特級(jí)教師改編中考數(shù)學(xué)幾何模型24講：專題04 角平分線模型在三角形中的應(yīng)用（學(xué)生版）

專題04角平分線模型在三角形中的應(yīng)用在初中幾何證明中，常會(huì)遇到與角平分線有關(guān)的問(wèn)題。不少同學(xué)遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，不清楚應(yīng)該怎樣去作輔助線。實(shí)際上這類(lèi)問(wèn)題是有章可循的，其策略是:明確輔助線作用，記清相應(yīng)模型輔助線作法，理解作輔助線以后的目的。能做到這三點(diǎn)，就能在解題時(shí)得心應(yīng)手?！局R(shí)總結(jié)】【模型】一、角平分線垂兩邊角平分線+外垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過(guò)點(diǎn)作即可.即有、≌等，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.【模型】二、角平分線垂中間角平分線+內(nèi)垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線,于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)交于點(diǎn)即可.即有是等腰三角形、是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.【模型】三、角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱角平分線+截線段等當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在上截取，連結(jié)即可.即有≌，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.

【模型】四、角平分線加平行線等腰現(xiàn)角平分線+平行線當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線，點(diǎn)角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過(guò)點(diǎn)作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.1、如圖,,為上的一點(diǎn)，并且于點(diǎn),,求證：.

2、如圖，在中，是的平分線，于點(diǎn),//交于點(diǎn)，求證:.3、已知:如圖7,，求證:.

4、如圖,//,、分別平分和.探究:在線段上是否存在點(diǎn)，使得.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、如圖所示，在四邊形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，ACBC，AC=BC，∠ABC的平分線交AD，AC于點(diǎn)E、F，則的值是___________.2、如圖，D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，AECE于點(diǎn)E，且AB=10，AC=16，則DE的長(zhǎng)度為_(kāi)_____3、如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時(shí)，EP+BP=________.

【鞏固提升】1、如圖，F(xiàn)，G是OA上兩點(diǎn)，M，N是OB上兩點(diǎn)，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，試問(wèn)點(diǎn)P是否在∠AOB的平分線上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分線和外角∠ACE的平分線相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求證：GF=BGCF.

3、在四邊形ABCD中，∠ABC是鈍角，∠ABC+∠ADC=180°，對(duì)角線AC平分∠BAD.（1）求證：BC=CD；（2）若AB+AD=AC，求∠BCD的度數(shù)；

4、如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長(zhǎng)（2）求證：DG平分∠EDF.

5、如圖，BAMN，垂足為A，BA=4，點(diǎn)P是射線AN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），∠BPC=∠BPA，BCBP，過(guò)點(diǎn)C作CDMN，垂足為D，設(shè)AP=x.CD的長(zhǎng)度是否隨著x的變化而變化？若變化，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示CD的長(zhǎng)度；若不變化，請(qǐng)求出線段CD的長(zhǎng)度.

6、已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）問(wèn)：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，求m的值.

7、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫(huà)出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB//DE，AE/DC，求證：；（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E。若EB