中考數(shù)學(xué)幾何模型重點突破講練：專題28 圓中的定弦定角和最大張角模型（學(xué)生版）

專題28圓中的定弦定角和最大張角模型【模型1】定弦定角模型如圖28-1，在中，BC的長為定值，為定角度，（1）確定點A的運動軌跡，有3種情況：①如圖28-2，當(dāng)時，點A的運動軌跡為優(yōu)弧BAC（不與B、C點重合）；②如圖28-3，當(dāng)時，點A的運動軌跡為⊙O（不與點B、C重合）；③如圖28-4，當(dāng)時，點A的運動軌跡為劣弧BAC（不與B、C點重合）。（2）構(gòu)成等腰三角形（AB=AC）時：點A到BC的距離最大，且此時的面積最大。【模型變式1】如圖28-5，已知點A、B是的邊PF上的兩個定點，點Q是邊PE上一動點，則當(dāng)點Q在何處時，最大。當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊PE相切于點Q時，最大?！咀C明】如圖28-6，作的外接圓⊙O，設(shè)點為PE上不同與Q點的任意一點，連接、，與⊙O交于點D，連接BD，當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊PE相切于點Q時，最大?！纠?】如圖，在中，，，，過點作的平行線，為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為__________．【例2】數(shù)學(xué)概念若點在的內(nèi)部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強等角點”.理解概念（1）若點是的等角點，且，則的度數(shù)是.（2）已知點在的外部，且與點在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點.當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時，求證：是的等角點.（要求：只選擇其中一道題進行證明?。偃鐖D①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點.（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點”、“強等角點”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；③正三角形的中心是它的強等角點；④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有.（填序號）一、單選題1．如圖，C，D是上直徑AB兩側(cè)的兩點，若，則的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．80° D．70°2．如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，，是上直徑兩側(cè)的兩點．設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．如圖，為的直徑，是的弦，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題5．如圖，點在半圓上，半徑，，點在弧上移動，連接，作，垂足為，連接，點在移動的過程中，的最小值是______．6．如圖，已知、在以為直徑的上，若，則的度數(shù)是_________．7．如圖，直線l與⊙O相交于點B、D，點A、C是直線l兩側(cè)的圓弧上的動點，若⊙O的半徑為1，∠A＝30°，那么四邊形ABCD的面積的最大值是_______．8．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，∠BAC＝50°，∠AED＝75°，則的度數(shù)是_________°．9．如圖，∠MAN＝45°，B、C為AN上兩點，AB＝1，BC＝3，D為AM上的一個動點，過B、C、D三點作⊙O，當(dāng)sin∠BDC的值最大時，⊙O的半徑為_________三、解答題10．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如圖所示，點、、、分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，已知點的坐標(biāo)為，為半圓的直徑，半圓圓心的坐標(biāo)為，半圓半徑為．（1）求“蛋圓”拋物線部分的解析式及“蛋圓”的弦的長；（2）已知點是“蛋圓”上的一點（不與點，點重合），點關(guān)于軸的對稱點是點，若點也在“蛋圓”上，求點坐標(biāo)；（3）點是“蛋圓”外一點，滿足，當(dāng)最大時，直接寫出點的坐標(biāo)．11．如圖，拋物線交x軸于點，，D是拋物線的頂點，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點E，AP交DE于點F，交y軸于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點P從點B運動到點C的過程中，點M也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．12．一個角的頂點在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個角是它所夾的較大的弧所對的圓外角．（1）證明：一條弧所對的圓周角大于它所對的圓外角；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，解決下面的問題：某市博物館近日展出當(dāng)?shù)爻鐾恋恼滟F文物，該市小學(xué)生合唱隊計劃組織120名隊員前去參觀，隊員身高的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示．該文物高度為，放置文物的展臺高度為，如圖2所示．為了讓參觀的隊員站在最理想的觀看位置，需要使其觀看該文物的視角最大（視角：文物最高點P、文物最低點Q、參觀者的眼睛A所形成的），則分隔參觀者與展臺的圍欄應(yīng)放在距離展臺多遠的地方？請說明理由．（說明：①參觀者眼睛A與地