專訓(xùn)11.2.1.2 與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題-簡單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級上冊考點專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)11.2.2與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題一、單選題1．如圖，是的角平分線，，垂足為，交于，連結(jié)．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由角平分線的性質(zhì)得到，由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，繼而根據(jù)∠EAD=∠BAC-∠BAF進行求解即可．【詳解】解：，，∵BD平分∠ABC，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，靈活利用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點，依此類推，與的角平分線交于點，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分線，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求結(jié)果．【詳解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故選B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．3．如圖，平分交于點E，，，M，N分別是延長線上的點，和的平分線交于點F．下列結(jié)論：①；②；③平分；④為定值．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計算，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題4．如圖，△ABC中，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，并相交于點O，∠BOC＝140°，則∠A＝__°．【答案】100【分析】先根據(jù)BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠1+∠2的度數(shù)，進而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故答案為：100【點睛】本題考查了角的平分線及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角的平分線與三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，于點D，平分，則_______．【答案】19【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC和∠DAC，求出∠EAC，即可求出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=58°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=×60°=29°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-42°=48°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=48°-29°=19°，故答案為：19．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，垂直定義，角平分線的定義等知識點，能求出∠DAC和∠EAC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，是高線，是角平分線，，，那么_______．【答案】72°【分析】根據(jù)已知角的關(guān)系，設(shè)∠DCE=x，表示出其他角，再根據(jù)角平分線的定義得到∠ACE=2x，結(jié)合高的定義，在△ACD中，列出方程，求出x，從而得到∠A和∠ACB，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】解：∵∠A=2∠DCE，2∠A=∠ACB，設(shè)∠DCE=x，則∠A=2x，∠ACB=4x，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=2x，∵CD是高，即∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，即2x+3x=90°，∴x=18°，∴∠A=36°，∠ACB=72°，∴∠B=180°-36°-72°=72°，故答案為：72°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，三角形的高，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的倍數(shù)關(guān)系表示出相應(yīng)的角度．7．如圖，已知AB∥CD，AE、CE分別甲分∠FAB，∠FCD，∠F＝a，則∠E＝_________，（用含a的式子表示）【答案】【分析】延長EA交CD于G，由平行線的性質(zhì)得出∠AGD=∠EAB，由角平分線的定義得出∠EAF=∠EAB=∠AGD，∠ECF=∠ECD，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：延長EA交CD于G，如圖所示：∵AB∥CD，∴∠AGD=∠EAB，∵AE、CE分別平分∠FAB、∠FCD，∴∠EAF=∠EAB=∠AGD，∠ECF=∠ECD，∵∠AGD=∠ECD+∠E，∴∠EAF=∠ECF+∠E，∵∠CHF=∠AHE，∴∠F+∠ECF=∠EAF+∠E，即∠F+∠ECF=∠ECF+∠E+∠E，∴∠E=∠F=．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義等知識；熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，．若P為的角平分線，的交點，則________；若P為內(nèi)一點，則________．【答案】【分析】若P為的角平分線，的交點，可求出及的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案；若P為內(nèi)一點，可整體求出的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】解：若P為的角平分線，的交點，∵，∴，∴，∴；若P為內(nèi)一點，∵，∴，∴；故答案為：112°，112°．【點睛】本題考查了三角形角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握整體思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠DOC＝48°，則∠D＝_____°．【答案】42【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠ACO＝∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝×180°＝90°，∵∠DOC＝48°，∴∠D＝90°﹣48°＝42°，故答案為：42．【點睛】本題考查了角平分線和三角形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)性質(zhì)進行計算求角．10．如圖，平分，平分，與交于，若，，則的度數(shù)為________．【答案】60°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角形角平分線的定義可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，從而求得∠A的度數(shù)．【詳解】解：連接BC．∵∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-120°=60°，∵∠BGC=90°，∴∠GBC+∠GCB=180°-90°=90°，∵BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°，∴∠ABD+∠ACD=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠A=180°-120°=60°．故答案為：60°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題11．如圖，在中，，為的角平分線．點為上一點，過點作射線，交于點．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求證：．【答案】（1）30°；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義列式求解；（2）根據(jù)對頂角相等和角平分線的定義以及同旁內(nèi)角互補兩直線平行進行判定．【詳解】解：（1）∵為的角平分線．∴又∵在中，，∴（2）∵為的角平分線．∴∵，∴∴．【點睛】本題考查平行線的判定，角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．12．如圖所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分線，∠B=66°，∠C=54°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若DE⊥AC于點E，求∠ADE的度數(shù)．【答案】（1）30°；（2）60°【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠BAC=30°；（2）∵∠CAD=∠BAC=30°，又DE⊥AC，∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，已知：平分，點是反向延長線上的一點，，，．求：和的度數(shù)．【答案】；【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合垂線的定義可求解∠ADE的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可求解∠DAC，∠BAC的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠C，∠B的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，平分，，，，，，，．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，靈活運用三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，是高，，是角平分線，它們相交于點，，，求和的度數(shù)．【答案】∠DAC=30°，∠EOF=120°【分析】在Rt△ACD中，根據(jù)兩銳角互余得出∠DAC度數(shù)；△ABC中由內(nèi)角和定理得出∠ABC度數(shù)，繼而根據(jù)AE，BF是角平分線可得∠BAO、∠ABO，最后在△ABO中根據(jù)內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵AD是BC上的高，∴∠ADC=90°，又∵∠C=60°，∴∠DAC=90°-∠C=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=70°，∠BAO=∠BAC=25°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=35°，∴∠EOF=∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-35°-25°=120°．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和是180°和三角形高線、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．15．如圖，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是BC邊上的高，D為垂足，AE平分∠BAC，交BC于點E，DF⊥AE，求∠ADF的度數(shù)．【答案】72°【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)計算即可；【詳解】解：∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∠B＝40°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×64°＝32°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣32°＝18°．∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合角平分線的性質(zhì)計算是解題的關(guān)鍵．16．如圖，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線．（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)；（2）設(shè)∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．請直接寫出用α、β表示∠DAE的關(guān)系式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BAC的度數(shù)，得到∠BAE的度數(shù)，求出∠AED的度數(shù)，根據(jù)AD是高線，求得答案；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BAC的度數(shù)，得到∠BAE的度數(shù)，求出∠AED的度數(shù)，根據(jù)AD是高線，求得答案．【詳解】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC=，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=，∴∠AED=∠B+∠BAE=,∵AD是高線，∴AD⊥BC，∴∠DAE=；（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠,∵AE平分∠BAC，∴∠BAE==∴∠AED=∠B+∠BAE==∵AD是高線，∴AD⊥BC，∴∠DAE==，故答案為：．【點睛】此題考查三角形的基礎(chǔ)知識，三角形的角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握各知識點并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．17．如圖，中，為上一點，，的角平分線交于點．（1）求證：；（2）為上一點，當(dāng)平分且時，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）150°．【分析】（1）由角平分線定義得∠ABE=∠CBE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠AEF=∠AFE；（2）由角平分線定義得∠AFE=∠GFE，進而得∠AEF=∠GFE，由平行線的判定得FG∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得結(jié)果．【詳解】解：（1）平分，，（2）平分，∵．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些性質(zhì)解決問題．18．如圖，與的角平分線交于點P．（1）若，，求的度數(shù)；（2）猜想，，的等量關(guān)系．【答案】（1）32°；（2）．【分析】（1）根據(jù)對頂角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得∠C＋∠D=2∠P，從而求出∠P；（2）根據(jù)對頂角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得∠C＋∠D=2∠P，從而證出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②①＋②，得∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE∵與的角平分線交于點P∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF∴∠C＋∠D=2∠P∴∠P===32°；（2），理由如下∵∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②①＋②，得∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE∵與的角平分線交于點P∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF∴∠C＋∠D=2∠P∴∠P=．【點睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理和角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．19．（1）如圖1，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，請猜想∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計算可求解；（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），進而可求解．【詳解】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，∵∠PAB＝∠FAG，∴∠GAD＝∠PAB，∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），②∴①②得：2∠P＝∠B+∠D．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，二元一次方程組的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．直線與直線垂直相交于，點在直線上運動，點在直線上運動．（1）如圖1，已知、分別是和的角平分線，點，在運動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出的大?。?）如圖2，已知不平行，、分別是和的角平分線，、分別是和的角平分線，點、在運動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理