]由所給的條件知，平面的點法式方程是易求的，關(guān)鍵在于求出平面的法向量。[解一]因題設知所求平面過點和點，故向量平行于所求平面。又為已知直線的方向向量，故知所求平面的法向量為：于是所求平面的方程為即[分析二]因所求平面過已知點，故可直接設其點法式方程，再利用條件確定待定系數(shù)。[解二]設所求平面方程為，則為平面的法向量。由題設知為已知直線的方向向量，故有.(1)又由點在所求平面上，有.(2)由（1），（2），得，，故所求平面的方程為[方法小結(jié)]若所求平面通過已知點，一般可求平面的點法式方程。以上兩種解法是求平面點法式方程的常用思想方法。由于本題所求的平面過已知直線，因此用平面束方程來處理也是方便的。（參見例22）例17．已知直線，求點關(guān)于直線的對稱點[分析一]利用線段的中點在直線上以及的斜率為的斜率的負倒數(shù)這兩個條件，可較簡捷地求得點的坐標。[解一]設的坐標為，故線段的中點在直線上，又的斜率為的斜率的負倒數(shù)，故于是得[分析二]由于點在過點而垂直于直線的直線上，因此可先求得直線和直線的交點，再求得點。[解二]過點而垂直于直線的直線方程是解方程組得直線和直線的交點此點為線段的中點。設的坐標為，則故得[方法小結(jié)]求點關(guān)于直線的對稱點的方法有多種，但都抓住一個基本點：直線是線段的垂直平分線。由于分析的方法不同，導出不同的解法。例18．求通過點，垂直于直線，又與直線相交的直線方程。[分析一]將所求直線看成是兩個平面的交線，因此問題轉(zhuǎn)化為利用已知條件求出過的兩個平面。[解一]設所求直線為，則由題設知：在過點且與直線垂直的平面上。設直線的方向向量為，故有另一方面，在點與直線確定的平面上。設直線的方向向量為，則為平面的法向量。故：于是直線為為：[分析二]將所求過已知點的直線用參數(shù)式方程表示，則問題轉(zhuǎn)化為求直線的方向向量，由題設可確定此方向向量。[解二]設通過點的直線方程為（1）因直線垂直，故又直線與相交，直線可表示為（2）聯(lián)立（1），（2），得令則得所求直線方程為[方法小結(jié)]在考慮直線與直線相交的問題時，將所求直線的方程設成參數(shù)式是較為簡單的。另外將所求直線看成是兩個平面的交線，也是求直線的常用方法。例19求準線為且母線平行于軸的柱面方程。[分析一]由于給出了一條準線的方程以及母線的方向向量，因此可用常規(guī)求柱面方程的方法求解。[解一]設為準線上的任意一點，則過這點的母線方程為（1）其中滿足條件（2）由（1）及（2）的第二式得，代入（2）的第一式，得顯然，其為雙曲柱面方程。[分析二]改寫所求曲面的準線方程，利用母線平行于坐標軸的柱面方程的特點，得出結(jié)果。[解二]將準線方程同解變形，得上式表明已知準線可看成為母線平行于軸的雙曲柱面和平面的交線，顯然所求柱面即雙曲柱面[方法小結(jié)]母線平行于坐標軸的柱面是一類特殊的柱面，因此除了用常規(guī)方法可求出其方程以外，常常還可利用其特點求出其方程，[解二]中選用其它準線的方法也是常用的。例20．.若表示平面上兩條直線，求ｋ值及兩直線的夾角[分析一]由于平面上的一條直線一定能用一個二元一次方程表示，所以得出以下分解式（1），在此基礎上不難求得ｋ值及兩直線的夾角。[解一]設.（1）不失一般性．有＝０．比較系數(shù)得：，所以有．于是，當ｋ＝６時，，故原方程表示直線：和，它們分別與ｙ軸，ｘ軸平行，因此夾角為．[分析二]利用曲線的不變量進行討論是方便的。二元二次方程的圖形為兩條直線的充要條件為不變量[解二]由，得，故ｋ＝６，（ｋ＝０不合題意）故兩直線是和，它們分別與ｙ軸，ｘ軸平行，因此夾角為．[方法小結(jié)]在討論曲線和曲面圖形時應注意：若，則的圖形是指的圖形和的圖形，而不是的圖形或的圖形。四、考研試題分析例21．(1995年高數(shù)一、二)設則[答案]4.[分析]在展開時注意兩個平行向量的向量積為零，有兩個向量平行的三個向量的混合積為零，即可得結(jié)果。[解答].例22．(1996年高數(shù)一、二)設一平面經(jīng)過原點及點（6，-3，2）且與平面垂直，則此平面方程為.[答案][分析一]求平面方程的方法很多，這里用所求平面上的一個定點和所求平面的一個法向量來確定所求平面的方程。本題的關(guān)鍵在于找出所求平面的一個法向量。由于始點為原點，終點為（6，-3，2）的向量以及已知平面的法向量均平行于所求平面，故這兩個向量的向量積就是所求平面的一個法向量。[解一]設所求平面為，由題設得：∥，∥.則=為平面的一個法向量。即由于平面過原點，得平面的點法式方程為即得平面的方程為[分析二]由于所求平面過原點和點（6，-3，2）的連線，因此本題用平面束方法求解比較簡單。[解二]由題設，原點和點（6，-3，2）連線的點向式方程為，（1）將（1）改寫為一般式方程：于是，過直線的所有平面的方程可寫為，即.其中與已知平面垂直的平面應滿足得取于是所求平面方程為 例23．(2003年高數(shù)一)曲面與平面平行的切平面方程是.[答案][分析一]在二次曲面的正常點上，切平面方程可根據(jù)曲面方程直接得出。若二次曲面方程為，則切平面方程為。[解一]由曲面方程，（1）得所求切平面方程為（2）由所求切平面與已知平面平行，得，（3）于是，由（1），（3），得：，，代入（2），得切平面方程為[分析二]在二次曲面的正常點上，可根據(jù)曲面方程直接得出切平面的法向量，再利用所求切平面與已知平面平行，可求出切平面方程。[解二]設曲面在上有切平面，則由曲面方程知，切平面的法向量為。由題設，得，考慮到，得：，，故切平面方程為，即例24．(1995年高數(shù)一、二)設有直線及平面：，則直線（）。平行于；（B）在上；（C）垂直于；（D）與斜交。[分析一]直線是兩個平面的交線，可用所給定的平面的法向量和這兩個平面的法向量的位置關(guān)系進行判別。[解一]應選（C）。由直線和平面的方程，易得，且，即平面，其中于是，平面與平面和平面的交線垂直。[分析二]可通過直線的方向向量和平面的法向量的位置關(guān)系進行判別。[解二]應選（C）。設直線的方向向量為，平面的法向量為，則已知平行于，故直線垂直于平面。例25．(1998年高數(shù)一)設矩陣是滿秩的，則直線與直線（A）相交于一點；（B）重合；（C）平行但不重合；（D）異面.[分析一]本題若用求交點的途徑考慮是比較復雜的，可用特殊值進行判別。[解一]應選（A）。采用特殊值法，令，矩陣中的其它元數(shù)均為，則這兩條直線的方程為：，.顯然這兩直線以為交點且不重合。[分析二]兩條直線的位置關(guān)系可由三個矢量，的位置關(guān)系確定，于是，可通過考慮相應的矩陣和行列式，確定兩條直線的相關(guān)位置。[解二]應選（A）。事實上，由于初等變換不改變矩陣的秩，故有，其秩不變。由題設，得于是兩直線不平行，可排除（B），（C）。另一方面，由于=0，故兩直線共面，可排除（D）。于是，選擇（A）。例26．(1997年高數(shù)一)設直線在平面上，而平面與曲面相切于點求之值。[分析一]首先求出與曲面相切于點的切平面的方程，進一步，可通過將代入切平面的方程，求出之值。[解一]在點處曲面的法向量為故切平面的方程為，即.(1)由直線方程解得，.將其代入(1),得，因而有，，解得，.[分析二]求出與曲面相切于點切平面的方程，利用平面屬于以直線為軸的平面束，求出之值。[解二]同解一，可求得在點處曲面的切平面的方程為.(2)由于平面屬于以直線為軸的平面束，因此可設的方程為，即.(3)由于(2),(3)均為平面的方程，得因此解得，.例27．(2002年高數(shù)二)已知曲線的極坐標方程是，求該曲線上對應于處的切線和法線的直角坐標方程。[分析一]由于是求直線在直角坐標系下的方程，因此可利用極坐標和直角坐標的關(guān)系首先求出切點的直角坐標，利用參數(shù)式函數(shù)求導求得切線的斜率，再求出切線和法線的直角坐標方程。[解一]易知此曲線的參數(shù)方程為（1）于是.(2)將代入（1）-（2），得切點的直角坐標為，切線的斜率為。于是所求的切線的直角坐標方程為即法線的直角坐標方程為即[分析二]可首先求出曲線的參數(shù)式方程和直角坐標方程，利用這兩個方程求出切點的直角坐標和切線的斜率，從而求出切線和法線的直角坐標方程。[解二]曲線的參數(shù)方程為（3）于是此曲線的直角坐標方程為.(4)當時，由(3)得切點的直角坐標為，。由（4）利用隱函數(shù)求導，得在以上切點處。于是可得（同解一）所求的切線的直角坐標方程為法線的直角坐標方程為例28．(1994年高數(shù)一、二)已知點與的直角坐標分別為（1，0，0）與（0，1，1），線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面為，求由及兩平面，所圍成的立體體積。[分析]由題意，關(guān)鍵是求出垂直于軸的平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面的面積，考慮到此截面是圓截面，因此只需求出圓截面的半徑即可。[解答