高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教A版）選修1-2《第一章統(tǒng)計(jì)案例》歸納整合

本章歸納整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)歸納一、兩個(gè)基本思想1．回歸分析的基本思想

回歸分析包括線性回歸分析和非線性回歸分析兩種，而非線性回歸分析往往可以通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為線性回歸分析，因此，回歸分析的思想主要是指線性回歸分析的思想． 注意理解以下幾點(diǎn)：(1)確定線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系有兩層含義：一是具有相關(guān)關(guān)系，如廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售量的關(guān)系等在一定條件下具有相關(guān)關(guān)系，而氣球的體積與半徑的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系；二是具有線性相關(guān)關(guān)系．判斷是否線性相關(guān)的依據(jù)是觀察樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖．(2)引起預(yù)報(bào)誤差的因素對(duì)于線性回歸模型y＝bx＋a＋e，引起預(yù)報(bào)變量y的誤差的因素有兩個(gè)：一個(gè)是解釋變量x，另一個(gè)是隨機(jī)誤差e.(3)回歸方程的預(yù)報(bào)精度判斷回歸方程的預(yù)報(bào)精度是通過(guò)計(jì)算殘差平方和來(lái)進(jìn)行的，殘差平方和越小，方程的預(yù)報(bào)精度越高．簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，線性回歸分析就是通過(guò)建立回歸直線方程對(duì)變量進(jìn)行預(yù)報(bào)，用回歸方程預(yù)報(bào)時(shí)，需對(duì)函數(shù)值明確理解，它表示當(dāng)x取值時(shí)，真實(shí)值在函數(shù)值附近或平均值在函數(shù)值附近，不能認(rèn)為就是真實(shí)值．(4)回歸模型的擬合效果判斷回歸模型的擬合效果的過(guò)程也叫殘差分析，殘差分析的方法有兩種，一是通過(guò)殘差圖直觀判斷，二是通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2的大小判斷．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法．要確認(rèn)兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可信程度，先假設(shè)兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系，再計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值，最后由K2的觀測(cè)值很大在一定程度上說(shuō)明兩個(gè)分類變量有關(guān)系． 進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)要注意理解以下三個(gè)問(wèn)題：

(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)適用于兩個(gè)分類變量．

(2)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的直觀判斷： 一是根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算|ad－bc|，值越大關(guān)系越強(qiáng)； 二是觀察等高條形圖，兩個(gè)深色條的高度相差越大關(guān)系越強(qiáng)；(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷．獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論只能是有多大的把握確認(rèn)兩個(gè)分類變量有關(guān)系，而不能是兩個(gè)分類變量一定有關(guān)系或沒(méi)有關(guān)系．二、兩個(gè)重要參數(shù)1．相關(guān)指數(shù)R2

相關(guān)指數(shù)R2是用來(lái)刻畫(huà)回歸模型的回歸效果的，其值越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．2．隨機(jī)變量K2

隨機(jī)變量K2是用來(lái)判斷兩個(gè)分類變量在多大程度上相關(guān)的變量．獨(dú)立性檢驗(yàn)即計(jì)算K2的觀測(cè)值，并與教材中所給表格中的數(shù)值進(jìn)行比較，從而得到兩個(gè)分類變量在多大程度上相關(guān)．三、兩種重要圖形1．散點(diǎn)圖 散點(diǎn)圖是進(jìn)行線性回歸分析的主要手段，其作用如下： 一是判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果樣本點(diǎn)呈條狀分布，則可以斷定兩個(gè)變量有較好的線性相關(guān)關(guān)系； 二是判斷樣本中是否存在異常．2．殘差圖 殘差圖可以用來(lái)判斷模型的擬合效果，其作用如下： 一是判斷模型的精度，殘差點(diǎn)所分布的帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高． 二是確認(rèn)樣本點(diǎn)在采集中是否有人為的錯(cuò)誤．專題一回歸直線方程1．在散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，則利用線性回歸模型進(jìn)行研究，可近似地利用回歸直線方程來(lái)預(yù)報(bào)．2．求回歸直線方程的基本步驟如下：

(1)將表中的各對(duì)數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖．

(2)按照求回歸方程的步驟和公式，寫(xiě)出回歸方程．【例1】

煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過(guò)程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系．如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的一列數(shù)據(jù)如下表所示：x/0.01%104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)作出散點(diǎn)圖，你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)含碳量與冶煉時(shí)間的一般規(guī)律嗎？(2)求回歸直線方程．(3)預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？解(1)從圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，即它們線性相關(guān)．(2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125專題二線性回歸分析 作殘差分析時(shí)，一般從以下幾個(gè)方面予以說(shuō)明：(1)散點(diǎn)圖；(2)相關(guān)指數(shù)；(3)殘差圖中的異常點(diǎn)和樣本點(diǎn)的帶狀分布區(qū)域的寬窄．【例2】

一個(gè)車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表：

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并初步判斷是否線性相關(guān)；

(2)若線性相關(guān)，求回歸直線方程；

(3)求出相關(guān)指數(shù)；

(4)作出殘差圖；

(5)進(jìn)行殘差分析；零件數(shù)x/個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y/min627275818595103108112127解(1)散點(diǎn)圖，如圖所示．由圖可知，x，y線性相關(guān)．(2)x與y的關(guān)系可以用線性回歸模型來(lái)擬合，不妨設(shè)回歸模型為＝＋x.將數(shù)據(jù)代入相應(yīng)公式可得數(shù)據(jù)表：序號(hào)零件個(gè)數(shù)xi(個(gè))加工時(shí)間yi(min)xiyix110626201002207214404003307522509004408132401600550854250250066095570036007701037210490088010886406400990112100808100101001271270010000∑5509205613038500(3)利用所求回歸方程求出下列數(shù)據(jù)．(5)由散點(diǎn)圖可以看出x與y有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，由R2的值可以看出回歸效果很好．由殘差圖也可觀察到，第2、5、9、10個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這些樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤．專題三獨(dú)立性檢驗(yàn) 獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法．常用等高條形圖來(lái)直觀反映兩個(gè)分類變量之間差異的大??；利用假設(shè)檢驗(yàn)求隨機(jī)變量K2的值能更精確地判斷兩個(gè)分類變量間的相關(guān)關(guān)系．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法，在假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理．【例3】

某運(yùn)動(dòng)隊(duì)研制了一種有助于運(yùn)動(dòng)員在大運(yùn)動(dòng)量的訓(xùn)練后快速恢復(fù)的口服制劑，為了試驗(yàn)新藥的效果，抽取若干名運(yùn)動(dòng)員來(lái)試驗(yàn)，所得資料如下：性別藥恢復(fù)效果男運(yùn)動(dòng)員女運(yùn)動(dòng)員未用用未用用有效(恢復(fù)得好)6012045180無(wú)效(恢復(fù)得差)454560255總計(jì)105165105435區(qū)分該種藥劑對(duì)男、女運(yùn)動(dòng)員產(chǎn)生的效果的強(qiáng)弱．命題趨勢(shì)

從近幾年的高考試題來(lái)看，高考對(duì)本章內(nèi)容考查有加強(qiáng)趨勢(shì)，主要是以考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析為主，并借助解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題來(lái)考查一些基本的統(tǒng)計(jì)思想，在高考中多為選擇題、填空題，也有解答題出現(xiàn)．高考真題1．(2011·山東)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x/萬(wàn)元4235銷(xiāo)售額y/萬(wàn)元492639542．(2011·江西)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177解析因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)是表示兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個(gè)值，它的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以A、B錯(cuò)誤．C中n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以不相同，所以C錯(cuò)誤．根據(jù)回歸直線方程一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)可知D正確，所以選D.答案D4．(2011·廣東)為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系： 小李這5天的平均投籃命中率為_(kāi)_______；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為_(kāi)_______．時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.45．(2011·遼寧)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬(wàn)元)和年飲食支出y(單位：萬(wàn)元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加________萬(wàn)元． 解析由題意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.

答案0.2546．(2011·安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20022004200620082010需求量(萬(wàn)噸)236246257276286解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升的，下面求回歸直線方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2006－4－2024需求量－257－21－11019297．(2010·新課標(biāo)全國(guó))為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828P(K2≥k)8．(2010·遼寧)為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗(yàn)結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表(1)完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大??；皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)頻數(shù)1025203015(2)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．表3：皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計(jì)注射藥物Aa＝b＝注射藥物Bc＝d＝總計(jì)n＝0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.84